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2026年线性代数期末测试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为n阶方阵，且|A|=A.−B.(C.(D.2答案：C解析：由行列式性质|kA|2.设A、B均为n阶可逆矩阵，则下列等式一定成立的是A.(B.(C.|D.(答案：C解析：矩阵乘法一般不可交换，(AB)3.设向量组α1A.αB.αC.αD.α答案：C解析：选项C中第三个向量等于前两个向量之和，故线性相关。4.设A为m×n矩阵，r(A.mB.nC.rD.n答案：B解析：基础解系所含解向量个数等于未知量个数减去系数矩阵的秩，即n−5.设3阶方阵A的特征值为1，−1，2，则|A.3B.6C.9D.12答案：C解析：设f((1)=1$，$f(-1)=3$，$f(2)=3$，故$|A^2-A+E|=1\times3\times3=9$。二、填空题（每题3分，共15分）1.设行列式D=12答案：1解析：按第一行展开计算，D=2.设矩阵A=12答案：−解析：|A|=3.设向量α=(1,2答案：64.若n阶方阵A满足A2−2答案：1解析：设λ为A的特征值，则λ2−2λ+5.设二次型f(x1答案：1三、计算题（每题10分，共60分）1.计算行列式D答案：−解析：对第二行减去第一行的2倍，第四行减去第一行，再按第一列展开，得D2.设A=1101，B答案：X解析：因为|A|=X3.设向量组α求向量组的秩和一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。答案：秩为2，极大无关组可取α1α解析：将向量按列构成矩阵并作初等行变换：1主元位于第一、二列，故秩为2，极大无关组为α14.求非齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3+x_4=1,\\

2x_1+2x_2+3x_3+3x_4=2,\\

3x_1+3x_2+4x_3+4x_4=3

\end{cases}$$的通解。答案：x解析：对增广矩阵作初等行变换：1由此得x1+x2=1，x3+x5.设矩阵A=21答案：特征值为λ1=4，λ2=λ3=1。λ解析：特征多项式为det对λ=4，解(A−4I)x=0得基础解系6.用正交变换化二次型f为标准形，并写出所用正交变换。答案：二次型矩阵为A特征值为λ1=2，λp令P=(pf解析：矩阵A的特征方程为det故特征值为2,1,四、证明题（每题10分，共10分）1.设A为n阶正交矩阵，证明：(1)|A(2)若|A|=−1答案：(1)因为A为正交矩阵，故AT|所以|A(2)若|A|=|由于|(A+

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