人教版数学八年级下册 专题21.8 正方形的性质 同步练习 含答案

专题21.8正方形的性质教学目标熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练地应用性质。教学重难点重点正方形的性质。2.难点（1）利用正方形的性质解决线段或角度问题；（2）利用正方形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标。知识点01正方形的定义正方形的定义：四条边都，四个角都是的四边形叫做正方形。所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。知识点02正方形的性质正方形的性质：同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。性质几何语言图示边对边平行，四条边都相等AB∥CDAB=BC=CD=AD角四个角都是直角∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°对角线对角线相互垂直平分且相等，且平分每一组对角AC⊥BDOA=OB=OC=OD∠BAC=∠DAC=∠ADB=∠CDB=∠DCA=∠BCA=∠CBD=∠ABD=45°面积法1：对角线算法法2：边的平方S=对称性既是中心对称图形，也是轴对称图形【即学即练1】1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等【即学即练2】2．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．每条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等【即学即练3】3．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF．若AB＝2，则CF的长是（）A．3−1 B．3−12 C．5【即学即练4】4．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（）A．10 B．210 C．37 【即学即练5】5．如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，连接AF并延长交CD于点E，若EF＝EC，则∠ECF的度数为（）A．36° B．32° C．30° D．28°【即学即练6】6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，连接DE、AC，相交于点F，则∠BFC的度数为（）A．60° B．75° C．45° D．80°【即学即练7】7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点C落在y轴的正半轴上的点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（）A．(−1，3) B．(−1，−3) C．题型01利用正方形的性质求线段【典例1】若一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．72cm2【变式1】如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE，与BC的延长线相交于点F，连接EF，与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．若BD＝BF，则BE的长为（）A．2 B．32 C．6−32 【变式2】如图，正方形ABCD的一条边BC与等腰△CEF的一条边CF在同一直线上，AF分别交CD，CE于点G，H．已知BC＝CF＝2，CE＝EF=5，则GHA．55 B．25 C．25【变式3】如图，点E是正方形ABCD的中心（对角线的交点），以点E为直角顶点作Rt△EFG，Rt△EFG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为8，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．16题型02利用正方形的性质求角度【典例1】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（）A．13° B．14° C．15° D．16°【变式1】如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠CDE的度数为（）A．75° B．60° C．45° D．30°【变式2】点E为正方形ABCD中对角线AC上一点（点E不与端点A、C重合），当△CBE为等腰三角形时，∠ABE的度数为．【变式3】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别为边BC和AB上的点，且CE＝BF，连接EF，过点E作EG⊥BC交AC于点G，点H为边AD上的点，连接GH，若GH＝EF，∠FEB＝25°，则∠AHG的度数为．题型03利用正方形的性质求坐标【典例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O（0，0）；B（4，0），则顶点C的坐标是（）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2） D．(2【变式1】在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（0，3），则顶点D的坐标是（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（3，0）或（﹣3，0） D．（0，3）或（0，﹣3）【变式2】如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求A的坐标．【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣2），D（b，﹣1），则b的值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.51．