九年级数学上学期讲解用频率估计概率(含解析)新人教版

用频率估计概率

一、知识点

1.用频率可以估计概率

m

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率7■会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率

m

P(A)=p=〃.

二、标准例题：

例1：做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下

列说法正确的是()

A.概率等于频率B.频率等于LC.概率是随机的D.频率会在某一个常数附近摆动

2

【答案】I)

【解析】

A、概率不等于频率，A选项错误；

仃，_「正面朝上的次数R注不出、口

BD、频率等于----------------，B选项错误

总次数

C、概率是稳定值不变，C选项错误

I)、频率会在某一个常数附近摆动，D选项是正确的。

故答案为：D

总结：此题主要考查了概率公式，以及频率和概率的区别。

例2：“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾

客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品.卜表

是该活动的一组统计数据：

转动转盘的次数〃1001502005008001000

落在“铅笔”区域的次数/〃68108140355560690

落在“铅笔”区域的频率;

卜列说法不正确的是()

A.当n

C.如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次

D.转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”

【答案】D

【解析】

月、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70,故力选项正确;

由.4可知反转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70,故〃选项正确；

C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30,转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有

3000X0.3=900次，故。选项正琼；

〃、随机事件，结果不确定，故〃选项正确.

故选D.

总结：本题要理解用面积法求概率的方法.注意概率星•多次实骆得到的一个相对稳定的值.

例3：下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.

投篮次数(n)50100150200250300350

投中次数(m)286078104123152251

m

投中频率(一)

n

(1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；

(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)?

【答案】(1)见解析；(2)0.5.

【解析】

(1)根据题意得：

284-50=0.56；

604-100=0.60；

784-150=0.52；

1044-200=0.52；

123+250弋0.49；

1524-300^0.51；

35。+251比0.50；

见下表:

投篮次数（n）50100150200250300350

投中次数（m）286078104123152251

m

投中频率（一）

n

⑵由题意得：

投篮的总次数是50+1（）0+150+200+250+3（）0+350=1400（次）,

投中的总次数是28+60+78+104+123+152+251=796（次），

则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为796,

796

故这名球员投篮一次，投中的概率约为：——-0.5.

1400

故答案为：0.5.

总结：本题考杳利用频率估计概率，解题的关机爱你是掌握利用频率估计概率.

例4：为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm）,并绘制了如下两

幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题.

（1）填空：样本容量为—，a=—；

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率.

【答案】（1）故答案为100,30；（2）见解析；（3）0.45.

【解析】

54

解：（1）15-——=100,

360

所以样本容量为100；

B组的人数为100—15—35—15—5=30，

所以。%=需*100%=30%,则。=30；

故答案为100,30；

（2）补全频数分布直方图为：

（3）样本中身高低于160。〃的人数为15+30=45,

45

样本中身高低于16052的频率为右=0.45,

100

所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160。九的概率为0.45.

75C6620.88314000126280.902

下面有四个推断：

①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335,所以这种树苗成活的概率是0.890；

②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的

概率是0.900；

⑤若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；

④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵.

其中合理的是（）

A.®@B.①®C.②③D.②④

【答案】C

【解析】

解：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335,这种树苗成活的概率不•定是0.890,故错

误；

②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活

的概率是0.900,故正确；

③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确；

④若小张移植20000棵这种树苗，则不•定成活18000棵，故错误.

故选:C.

3.某运动员投篮5次，投中4次，则该运动员下一次投篮投中的概率为（）

A.4B.-C.D.不能确定

【答案】I）

【解析】

因为投中是不确定的事件，所以下次投篮投中的概率不能确定.

故选：D

4.在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相

同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如

此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2,摸出黑球的频率稳定于0.5,对此试验,

他总结出下列结论：

①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于0.3；

②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；

③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球.

其中说法正确的是()

A.B.①②C.①③D.②③

【答案】B

【解析】

解：•・•在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于2%，摸出黑球

的频率稳定于50%,

・•・①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：120烧0%=30%,故此选项正确：

•・•摸出黑球的频率稳定干50%•大千其它频率，

・••②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；

③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错吴；

故正确的有①

故选:B.

5.在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图

如图所示，则符合图中情况的可能是()

A.朝上的点数是6的概率B.朝上的点数是偶数的概率

C.朝上的点数是小于4的概率I).朝上的点数是3的倍数的概率

【答案】D

【解析】

A.掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率为故此选项错误；

6

B.掷一枚正六面体的骰子，点数为偶数的概率为故此选项错误；

2

C.掷一枚正六面体的骰子，点数小于4的概率为故此选项错误；

2

D.掷•枚正六面体的骰子，点数为3的倍数的概率为:乏0.33,故此选项正确：

6.对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：

随机抽取的乒乓球数〃1020501002005001000

优等品数〃77164381164414824

优等品率丝

0.70.80.860.810.820.8280.824

n

当〃越大时，优等品率趋近于概率.（精确到0.01）

【答案】0.82.

【解析】

解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.82附近，在这批乒乓球中任取一个,

它为优等品的概率大约是0.82,改答案为：0.82.

7.有五个面的石块，每个面上分别标记1,2,3,4,5,现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如

下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是.

