人教版数学八年级下册 21.1.2多边形及其内角和 教案

21.1.2多边形及其内角和教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是在学生已经学习了三角形，四边形的有关概念和性质的基础上，利用学习三角形，四边形的经验方法进一步研究多边形的有关概念和性质。2.

内容分析本节课是“三角形—四边形—多边形”几何知识体系的延伸，承接上一节课的类比方法与转化思想，为后续学习特殊多边形（如平行四边形、正多边形）的性质奠定基础。从知识逻辑来看，多边形的概念可通过类比三角形、四边形直接迁移得出；内角和公式的推导核心是“化归思想”，即通过连接对角线将多边形转化为若干个三角形，再利用三角形内角和定理推导，这是对四边形内角和推导方法的拓展与升华；外角和公式则借助“内角与相邻外角为邻补角”的关系，结合内角和公式推导得出，体现了知识间的内在联系。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：多边形内角和公式的探索与证明。二、目标和目标解析1.

目标（1）了解多边形的有关概念，感悟类比方法的价值。（2）探索并证明多边形内角和、外角和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题方法，发展推理能力。（3）运用多边形内角和公式解决简单问题，发展应用意识。2.

目标解析（1）能准确表述多边形的定义、边、顶点、内角、外角、对角线的概念，能区分凸多边形与凹多边形、正多边形与非正多边形，会用规范符号表示多边形，能独立画出多边形的对角线。（2）能类比四边形内角和的推导思路，自主探索五边形、六边形的内角和，进而归纳出n边形内角和公式；能通过“邻补角关系”或“行程转角”两种思路证明多边形外角和为360°，深刻理解化归思想与抽象思维的运用。（3）能运用多边形内角和公式、外角和公式解决角度计算、边数判断等简单问题，能结合公式分析正多边形的内角特征，提升知识应用能力。三、教学问题诊断分析学生可能出现的问题：1.类比四边形概念时，对多边形“对角线”的定义理解不透彻，画图时易遗漏或重复，尤其在六边形等多边形中无法准确画出全部对角线。2.推导n边形内角和公式时，难以从五边形、六边形的具体情况抽象到n边形，对“从一个顶点出发作(n−3)条对角线，分成(n−2)个三角形”的逻辑关系理解模糊。应对策略：1.借助四边形的对角线概念进行对比教学，通过“分步画图”示范（先找一个顶点的对角线，再拓展到所有顶点），强调“不相邻顶点连接”的核心特征，让学生分组互查对角线画图结果。2.推导公式时，先让学生动手操作：画五边形、六边形的对角线，记录“对角线条数”与“分成三角形个数”，再通过表格归纳规律，逐步过渡到n边形的一般情况。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：多边形内角和公式的探索与证明。四、教学过程设计（一）情境引入问题1我们是怎样研究四边形的？学习了四边形的哪些知识？四边形的定义及分类，四边形的组成元素和相关元素，四边形的内角和、外角和.问题2多边形在生活中也很常见，观察图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？本节课我们继续类比三角形，学习多边形的一些概念和性质.设计意图：通过回顾四边形的研究思路，搭建“类比迁移”的认知桥梁，让学生明确本节课的研究方法；结合生活中的多边形实例，激发学生的学习兴趣，感受数学与生活的联系。（二）合作探究1.多边形的定义在平面内，由n(n≥3)条线段A1A2，A2A3，…，An-1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.2.多边形的组成元素组成多边形的各条线段叫作多边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点.多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角；多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角.3.多边形的相关元素连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线.记作“六边形ABCDEF”追问1说一说六边形ABCDEF的边和顶点；追问2说一说六边形ABCDEF的内角；追问3画出六边形ABCDEF顶点A处的外角.追问4请你画出六边形ABCDEF的全部对角线.4.多边形的分类与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.5.正多边形各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.探究1类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗?从五边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，它们将五边形分为3个三角形，五边形的内角和等于3×180°；从六边形的一个顶点出发，可以作3条对角线，它们将六边形分为4个三角形，六边形的内角和等于4×180°；从n边形的一个顶点出发，可以作(n−3)条对角线，它们将n边形分为(n−2)个三角形，n边形的内角和等于(n−2)×180°.探索发现n边形的内角和等于(n−2)×180°.探究2与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和，多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.分析如左图，与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角.∴n边形的内角和+n边形的外角和=n×180°，∴n边形的外角和=n×180°−(n−2)×180°=360°.于是得到：多边形的外角和等于360°.如右图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.设计意图：通过类比四边形的知识，层层递进构建多边形的概念体系，让学生经历“具体—抽象”的概念形成过程；内角和公式的探究注重动手操作与规律归纳，强化化归思想的运用；外角和公式提供两种证明思路，拓宽学生的思维视野，培养逻辑推理能力。（三）典例分析例2一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形?解：设这个多边形的边数为n.因为它的内角和等于(n−2)×180°，外角和等于360°，所以(n−2)×180°=2×360°.解得：n=6.因此这个多边形是六边形.设计意图：通过典型例题，巩固多边形内角和与外角和公式的应用，规范“设未知数—列方程—求解”的解题步骤，培养学生的方程思想与应用意识。（四）巩固练习1．求出下列图形中x的值：解：（1）∵五边形的内角和是3×180°=540°，∴x+2x+150+120+90=540，解得：x=60.（2）∵六边形的内角和是4×180°=720°，∴4x+2×90=720，解得：x=135.（3）∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.∵五边形的内角和是3×180°=540°，∴x+150+135+180=540，解得：x=75.2.(1)一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是几边形?(2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？(3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形?解：(1)设这个多边形是n边形，由题意得：(n−2)×180°=1080°，解得：n=8，答：这个多边形是八边形.(2)设这个多边形是n边形，由题意得：(n−2)×180°=n×120°，解得：n=6，答：这个多边形是六边形.(3)设这个多边形是n边形，由题意得：n×72°=360°，解得：n=5，答：这个多边形是五边形.设计意图：练习题梯度分明，涵盖公式直接应用、方程思想求解、结合平行线性质计算等多种题型，全面巩固本节课核心知识；通过不同设问方式，强化学生对内角和与外角和公式的区分与灵活运用。归纳总结

（六）感受中考

1．（2025年北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（

C

A．60 B．90 C．120 D．1502．（2025年四川遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（

A

）A．10 B．11 C．12 D．133．（2025年甘肃兰州）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（

D

A．90°B．120° C．135° D．150°4．（2025年四川攀枝花）如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的大小为（

B

A．30° B．36° C．40° D．45°5．（2025年湖南）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB=45°．6．（2025年江苏淮安）如图，直线a∥b，正六