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直2．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角3．下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形4．如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（）A．5 B．8 C．12 D．25．如图，边长为12的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且∠BAE＝∠FAE．则AF的长为（）A．15 B．16 C．93 D．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中，点C位于第二象限，点B位于第一象限，且OC与y轴正半轴的夹角为15°，则点B的坐标为（）A．(322，C．(2337．在正方形ABCD中，AC与BD交于点G，若DE平分∠GDC，连接BE并取中点F，连接AF，则∠AEB的度数是（）A．70° B．62.5° C．67.5° D．75°8．如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，则下列结论错误的是（）A．BE＝CD B．ED=2C．∠BEC＝75° D．OB2+OE2＝CE29．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE、DE、BF、CF，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（）A．6 B．5 C．4 D．310．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，BE＝1，点M在BC的延长线上．CP平分∠DCM，点F在CP上，CF=2，过点F作FH⊥BM于点H，连接AF交CD于点N，连接AE、EF．下列结论：①AE⊥EF；②△AEF的面积为172；③△ECN的周长为8；④EN2＝BE2+DNA．1 B．2 C．3 D．411．把边长为1的正方形纸片对折4次后，所得的图形面积是．12．如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于．13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F、G，若EG＝2，EF＝6，则BE的长度为．14．已知正方形ABCD的边长为8cm．若点N从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AD运动到点D后立即反向以原速向点A运动；同时点M从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→C→D方向运动．当点M到达点D时，两点同时停止运动．当运动时间是秒时，AN＝CM．15．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM．若正方形ABCD的边长为4，则GM的最小值为．16．一个正方体的木箱卡在了垂直于地面且互相平行的两堵墙之间，抽象出几何图形如图，AD、BE为墙面，四边形DCEF为正方形，说明该正方体木箱能否平放在这两堵墙之间．17．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AD、AB上，连接CE、CF、EF，已知CE=CF=5（1）求证：AE＝AF；（2）求EF的长．18．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F．（1）求证：△AED≌△DFC；（2）求证：AE＝FC+EF．19．如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于F．（1）求证：∠CBN＝∠BAO；（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求∠DPQ的度数；②探究AQ与OP的数量关系并说明理由．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由．

专题21.8正方形的性质教学目标熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练地应用性质。教学重难点重点正方形的性质。2.难点（1）利用正方形的性质解决线段或角度问题；（2）利用正方形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标。知识点01正方形的定义正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。知识点02正方形的性质正方形的性质：同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。性质几何语言图示边对边平行，四条边都相等AB∥CDAB=BC=CD=AD角四个角都是直角∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°对角线对角线相互垂直平分且相等，且平分每一组对角AC⊥BDOA=OB=OC=OD∠BAC=∠DAC=∠ADB=∠CDB=∠DCA=∠BCA=∠CBD=∠ABD=45°面积法1：对角线算法法2：边的平方S=对称性既是中心对称图形，也是轴对称图形【即学即练1】1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等【答案】C【解答】解：根据正方形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用正方形具备而矩形不具备的性质判断如下：A、两组对边分别相等，矩形和正方形都具有，故不合题意；B、两条对角线互相平分，矩形和正方形都具有，故不合题意；C、两条对角线互相垂直，正方形具有而一般矩形不一定具有的性质，故合题意；D、两条对角线相等，矩形和正方形都具有，故不合题意．故选：C．