人教版数学八年级下册 专题21.4 矩形的性质 同步练习 含答案

专题21.4矩形的性质教学目标理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用；理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。教学重难点重点矩形的定义及其性质；直角三角形斜边的中线的性质。2.难点（1）利用矩形的性质求线段的长度和角的度数；（2）矩形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标；（3）直角三角形的斜边的中线的性质的应用。知识点01矩形的定义与性质矩形的定义：有一个角是的平行四边形是矩形。矩形也就是长方形。矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。特殊性质：（2）边的特殊性：邻边。（3）角的特殊性：四个角都是。（4）对角线的特殊性：对角线。即对角线。即：ACBD，OAOBOCOD。由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是。（5）面积：等于任意一组的乘积。（6）对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。【即学即练1】1．矩形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．四角相等 D．对角线互相垂直【即学即练2】2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则MN的长为（）A．4 B．2 C．8 D．6【即学即练3】3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E，F分别是BC，AD上的点，且AF＝BE＝1．若AB＝3，BC＝4，则OE+OF的长为（）A．13 B．2 C．22 D．【即学即练4】4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【即学即练5】5．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是．知识点02直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边的中线的性质：由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的。几何语言：在RtABC三角形中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，则CD=【即学即练1】6．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（）A．1 B．2 C．1.5 D．2.5【即学即练2】7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（）A．26 B．28 C．30 D．32题型01利用矩形的性质求线段【典例1】如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（）A．32 B．23 C．2 【变式1】如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，点D在CG上，已知矩形的长BC为3，宽AB为2，则AF的长为（）A．13 B．5 C．26 D．6【变式2】如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点B的坐标为（1，3），则对角线AC的长为（）A．4 B．10 C．13 D．2【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（）A．13 B．213 C．210【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（）A．512 B．2.5 C．125 题型02利用矩形的性质求角度【典例1】如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD大小是（）A．55° B．35° C．45° D．20°【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，若∠COD＝50°，则∠CDE的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．50°【变式2】有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，那么∠BPE＝．【变式3】如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝48°，P为AD边上一点，连接BP，作△PBA关于BP对称的△PBE，点F与点E关于BD对称．设∠ABP＝x°，若点F在△PBD内（不包括边界），则x的取值范围是（）A．21＜x＜24 B．24＜x＜32 C．24＜x＜42 D．42＜x＜48题型03利用矩形的性质求坐标【典例1】如图，以长方形ABCD的边CD所在的直线为x轴，以边CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，﹣1）【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的OB，OD两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线OC，BD相交于点E．若∠OED＝60°，OD＝2，则点E的坐标为（）A．（2，1） B．(3，1) C．（1，2） 【变式2】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，0），则第四个顶点的坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1）【变式3】如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2），▱OADE与矩形OABC周长相等，▱OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（）A．(3+3，1) B．(3+2，2题型04直角三角形斜边的中线【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝6，则BC的长是（）A．3 B．6 C．9 D．12【变式1】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB＝3，AD＝2，则CF的长为（）A．32 B．3 C．52 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的斜边OA在第一象限，过点A作AB⊥x轴于点B，若AB＝3，OB＝4，点E为OA的中点，则CE＝．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是．1．下列选项中，矩形一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（）A．50° B．54° C．56° D．58°4．如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝118°．则∠1的度数为（）A．12° B．18° C．22° D．28°5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，取DE的中点F，连接CF，则CF的长为（）A．