石块的面12345

频数1728151624

3

【答案】777

20

【解析】

解：石块标记3的面落在地面上的频率是葛二方，

3

于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是丁.

20

3

故答案为：—.

20

8.某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表:

投篮总次数〃1020501002005001000

投中次数加8184286169424854

投中的频率彳

根据上表，该运动员投中的概率大约是（结果精确到0.01）.

【解析】

由表格可知，该运动员大量投篮时，投中的频率稳定在0.85附近，所以该运动员投中的概率大约是0.85.

故答案为:0.85.

9.某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示：

移植的幼树〃/棵5001000200040007000100001200015000

成活的幼树加棵42386817143456602085801030812915

m

成活的频率一

n

在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为（精确到0.01）；若该林场欲使成活的幼

树达到4.3力棵，则估计需要移植该种幼树力棵.

【答案】0.865

【解析】

（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概

率

・•・这种幼树移植成活率的概率约为0.86.

（2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定.

当移植总数为15000时，成活率为0.861,于是可以估计树苗移植成活率为0.86,

则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3+（）.86=5万棵.

10.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验.

（1）他们在一次实验中共做了仇族试验，试验的结果如下：

朝上的点数123456

出现的次数79682010

①填空：此次实验中“3点朝上”的频率为；

②小红说：“根据实验，出现3点朝上的概率最小.”她的说法正确吗？为什么？

（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列

表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率.

【答案】（1）①5②小红的说法不正确，理由详见解析；（2）

【解析】

解：（1）①:实验中“3点朝上”的次数有6次，总数为60,

・•・此次实验中“3点朝上”的频率为6・60=

②小红的说法不正确，

•・•利用频率估计概率实睑次数必须比较多，重史实验，频率才慢慢接近概率，而她的实验次数太少，没有

代表性，

・•・小红的说法不正确；

（2）两枚骰子朝上的点数之和可能情况：

1

123456

.2

123456

12a456

123456

12R456

・••和为缔有/种，

和为的勺有2种，

和为4的有济中，

和为那J有4种，

和为加勺有为中，

和为的有刑，

和为应I勺有环巾，

和为勿勺有4种，

和为/碑J有册，

和为〃的有2种，

和为/绝有1种，

两枚骰子朝上的点数之和为K寸的概率最大，

则最大概率为：6+36=!

11.已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共1（）0个.从纸箱中任意摸出一球，

摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3.

（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；

（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中

随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近

波动，请据此估计小明放入的红球的个数.

【答案】（1）50；（2）60

【解析】

（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100X（1-0.2-0.3）=50（个）

（2）设小明放入红球x个.根据即意得：

解得：X60（个）.

经检验：尸60是所列方程的根.

答：小明放入的红球的个数为60.

12.在•个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的

球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复.上述过程，下表是实验中的一组统

计数据：

摸球的次

10020030050080010003000

数〃

摸到白球

651242783024815991803

的次数〃?

摸到白球

tn

的频率一

n

（1）请估计当〃很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到（）.1）；

（2）假如摸一次，摸到黑球的概率尸=；

（3）试估算盒子里黑颜色的球有多少只.

【答案】（1）0.6；（2）0.4；（3）20.

【解析】

（1）当〃

（2）摸到黑球的概率。=

（3）盒子里黑颜色的球有50X0.4=20.

13.“五一”期间，某商场推出“购物满额即可抽奖”活动.商场在抽奖箱中装有1个红球、2个黄球、3

个白球、8个黑球，每个球除颜色外都相同，红球、黄球、白球分别代表一、二、三等奖，黑球代表谢谢参

与.获得抽奖机会的顾客每次从箱子中摸出一个球，按相应颜色对应等级兑换奖品，每次所摸得球再放回抽

奖箱，摇匀后由下一位顾客抽奖.已知小明获得1次抽奖机会.

（1）小明是否一定能中奖___________;（填是、否）

⑵求出小明抽到一等奖的概率；

（3）在这个活动中，中奖和没中奖的机会相等吗？为什么？如果不相等，可以如何改变球的个数，使中奖和

没中奖的机会相等？（只写一种即可）

【答案】（1）否；（2）小明抽到一等奖的概率是17；（3）见解析.

【解析】

解：⑴否；

（2）球的个数有1+2+3+8=14（个），

而红球有1个

所以小明抽到一等奖的概率是‘-；

14

84

⑶因为黑球的个数有8个，所以没有中奖的概率是R=

43

则中奖的概率是1一一二2，

77

因为一工一，

77

所以中奖和没中奖的机会不相等，

可以减少2个黑球使中奖和没中奖的机会相等.（答案不唯一）.

14.在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摆球实验，将

球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数

据：

（1）上表中的a=；

（2）“摸到白球”的概率的估计值是（精确到0.1）

（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？

【答案】（1）0.58;（2）0.6;（3）白球12（个），黑球8（个）

【解析】

290

（l）a=---=0.58,

500

故答案为：0.58；

（2）随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60,所以具概率的估计值是0.60,

故答案为：0.60；

⑶由⑵摸到白球的概率估计值为0.60,

所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20X0.6=12(个)，黑球20T2=8(个).

答：黑球8个，白