【即学即练2】2．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．每条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等【答案】C【解答】解：正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等．故选：C．【即学即练3】3．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF．若AB＝2，则CF的长是（）A．3−1 B．3−12 C．5【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴AB＝BC＝CD＝2．∠BCD＝90°，∵E是BC中点，∴CE=1在直角三角形CDE中，由勾股定理得：DE=C由题意知EF=DE=5∴CF=EF−CE=5故选：C．【即学即练4】4．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（）A．10 B．210 C．37 【答案】A【解答】解：连接AC、CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，BC＝4，CE＝2，∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC=AB2∴∠ACF＝45°+45°＝90°，在Rt△ACF中，AF=(4∵H是AF的中点，∴CH=1故选：A．【即学即练5】5．如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，连接AF并延长交CD于点E，若EF＝EC，则∠ECF的度数为（）A．36° B．32° C．30° D．28°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADF＝∠CDF，∠ADE＝90°，∵DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠ECF，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠DEA＝∠ECF+∠EFC＝2∠DAE，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DAE＝30°，∴∠ECF＝30°．故选：C．【即学即练6】6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，连接DE、AC，相交于点F，则∠BFC的度数为（）A．60° B．75° C．45° D．80°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCF＝∠BCF＝45°．又CF＝CF，∴△DCF≌△BCF（SAS）．∴∠CDF＝∠CBF．∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝60°．又AB＝AD，∴AD＝AE，且∠DAE＝90°+60°＝150°，∴∠ADE＝（180°﹣150°）÷2＝15°．∴∠CDF＝90°﹣15°＝75°＝∠CBF．∴∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝180°﹣45°﹣75°＝60°．故选：A．【即学即练7】7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点C落在y轴的正半轴上的点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（）A．(−1，3) B．(−1，−3) C．【答案】C【解答】解：过点D'作D'E⊥x轴于点E，如图所示：∴∠D'EA＝∠C'OB＝90°，∴△D'EA和△C'OA都是直角三角形，∵四边形ABCD正方形，且边长为2，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，BC∥DA，∵AB的中点是坐标原点O，∴OB＝OA=12根据四边形的不稳定性得：BC'＝BC＝2，D'A＝DA＝2，BC'∥D'A，∴∠D'AE＝∠C'BO，在Rt△C'OA中，由勾股定理得：C'O=BC在△D'EA和△C'OA中，∠D′EA=∠C′OB=90°∠D′AE=∠C′BO∴△D'EA≌△C'OA（AAS），∴EA＝OB＝1，D'E＝C'O=3∴OE＝OE+EA＝2，∴点点D的对应点D′的坐标为(−2，3故选：C．题型01利用正方形的性质求线段【典例1】若一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．72cm2【答案】A【解答】解：∵正方形对角线长为4cm，且面积S=对角∴S=4故选：A．【变式1】如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE，与BC的延长线相交于点F，连接EF，与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．若BD＝BF，则BE的长为（）A．2 B．32 C．6−32 【答案】C【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝3，∴∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD=A∴BD=BF=32∴CF=BF−BC=32∵FD⊥DE，∴∠EDF＝90°，∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∠A=∠DCF∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（AAS），∴CF=AE=32∴BE=AB−AE=3−(32故选：C．【变式2】如图，正方形ABCD的一条边BC与等腰△CEF的一条边CF在同一直线上，AF分别交CD，CE于点G，H．已知BC＝CF＝2，CE＝EF=5，则GHA．55 B．25 C．