23cm B．3cm C．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点点B的坐标是（2，3），则线段AC的长度为（）A．5 B．7 C．13 D．57．如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（）A．2 B．83 C．1038．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（）A．58° B．32° C．35° D．45°9．如图，在矩形ABCD中，AE＝EB，BF＝FC，CG＝GD，点H为AD边上任意一点，则阴影部分面积和矩形ABCD面积的比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：110．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．311．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝．12．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，点G是边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，在点P的运动过程中，EF的最大长度为．13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝10，BD＝6，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，当EF⊥BD时，EF＝．14．如图，点P是矩形ABCD的AD边上一动点，AB、BC长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，在∠CBD的内部交于点G，作射线BG，以点C为圆心，以大于点C到射线BG的距离为半径画弧，交BG于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点H，作射线CH，分别交BD，AD于P，Q两点，则16．如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．（1）求证：△ABE≌△DCF．（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．17．如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF．（1）求证：△PEF是等腰三角形；（2）若∠A＝x°，∠EPF的度数＝（用含x的代数式表达）．18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别是点F、G、E），使得点E落在AB边上，AB的延长线与FG交于点H，连接DE．（1）求证：ED平分∠AEC；（2）试判断CE与EH的长度是否相等，并说明理由．19．课本再现我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD=12定理证明（1）请完成这个定理的证明．拓展应用（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长．20．如图，四边形ABCD为长方形，长AB＝10，宽AD＝4，点E是AB的中点，点P在CD上运动，连接AP，PE．（1）若△APE是以AP为斜边的直角三角形时，求AP的长；（2）若△APE是等腰三角形时，求DP的长．

专题21.4矩形的性质教学目标理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用；理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。教学重难点重点矩形的定义及其性质；直角三角形斜边的中线的性质。2.难点（1）利用矩形的性质求线段的长度和角的度数；（2）矩形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标；（3）直角三角形的斜边的中线的性质的应用。知识点01矩形的定义与性质矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形也就是长方形。矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。特殊性质：（2）边的特殊性：邻边相互垂直。（3）角的特殊性：四个角都是直角（或90°）。（4）对角线的特殊性：对角线相等。即对角线相互平分且相等。即：AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD。由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是等腰三角形。（5）面积：等于任意一组邻边的乘积。（6）对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。【即学即练1】1．矩形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．四角相等 D．对角线互相垂直【答案】D【解答】解：对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故D选项符合题意，故选：D．【即学即练2】2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则MN的长为（）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】B【解答】解：由题意可得：AC＝BD，OA=12AC∴AO＝BO＝4，∵M，N分别为BC，OC的中点，∴MN=1故选：B．【即学即练3】3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E，F分别是BC，AD上的点，且AF＝BE＝1．若AB＝3，BC＝4，则OE+OF的长为（）A．13 B．2 C．22 D．【答案】A【解答】解：设BC，AD的中点分别为M，N，连接OM，ON，∵O是矩形ABCD对角线BD的中点，∴OM为△BCD的中位线，∴OM∥CD（三角形的中位线平行于第三边），∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，OM=1∵BC⊥CD，∴OM⊥BC，∵M为BC中点，BC＝4，∴BM＝2，EM＝BM﹣BE＝1，∴OE=O同理可得ON=3∴OF=O∴OE+OF=13故选：A．【即学即练4】4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】A【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝40°，∴∠E＝∠DAE，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°．故选：A．【即学即练5】5．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是（8，10）．【答案】（8，10）．【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥AH轴于点G，则四边形BEHG是矩形，∴GH＝BE，∠EBG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠ABC＝90°，∴∠ABG＝∠EBC，∵∠EBC+∠ECB＝∠ECB+∠DCF＝90°，∴∠EBC＝∠DCF，∴∠ABG＝∠DCF，在△ABG和△DCF中，∠ABG=∠DCF∠AGB=∠DFC=90°∴△ABG≌△DCF（AAS），∴AG＝DF，BG＝CF，∵点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），∴BE＝6，OC＝2，OF＝10，DF＝4，∴AG＝DF＝4，∴AH＝AG+GH＝AG+BE＝4+6＝10，∴BG＝CF＝OC+OF＝12，∴OH＝12﹣4＝8，则点A的坐标是（8，10）．