高中数学计算能力专项练 第24练法向量的求解

第24练法向量的求解模块二二级阶段（高中计算专项练）1．已知空间四点，，，．求平面ABC的一个法向量为；【答案】（答案不唯一）【分析】根据数量积的坐标运算即可根据法向量的定义进行求解.【详解】由题知，，．设平面ABC的法向量，则，令，则，，∴所以平面ABC的一个法向量．此外，所有都是平面ABC的法向量，任写一个皆可.故答案为：（答案不唯一）.2．如图，在长方体中，，，点在棱上移动．平面一个法向量为.【答案】（答案不唯一，与共线的非零向量均可）【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解法向量.【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图的坐标系，则，设平面的法向量为，则，由，得，令得故答案为：3．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量；【答案】（答案不唯一）【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量.【详解】由题意可知，则,.设为平面BHD的一个法向量，则，不妨设，则.故平面BHD的一个法向量为.故答案为：（答案不唯一）4．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量.【答案】（答案不唯一）【分析】易知，，从而可得，结合，，从而解得【详解】是正方形，且，，，，，，，，，，故，故，∵向量是平面OCB1的法向量，，，故，，取，故，平面的法向量故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查平面的法向量，建系求解即可，主要考查学生的运算能力，属于基础题.5．在平面中，，，，若，且为平面的法向量，则，.【答案】10【分析】根据平面的法向量垂直于平面内的任意向量，表示出平面内的两个不共线的向量，再结合向量垂直的数量积公式即可求解【详解】，，为平面的法向量，则，即，即，解得.故答案为：1；0【点睛】本题考查平面的法向量与平面的位置关系，数学运算的核心素养，属于基础题6．如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，E为中点，则平面的单位法向量．（用坐标表示）【答案】【分析】根据给定条件，借助线面角求出DP长，并求出点A，B，P的坐标，再利用空间向量求出平面的单位法向量作答.【详解】如图，连接BD，因平面，则是与平面所成的角，即，在正方形中，，而，则有，于是得，PB中点，，设平面的一个法向量为，则，令，得，与共线的单位向量为，所以平面的单位法向量.故答案为：7．在平面中，，，，若，且为平面的法向量，则．【答案】1【详解】，，与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，向量=（﹣1，y，z），且为平面ABC的法向量，则⊥且⊥，即•=0，且•=0，即﹣1+y+0=0且1﹣y﹣2z=0，即，∴=1，故答案为：1．8．若＝是平面α的一个法向量，且＝(－1，2，1)，＝均与平面α平行，则向量＝.【答案】【分析】根据向量，都与平面α平行，从而有代入解得未知数即可.【详解】解析由题意，知即解得所以.故答案为：9．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量．【答案】（答案不唯一）【分析】以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法得出平面CDF的一个法向量.【详解】解：以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，由题意得A（0，0，2），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），，设平面CDF的一个法向量为，则，取x=-1，得，故答案为：（答案不唯一）10．已知点，，，，若在平面内存在点，使得平面，则点的坐标是．【答案】【分析】首先设点的坐标，结合已知条件利用向量的数量积可得到关于，，的两个关系式，然后再利用平面法向量求出第三个关于，，的关系式即可求解.【详