25【答案】A【解答】解：过E作EM⊥CF于M，∵CE＝EF=5∴CM=1∴EM=C∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝2＝EM，∠D＝∠DCB＝∠DCF＝90°，在△ADG与△FCG中，AD=CF=2∠D=∠DCF=90°∴△ADG≌△FGC（AAS），∴DG＝CG＝1，AG＝FG，在△ADG与△EMC中，AD=EM=2∠D=∠EMC=90°∴△ADG≌△EMC（SAS），∴∠AGD＝∠ECM＝∠CGF，AG＝CE＝FG=5∵∠CFG+∠CGF＝90°，∴∠ECF+∠CFH＝90°，∴∠CHF＝90°，∴S△CGF=12CG⋅CF=1∴CH=1×2∴GH=C故选：A．【变式3】如图，点E是正方形ABCD的中心（对角线的交点），以点E为直角顶点作Rt△EFG，Rt△EFG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为8，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．16【答案】D【解答】解：过点E分别作EP⊥CD，EQ⊥BC，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为8，∴∠C＝90°，BC＝CD＝8，∵EP⊥CD，EQ⊥BC，∴∠EQC＝∠EPC＝∠C＝90°，∴四边形EQCP是矩形，∵点E是正方形ABCD的中心，∴EQ=EP=1∴四边形EQCP是正方形，∴∠QEP＝90°，∴∠QEP＝∠QEN+∠NEP＝90°，∵Rt△EFG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，∴∠FEN＝∠FEQ+∠QEN＝90°，∴∠PEN＝∠FEQ，在△MQE和△NPE中，∠MQE=∠EPNEQ=EP∴△MQE≌△NPE（ASA），∴S△MQE＝S△NPE，则重叠部分四边形EMCN的面积为S正方形EQCP，∴S正方形EQCP＝4×4＝16，即重叠部分四边形EMCN的面积为16，故选：D．题型02利用正方形的性质求角度【典例1】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝53°，则∠CEF的度数为（）A．13° B．14° C．15° D．16°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠BAE＝53°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAE＝180°﹣45°﹣53°＝82°，在△ABE和△CBE中，AB=CB∠ABE=∠CBE∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠AEB＝∠CEB＝82°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠CEB＝180°﹣82°﹣82°＝16°，故选：D．【变式1】如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠CDE的度数为（）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∴∠DCB＝90°，∠ECB＝60°，BC＝CD＝CE，∴∠ECE＝30°，∵CE＝CD，∠ECD＝30°，∴∠CDE12（180°﹣∠ECD故选：A．【变式2】点E为正方形ABCD中对角线AC上一点（点E不与端点A、C重合），当△CBE为等腰三角形时，∠ABE的度数为45°或22.5°．【答案】45°或22.5°．【解答】解：四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∵点E是对角线AC上的一点（点E不与端点A、C重合），∴当△CBE为等腰三角形时，有以下两种情况：①当BE＝CE时，则∠EBC＝∠ACB＝45°，如图1所示：∴∠ABE＝∠ABC﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，②当BC＝EC时，则∠CBE＝∠CEB，如图2所示：在△CBE中，∠CBE+∠CEB+∠ACB＝180°，∴2∠CBE+45°＝180°，∴∠CBE＝67.5°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠ACB＝90°﹣67.5°＝22.5°，综上所述：∠ABE的度数为45°或22.5°．故答案为：45°或22.5°．【变式3】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别为边BC和AB上的点，且CE＝BF，连接EF，过点E作EG⊥BC交AC于点G，点H为边AD上的点，连接GH，若GH＝EF，∠FEB＝25°，则∠AHG的度数为115°．【答案】115°．【解答】解：连接FG，延长EG交AD于点P，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠B＝∠BCD＝∠D＝∠DAB＝90°，∠BCA＝∠BAC＝45°，∵EG⊥BC交AC于点G，∴∠GEC＝∠GEB＝90°，在△EGC中，∠GEC＝90°，∠BCA＝45°，∴△EGC是等腰直角三角形，∴GE＝CE，∵CE＝BF，∴GE＝BF，∵∠GEC＝∠B＝90°，∴GE∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴平行四边形BEGF是矩形，∴∠FGE＝∠GFB＝90°，∴∠FGP＝180°﹣∠FGE＝90°，∠AFG＝180°﹣∠GFB＝90°，∴∠FGP＝∠AFG＝∠DAB＝90°，∴四边形AFGP是矩形，△FGE是直角三角形，在△AFG中，∠AFG＝90°，∠BAC＝45°，∴FA＝FG，∴矩形AFGP是正方形，∴FG＝GP，∠GPA＝90°，∴△GPH是直角三角形，在Rt△FGE和Rt△GPH中，FG=GPGH=EF∴Rt△FGE≌Rt△GPH（HL），∴∠GHP＝∠FEG，∵∠GEB＝90°，∠FEB＝25°，∴∠FEG＝∠GEB﹣∠FEB＝65°，∴∠GHP＝∠FEG＝65°，∴∠AHG＝180°﹣∠GHP＝115°，∴∠AHG的度数为115°．