方法2：C点到D点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度，∴B点到A点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度，∴A（8，10）；故答案为：（8，10）．知识点02直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边的中线的性质：由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何语言：在RtABC三角形中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，则CD=【即学即练1】6．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（）A．1 B．2 C．1.5 D．2.5【答案】A【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE=12BC=4，D∵∠AFB＝90°，∴DF=1∴EF＝DE﹣DF＝1，故选：A．【即学即练2】7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（）A．26 B．28 C．30 D．32【答案】B【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，BC＝20，∴FM=1同理可得：ME=1∵EF＝8，∴△EFM的周长＝FM+ME+EF＝10+10+8＝28．故选：B．题型01利用矩形的性质求线段【典例1】如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（）A．32 B．23 C．2 【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠BDC＝60°，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠BDC＝60°，∵AE⊥BD于E，BE＝1，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠ADB＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AB＝2BE＝2，∴BD＝2AB＝4，∴AD=BD2故选：B．【变式1】如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，点D在CG上，已知矩形的长BC为3，宽AB为2，则AF的长为（）A．13 B．5 C．26 D．6【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝2，由勾股定理得：AC=B∵矩形ABCD和矩形CEFG全等，∴CE＝AB，EF＝BC，∠E＝∠B＝90°，在△CEF和△ABC中，CE=AB∠E=∠B=90°∴△CEF≌△ABC（SAS），∴CF＝AC=13，∠ECF＝∠BAC在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠ECF+∠BCA＝90°，∴∠ACF＝180°﹣（∠ECF+∠BCA）＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，由勾股定理得：AF=A故选：C．【变式2】如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点B的坐标为（1，3），则对角线AC的长为（）A．4 B．10 C．13 D．2【答案】B【解答】解；连接OB，如图所示，∵四边形OABC是矩形，∴OB＝AC，∵B（1，3），∴AC=OB=1故选：B．【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（）A．13 B．213 C．210【答案】A【解答】解：在矩形ABCD中，M，N分别是EC，FD的中点，如图，连接CN并延长交AD于点G，连接EG，∴AD∥BC，AB＝BC，BC＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DN＝FN，∴∠GDN＝∠CFN，在△GND和△CNF中，∠GDN=∠CFNDN=FN∴△GND≌△CNF（ASA），∴GN＝CN，即N是CG的中点．∴MN是△CEG的中位线．∴MN=1∵AE＝2BE，BF＝2CF，AB＝6，BC＝9，∴AE=23AB=4，CF=GD=13BC=3，在Rt△AEG中AE2+AG2＝EG2∴EG=A∴MN=13故选：A．【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（）A．512 B．2.5 C．125 【答案】C【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∴BD=32+∴OA=OD=1连接OP，∵过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，∴S△AOD∴PE+PF=12故选：C．题型02利用矩形的性质求角度【典例1】如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD大小是（）A．55° B．35° C．45° D．20°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∵∠AOD＝110°，∴∠OAD=1故选：B．【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，若∠COD＝50°，则∠CDE的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．50°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OC，∵∠COD＝50°，DE⊥AC，∴∠ODE=90°−∠COD=40°，∠ODC=∠OCD=180°−50°∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝25°；故选：A．【变式2】有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，那么∠BPE＝40°或80°．【答案】40°或80°．【解答】解：如图1，当∠BPE＜∠B′PC时，∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°，∴∠B′PC﹣∠BPE＝60°，即∠B′PC＝∠BPE+60°，∵三角形BPE翻折得到三角形B′PE，∴∠BPE＝∠B'PE，∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°，∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE+60°）＝180°，∴∠BPE＝40°；如图2，当∠BPE＞∠B′PC时，∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°，∴∠BPE﹣∠B′PC＝60°，即∠B′PC＝∠BPE﹣60°，∵∠BPE＝∠B'PE，∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°，∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE﹣60°）＝180°，∴∠BPE＝80°；故答案为：40°或80°．