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文档简介

2026年大学线性代数期末考试押题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为3阶方阵，且|A|A.4B.8C.16D.322.设A、B为n阶方阵，则下列结论正确的是（）A.(B.|C.(D.|3.设向量组α1A.αB.αC.αD.α4.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组A.rB.rC.rD.r5.设A为实对称矩阵，则下列结论错误的是（）A.A的特征值均为实数B.A的不同特征值对应的特征向量正交C.A一定可以对角化D.A的特征值一定全为正数二、填空题（每题3分，共15分）1.设A=102.设向量α=(1,−3.设3阶矩阵A的特征值为1,2,4.设二次型f(5.设A为4阶方阵，r(A)三、计算题（每题10分，共40分）1.计算行列式：D答案：(解析：该行列式为范德蒙德行列式，直接利用公式：D也可通过初等行变换得到相同结果。2.求矩阵A的逆矩阵：A答案：A解析：设A−1=第一行乘第二列：2+第二行乘第三列：z+第一行乘第三列：y+故A−3.求解非齐次线性方程组：$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1\\

x_1+2x_2+2x_3=2\\

2x_1+3x_2+3x_3=3

\end{cases}$$答案：x解析：对增广矩阵施行初等行变换：1由r(A)=r(A(4.求矩阵A=|λ1=3时，解(3I−Aλ2=−1时，解(−I−两个特征向量线性无关，故A可对角化。四、证明题（每题15分，共30分）1.设A为n阶方阵，且A2=A（幂等矩阵），证明：A的特征值只能为02.设A为m×n矩阵，证明：x即(Ax)T(Ax因此两方程组同解，解空间维数相同，即n−r(参考答案与解析一、单项选择题1.答案：C解析：由|kA|=kn|A|2.答案：D解析：A应为(AB)3.答案：C解析：C中三个向量由α14.答案：C解析：齐次方程组Ax=05.答案：D解析：实对称矩阵特征值为实数，不同特征值特征向量正交，且一定可正交对角化，但特征值不一定为正；正定性才要求特征值全为正。二、填空题1.答案：1解析：二阶矩阵求逆公式或初等变换可得。2.答案：4解析：[α3.答案：6解析：行列式等于所有特征值的乘积：|A4.答案：1解析：二次型矩阵为对称矩阵，对角线元素为平方项系数；aij=aji等于对应交叉项系数的一半。交叉项−25.答案：1解析：伴随矩阵秩的性质：当r(A)=n时，r(A*)=n；当r(A三、计算题4.答案：特征值λ1=3，λ2=−1；对应特征向量可取p1=解析：特征多项式：四、证明题1.答案：证明如下。设λ为A的任一特征值，x≠0是对应的特征向量，则Ax=λ

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