故答案为：115°．题型03利用正方形的性质求坐标【典例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O（0，0）；B（4，0），则顶点C的坐标是（）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2） D．(2【答案】B【解答】解：连接AC，交OB于点D，∵B（4，0），∴OB＝4，∵四边形OABC是正方形，∴OB＝4＝AC，AC、OB互相垂直平分，∴OD⊥DC，OD＝DB＝DA＝DC＝2，∴C点坐标（2，﹣2），故选：B．【变式1】在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（0，3），则顶点D的坐标是（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（3，0）或（﹣3，0） D．（0，3）或（0，﹣3）【答案】C【解答】解：∵正方形OBCD的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（0，3），∴OD＝OB＝3，当顶点D在y轴右侧时，顶点D的坐标是（3，0），当顶点D在y轴左侧时，顶点D的坐标是（﹣3，0），故选：C．【变式2】如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求A的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点D作DE⊥x轴于E，∵四边形OACD是正方形，∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠DOE+∠AOB＝90°，又∵∠OAB+∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠DOE，在△AOD和△OCE中，∠ABO=∠OED=90°∠OAB=∠DOE∴△AOB≌△ODE（AAS），∴AB＝OE，OB＝DE，∵点D的横坐标为3，AO＝OD＝5，∴DE=5∴AB＝3，OB＝4，∴点A的坐标为（﹣4，3）．【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣2），D（b，﹣1），则b的值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】C【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵为∠BOC＝∠DEC＝90°，∠OBC+∠OCB＝90°，∠ECD+∠OCB＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．在△BOC和△CED中，∠BOC=∠DEC∠OBC=∠ECD∴△BOC≌△CED（AAS）．∴OC＝DE，OB＝CE，∵C（0，﹣2），∴OC＝2，∵D（b，﹣1），∴DE＝|b|，CE＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1．∵OC＝2，∴DE＝2，即|b|＝2．∵D在第二象限，∴b＞0，∴b＝2．故选：C．1．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直【答案】A【解答】解：矩形、菱形和正方形都具有的性质是对角线互相平分，故选：A．2．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角【答案】C【解答】解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；正方形具有菱形和矩形的性质，∴菱形不具有的性质为：对角线相等，故选：C．3．下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形【答案】B【解答】解：对于选项A，∵矩形的对角线相等且平分，但不互相垂直，∴该选项不正确，不符合题意；对于选项B，∵正方形的对角线相等且互相垂直平分，∴该选项正确，符合题意；对于选项C，∴菱形的对角线垂直且互相平分，但不相等，∴该选项不正确，不符合题意；对于选项D，∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴该选项不正确，不符合题意，故选：B．4．如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（）A．5 B．8 C．12 D．2【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAD＝90°，∵DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，BF＝4，DE＝9，∴∠AFB＝∠DEA＝90°，∴∠BAF＝∠ADE＝90°﹣∠DAE，在△BAF和△ADE中，∠BAF=∠ADE∠AFB=∠DEA∴△BAF≌△ADE（AAS），∴BF＝AE＝4，AF＝DE＝9，∴EF＝AF﹣AE＝9﹣4＝5，故选：A．5．如图，边长为12的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且∠BAE＝∠FAE．则AF的长为（）A．15 B．16 C．93 D．【答案】A【解答】解：如图，四边形ABCD是正方形，过点E作AF的垂线AG，垂足为G，连接EF，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=1在△ABE和△AGE中，∠BAE=∠GAE∠B=∠AGE=90°∴△ABE≌△AGE（AAS），∴AG＝AB＝12，GE＝BE＝6，∴GE＝CE＝6，且∠EGF＝∠C＝90°，EF＝EF，∴△EFG≌△EFC（HL），∴GF＝CF，假设GF＝CF＝x，则DF＝CD﹣CF＝12﹣x，AF＝AG+GF＝12+x，在直角三角形ADF中，根据勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，即122+（12﹣x）2＝（12+x）2，解得：x＝3，∴AF＝12+3＝15，故选：A．