【变式3】如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝48°，P为AD边上一点，连接BP，作△PBA关于BP对称的△PBE，点F与点E关于BD对称．设∠ABP＝x°，若点F在△PBD内（不包括边界），则x的取值范围是（）A．21＜x＜24 B．24＜x＜32 C．24＜x＜42 D．42＜x＜48【答案】B【解答】解：当点F在BD上时，∠ABP＝x°为最小，∵点F与点E关于BD对称，∴点E于点F重合，如图1所示：∵△PBA和△PBE关于BP对称，∴BP平分∠ABD，∵∠ABD＝48°，∴∠ABP＝x°=12∠∴x＝24，当点F在BP上时，∠ABP＝x°为最大，如图2所示：∵△PBA和△PBE关于BP对称，∴∠PBE＝∠ABP＝x°∵点F与点E关于BD对称，∴∠PBD=12∠PBE=∵∠ABP+∠PBD＝∠ABD＝48°，∴x°+12解得：x＝32，∵点F在△PBD内（不包括边界），∴x的取值范围是：24＜x＜32．故选：B．题型03利用矩形的性质求坐标【典例1】如图，以长方形ABCD的边CD所在的直线为x轴，以边CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，﹣1）【答案】A【解答】解：由题意可知，O为CD中点，∴OC＝OD，∵点A的坐标为（2，1），∴OD＝2，∴OC＝OD＝2∵点C在x轴负半轴，∴点C的坐标为（﹣2，0），故选：A．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的OB，OD两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线OC，BD相交于点E．若∠OED＝60°，OD＝2，则点E的坐标为（）A．（2，1） B．(3，1) C．（1，2） 【答案】B【解答】解：∵四边形OBCD是矩形，∴OE＝CE＝DE＝BE，∠DOB＝90°，∵∠OED＝60°，∴△ODE是等边三角形，∴OD＝OE＝DE＝2，∠ODE＝∠OED＝60°，∴BD＝4，由勾股定理得：OB=B∴D（0，2），B(23∴E(0+2即点E的坐标为(3综上所述，只有选项B正确，符合题意，故选：B．【变式2】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，0），则第四个顶点的坐标为（）A．（0，1） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1）【答案】A【解答】解：如图，则第四个顶点的坐标为（0，1）．故选：A．【变式3】如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2），▱OADE与矩形OABC周长相等，▱OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（）A．(3+3，1) B．(3+2，2【答案】A【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示：∴∠AFD＝90°，即△AFD是直角三角形，∵矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2），∴OA＝BC＝3，AB＝OC＝2，∴矩形OABC的周长为：2（OA+AB）＝2×（3+2）＝10，矩形OABC的面积为：OA•AB＝2×3＝6，∵四边形OADE是平行四边形，∴AD＝OE，DE＝OA＝3，∴平行四边形OADE的周长为：2（OA+AD）＝2×（3+AD），平行四边形OADE的面积为：OA•DF＝3DF，∵平行四边形OADE的周长与矩形OABC周长相等，∴2×（3+AD）＝10，∴AD＝2，又∴平行四边形OADE的面积是矩形OABC面积的一半，∵3DF=1∴DF＝1，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF=A∴OF＝OA+AF=3+3∴点D的坐标为(3+3故选：A．题型04直角三角形斜边的中线【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝6，则BC的长是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∴BC＝2AD，∵AD＝6，∴BC＝12，故选：D．【变式1】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB＝3，AD＝2，则CF的长为（）A．32 B．3 C．52 【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AB＝DC＝3，AD＝BC＝2，∠BCE＝90°，∴∠AED＝∠EAB（两直线平行，内错角相等），∵AE平分∠BAD，∴∠EAB＝∠EAD（角平分线的性质），∴∠EAD＝∠AED（等量代换），∴AD＝DE＝2（等角对等边），∴CE＝DC﹣DE＝3﹣2＝1，在直角△BCE中，BE2＝BC2+CE2＝22+12＝5，∴BE=5∵F为BE的中点，∴CF=1故选：C．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的斜边OA在第一象限，过点A作AB⊥x轴于点B，若AB＝3，OB＝4，点E为OA的中点，则CE＝2.5．【答案】2.5【解答】解：∵AB⊥x轴，∴∠ABO＝90°，∵AB＝3，OB＝4，∴OA=A在Rt△AOC中，点E为OA的中点，∴CE=12故答案为：2.5．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是13−1【答案】13−【解答】解：如图，连接AP，∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴AP=12BC＝AB＝要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上，∵A（0，1），D（3，3），∴AD=9+(3−1∴t的最小值是AP＝AD﹣PD=13故答案为13−1．下列选项中，矩形一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角【答案】A【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，故A符合题意，而B、C、D中的性质是菱形所具有的．故选：A．2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分【答案】A【解答】解：由于矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等．故选：A．3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（）A．50° B．54° C．56° D．58°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=12AC，OD=12BD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADB＝25°，∴∠AOB＝∠OAD+∠ADB＝50°．故选：A．4．如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝118°．则∠1的度数为（）A．12° B．18° C．22° D．28°【答案】D【解答】解：点E是矩形ABCD外一点，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G，∠2＝118°，∴AD∥BC，∴∠EFD＝∠2＝118°，∵EG⊥AE，∴∠E＝90°，∵∠EFD＝∠1+∠E，∴∠1＝∠EFD﹣∠E＝28°，故选：D．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，取DE的中点F，连接CF，则CF的长为（）A．23cm B．3cm C．2【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝4cm，AD＝BC＝6cm，AD∥BC，∠DCE＝90°，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝BE＝4cm，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2cm，在直角△CDE中，DE=D∵点F是DE的中点，∴CF是直角△CDE斜边上的中线，∴CF=12DE=12则CF的长为5cm．故选：D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点点B的坐标是（2，3），则线段AC的长度为（）A．5 B．7 C．13 D．5【答案】C【解答】解：连接OB，如图：∵顶点B的坐标为（2，3），∴OB=2∵四边形OABC是矩形，∴AC=OB=13即线段AC的长度为13，综上所述，只有选项C正确，符合题意，故选：C．7．如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（）A．2 B．83 C．103【答案】D【解答】解：如图，连接AE，由条件可知OF是△ACE的中位线，∴OF=12AE，OF∥∴AE＝8，∠AEO＝90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO=A根据矩形的性质可知AO＝OD＝10，∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4．故选：D．8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（）A．58° B．32° C．35° D．45°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°，∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM，∵点A′，B′，E在同一直线上，∴∠AEA′+∠BEB′＝180°，∴64°+2∠B′EM＝180°，∴∠B′EM＝58°，∴∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝90°﹣58°＝32°，故选：B．9．如图，在矩形ABCD中，AE＝EB，BF＝FC，CG＝GD，点H为AD边上任意一点，则阴影部分面积和矩形ABCD面积的比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】C【解答】解：如图，连接BH、CH，∵AE＝EB，BF＝FC，CG＝GD，∴△AEH和△BEH的面积相等；△BFH和△CFH的面积相等；△CGH和△DGH的面积相等；∴空白部分和阴影部分的面积相等，∴阴影部分面积和矩形ABCD的面积的比是1：2．故答案为：1：2．故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴BD=A∵点A和点M关于BE对称，∴AB＝BM＝6，∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．故DM的最小值为4．故选：C．11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝4．【答案】4．【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC＝8，∵∠ABC＝90°，点P是AD的中点，∴BP＝AD＝4，故答案为：4．12．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，点G是边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，在点P的运动过程中，EF的最大长度为6.5．【答案】6.5．【解答】解：连接BD，DP，如图所示：∵点E，F分别是GD，GP的中点，∴EF=12∴当DP最大时，EF最大，当点P在点B处时，DP最大，即DB的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°，∴BD=A∴EF的最大长度为12故答案为：6.5．13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝10，BD＝6，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，当EF⊥BD时，EF＝4．【答案】4．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是AC的中点，则BE=12同理可得：DE=12∴BE＝DE，当EF⊥BD时，BF＝DF=12由勾股定理得：EF=B故答案为：4．14．如图，点P是矩形ABCD的AD边上一动点，AB、BC长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是12．【答案】12．【解答】解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12S△AOD=14矩形∴OA＝OD=12∵AB＝15，BC＝20，∴AC=AB2+BC2=25，S△∴OA＝OD=12AC∴S△AOD＝S△APO+S△DPO=12OA•PE+12OD•PF=12OA•（PE+PF）∴PE+PF＝12．∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．故答案为：12．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，在∠CBD的内部交于点G，作射线BG，以点C为圆心，以大于点C到射线BG的距离为半径画弧，交BG于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点H，作射线CH，分别交BD，AD于P，Q两点，则CP的长是【答案】3017【解答】解：根据所给作图步骤可知，BG平分∠CBD，CP⊥MN，令BN与CQ及CD的交点为L，J，如图所示，因为BG平分∠CBD，所以∠CBG＝∠PBG．因为CP⊥MN，所以∠BLC＝∠BLP．在△BLC和△BLP中，∠CBG=∠PBGBL=BL所以△BLC≌△BLP（ASA），所以PL＝CL，所以BN垂直平分PC，所以BP＝BC，JP＝JC，所以∠BPC＝∠BCP，∠JPC＝∠JCP，所以∠BPJ＝∠BCJ＝90°．在Rt△BCD中，BD=8由面积法可知，12则JP＝JC=15在Rt△BCJ中，BJ=1由面积法可知，12则CL=15所以CP＝2CL=30故答案为：301716．如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．（1）求证：△ABE≌△DCF．（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）5．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABE和△DCF中，∠BAE=∠CDFAB=CD∴△ABE≌△DCF（ASA）；（2）解：由（1）知：