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中，点C位于第二象限，点B位于第一象限，且OC与y轴正半轴的夹角为15°，则点B的坐标为（）A．(322，C．(233【答案】A【解答】解：连接OB，作BE⊥y轴于点E，∵四边形OABC是正方形，∴∠BOC＝45°，∠C＝90°，由勾股定理可得，OB=3由题意可得：∠COE＝15°，∠OEB＝90°，∴∠BOE＝30°，由三角函数可得，BE=OBsin30°=1由三角函数可得，OE=OBcos30°=3∴点B的坐标为：(3故选：A．7．在正方形ABCD中，AC与BD交于点G，若DE平分∠GDC，连接BE并取中点F，连接AF，则∠AEB的度数是（）A．70° B．62.5° C．67.5° D．75°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC与BC交于点G，∴AD＝CD＝CB，∠ADC＝∠BCD＝90°，CA垂直平分DB，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∠CDB＝∠CBD＝45°，∵DE平分∠GDC，∴∠CDE＝∠GDE=12∠∴∠AED＝∠DCA+∠CDE＝45°+22.5°＝67.5°，∵DE＝BE，EA⊥DB，∴EA平分∠DEB，∴∠AEB＝∠AED＝67.5°，故选：C．8．如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，则下列结论错误的是（）A．BE＝CD B．ED=2C．∠BEC＝75° D．OB2+OE2＝CE2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，AC⊥BD，OB＝OC，∠BCO＝∠DCO＝∠CDO＝45°，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴∠OCE＝∠DCE=12∠∴∠BCE＝∠BCO+∠OCE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠BEC是△CDE的外角，∴∠BEC＝∠DCE+∠CDO＝22.5°+45°＝67.5°，故选项C不正确，符合题意；∵∠BCE＝∠BEC＝67.5°，∴BE＝BC＝CD，故选项A正确，不符合题意；∵AC⊥BD，∴∠COE＝∠COB＝90°，∴△COE和△COD都是直角三角形，在Rt△COE中，由勾股定理得：OC2+OE2＝CE2，又∵OB＝OC，∴OB2+OE2＝CE2，故选项D正确，不符合题意；过点E作EF⊥CD于点F，如图所示，∴∠EFD＝90°，∵∠CDO＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF，由勾股定理得：DE=EF∵AC⊥BD，∴EO⊥CO，∵CE平分∠ACD，EF⊥CD，∴OE＝EF，∴DE=2EF=2故选项B正确，综上所述：结论错误的是选项C．故选C．9．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE、DE、BF、CF，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解答】解：设大正方形ABMN的边长为a，小正方形EFGH的边长为b，则阴影面积的底为AD＝BC＝a+b，高之和为NE+MF＝a﹣b，∴阴影面积为12(a+b)(a−b)=6，即a2﹣b∵大正方形ABMN的面积为a2＝15，∴b2＝3，即小正方形EFGH的面积为3，故选：D．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，BE＝1，点M在BC的延长线上．CP平分∠DCM，点F在CP上，CF=2，过点F作FH⊥BM于点H，连接AF交CD于点N，连接AE、EF．下列结论：①AE⊥EF；②△AEF的面积为172；③△ECN的周长为8；④EN2＝BE2+DNA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB＝BC＝CD＝1，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝90°，∵CP平分∠DCM，∴∠PCM=12∠∵FH⊥BM于点H，∴∠FHE＝90°，∴△HCF是等腰直角三角形，∴CH＝FH，在Rt△HCF中，CF=2由勾股定理得：CF=CF∴CH＝FH=22CF∵点E在边BC上，BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3，BE＝FH＝1，∴EH＝CE+CH＝4，∴AB＝EH＝4，在△ABE和△EHF中，AB=EH∠B=∠FHE=90°∴△ABE≌△EHF（SAS），∴AE＝FE，∠BAE＝∠HEF，在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠HEF+∠AEB＝90°，∴∠AEF＝180°﹣（∠HEF+∠AEB）＝90°，∴AE⊥EF，故结论①正确；②在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝4，由勾股定理得：AE=A∴AE＝FE=17∵AE⊥EF，∴△AEF的面积为：12AE•FE=故结论②正确；③过点A作AQ⊥AF交CB的延长线于点Q，如图所示：∴∠QAF＝90°，∵∠DAB＝∠ABC＝∠CDA＝90°，∴∠ABQ＝∠ADN＝90°，∠QAF＝∠DAB＝90°，∴∠QAF﹣∠BAF＝∠DAB﹣∠BAF，∴∠QAB＝∠NAD，在△ABQ和△ADN中，∠ABQ=∠ADN=90°AB=AD∴△ABQ≌△ADN（SAS），∴AQ＝AN，BQ＝DN，∴EQ＝BE+BQ＝BE+DN，∵AE＝FE，AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAN＝45°，∴∠NAD+∠BAE＝∠DAB﹣∠EAN＝45°，∴∠QAB+∠BAE＝45°，即∠EAQ＝45°，∴∠EAQ＝∠EAN＝45°，在△EAQ和△EAN中，AQ=AN∠EAQ=∠EAN∴△EAQ≌△EAN（SAS），∴EQ＝EN＝BE+DN，设DN＝a，∴CN＝CD﹣DN＝4﹣a，EN＝BE+DN＝1+a，在Rt△CEN中，由勾股定理得：EN2＝CE2+CN2，∴（1+a）2＝32+（4﹣a）2，解得：a＝2.4，∴CN＝4﹣a＝1.6，EN＝1+a＝3.4，∴△ECN的周长为：CN+EN+CE＝1.6+3.4+3＝8，故结论③正确；④∵DN＝2.4，BE＝1，∴BE2+DN2＝12+2.42＝6.76，又∵EN＝3.4，∴EN2＝3.42＝11.56，∴EN2≠BE2+DN2，故结论④不正确，综上所述：正确的结论是①②③，共3个．故选：C．11．把边长为1的正方形纸片对折4次后，所得的图形面积是116【答案】116【解答】解：初始正方形面积为1×1＝1；对折1次后面积为1×1对折2次后面积为12对折3次后面积为12对折4次后面积为12即对折4次后，所得的图形面积为116故答案为：11612．如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于4．【答案】4．【解答】解：设图中阴影部分的两个正方形的边长为：a，b，∵阴影部分的两个正方形的面积的和与周长的和分别为5，12，∴a2+b2＝5，4a+4b＝12，∴a+b＝3，∴（a+b）2＝9，∴a2+b2+2ab＝9，∴2ab＝9﹣5＝4，∵图中两个空白长方形的面积之和等于2ab，∴图中两个空白长方形的面积之和等于4．故答案为：4．13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F、G，若EG＝2，EF＝6，则BE的长度为210【答案】210【解答】解：方法一：四边形ABCD是正方形，如图1，连接DE，GF，∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°，CE＝CE，在△CBE和△CDE中，CB=CD∠ECB=∠ECD∴△CBE≌△CDE（SAS），∴BE＝ED，∵EF⊥CD，EG⊥AD，∴∠EGD＝∠GDF＝∠DFE＝90°，∴四边形GEFD是矩形，∴GF＝DE，在Rt△EFG中，EG＝2，EF＝6，由勾股定理得：GF=E∴BE=210方法二：在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，EF⊥CD，EG⊥AD，如图2，延长FE交AB于点H，则EH⊥AB，∴AD＝AB，EH＝GE，EF＝GD，∴四边形AHFE、四边形EFDG是矩形，四边形AHEG是正方形，∵EG＝2，EF＝6，∴EH＝AH＝2，AD＝FH＝HE+EF＝8，∴AB＝8，∴BH＝AB﹣AH＝8﹣2＝6，在直角三角形BEH中，由勾股定理得：BE=BH2故答案为：21014．如图，已知正方形ABCD的边长为8cm．若点N从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AD运动到点D后立即反向以原速向点A运动；同时点M从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→C→D方向运动．当点M到达点D时，两点同时停止运动．当运动时间是87或247秒时，AN＝【答案】87或24【解答】解：由题意可得：点N从A到D用时83s，从D到A用时83s；点M从B到C用时2s，从C到情况1：0＜t≤2（N在A→D，M在B→C），∵AN＝3t，CM＝8﹣4t，∵AN＝CM，∴3t＝8﹣4t，∴7t＝8，∴t=87（满足情况2：2＜t≤83（N在A→D，M在C→∵AN＝3t，CM＝4t﹣8，∵AN＝CM，∴3t＝4t﹣8，∴t＝8（不满足2＜t≤8情况3：83＜t≤4（N在D→A，M在C→∵AN＝16﹣3t，CM＝4t﹣8，∵AN＝CM，∴16﹣3t＝4t﹣8，∴7t＝24，∴t=247（满足故答案为：87或2415．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM．若正方形ABCD的边长为4，则GM的最小值为2．【答案】2．【解答】解：过点C，G作直线l，过点M作MH⊥直线l，如图所示：∴∠MHC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴CD＝AD＝4，∠CDA＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∵点M是CD的中点，∴CM＝DM=12∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∴∠GDE＝∠CDA＝90°，∴∠GDE﹣∠CDE＝∠CDA﹣∠CDE，∴∠GDC＝∠EDA，在△GDC和△EDA中，CD=AD∠GDC=∠EDA∴△GDC≌△EDA（SAS），∴∠DCG＝∠DAC＝45°，∴∠ACG＝∠DCG+∠DCA＝90°，∴直线l⊥AC，∴当点D在对角线AC运动时，点G在直线l上运动，根据“垂线段最短”得：当点G与点H重合时，GM为最小，最小值为HM的长，在△MHC中，∠MHC＝90°，∠DCG＝45°，∴△MHC是等腰直角三角形，∴HM＝HC，由勾股定理得：CM=HM∴HM=22CM∴GM的最小值为2，故答案为：2．16．一个正方体的木箱卡在了垂直于地面且互相平行的两堵墙之间，抽象出几何图形如图，AD、BE为墙面，四边形DCEF为正方形，说明该正方体木箱能否平放在这两堵墙之间．【答案】见解析．【解答】解：该正方体木箱能平放在这两堵墙之间．说明如下：∵四边形DCEF为正方形∴∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，DC＝CE（正方形的性质），∴∠ACD+∠ADC＝90°，又∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠ADC，在△BEC和△ACD中，∠BCE=∠ADC∠A=∠B∴△BEC≌△ACD（AAS），∴BC＝AD，∴AB＝AC+BC＝AC+AD，在△ACD中，由三角形三边关系可得AC+AD＞CD，即AB＞CD，∴该正方体木箱能平放在这两堵墙之间．17．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AD、AB上，连接CE、CF、EF，已知CE