江苏省百校大联考2026-2027学年高三（上）学情检测数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江苏省百校大联考高三（上）学情检测数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A=(0,4]，B={x|log2(x+1)<2}，则A∪B=A.(0,3) B.(−∞,4] C.(−1,4] D.(−∞,3)2.已知a，b∈R，则“a3>b3”是“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=log0.5(xA.(52,+∞) B.(−∞,52)4.已知正实数x、y满足x+y=6，则2x+8yxy的最小值是(

)A.83 B.3 C.103 5.设5a=2，b=ln32，c=A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.b>c>a6.函数f(x)=(ex−eA. B. C. D.7.正四棱锥S−ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的正投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD=3，则异面直线PC与BD的距离为(

)A.510 B.1010 C.8.已知函数f(x)=kx(x+1)−lnx，若f(x)<0有且只有3个整数解，则k的取值范围是(

)A.(ln26,ln36) B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.a>b>0，c>0，则下列结论正确的是(

)A.1ac<1bc B.ab<10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD−A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于A.(AA1+AB+AD)2=2(AC)2

B.AA1与平面ABCD所成角等于45°11.设函数f(x)的定义域为R，且满足f(2x+2)是偶函数，f(x)=−f(x+4)，当x∈(0,2]时，f(x)=2x2−x，则A.f(x)是奇函数

B.f(2026)=6

C.f(x)的最小值是−18

D.方程f(x)=18在区间三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知定义域为[−1,1]的函数f(x)=x3+sinx，则关于a的不等式f(a−2)+f(a213.已知α为锐角，且cos(α+π6)=35，则14.如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了

轮，此时点A走过的路径的长度为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知命题p：函数f(x)=lg(mx2−mx+1)的定义域为R；命题q：g(x)=cos(2x+π6)，不等式g2(x)−g(x)−m≥0在x∈[0,π2]上有解．

(1)若16.(本小题15分)

已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx−1．

(1)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到g(x)，求g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间；

17.(本小题15分)

已知关于x的函数f(x)=x+1x−2．

(1)若不等式f(2x)≥m⋅2x对x∈R恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若关于x18.(本小题17分)

如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．

(Ⅰ)若点G是棱AB的中点，求证：EG//平面BDF；

(Ⅱ)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；

(Ⅲ)在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求FHHC的值；若不存在，说明理由．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−12x2−asinx−1．

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在原点处的切线方程；

(2)若f(x)在(−π2,π2)1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】(2,13.【答案】2414.【答案】3(2+

15.【答案】解：(1)根据题意，命题q，g(x)=cos(2x+π6)，

不等式g2(x)−g(x)−m≥0在x∈[0,π2]上有解，

当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,7π6]，则cos(2x+π6)∈[−1,32]，

不等式g2(x)−g(x)−m≥0在x∈[0,π2]上有解，

即当g(x)∈[−1,32]时g2(x)−g(x)≥m有解，

令g(x)=t,t∈[−1,32]，

不等式g2(x)−g(x)−m≥0在x∈[0,π2]上有解，即不等式t2−t≥m在[−1,32]上有解，

设函数h(t)=t2−t，

易得区间(−1,12)上，h(t)单调递减，在(12,32)上，h(t)单调递增，

h(−1)=2，h(316.【答案】解：(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx−1=2cos2x−1+23sinxcosx=cos2x+3sin2x

=2(12cos2x+32sin2x)=2(sinπ6cos2x+cosπ6sin2x)=2sin(2x+π6)，

将f(x)=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位得到g(x)=2sin(2x−17.【答案】解：(1)令n=2x，则n>0，

不等式化为：n+1n−2≥mn，

即m≤1+1n2−2n，

设g(n)=1+1n2−2n，n>0，

则1n>0，

故g(n)=(1n−1)2≥0，

当且仅当1n=1，即n=1时取等号，

所以g(n)的最小值为0，

故实数m的取值范围为(−∞,0]．

(2)令u=|4x−1|，1u有意义，则u>0，x≠0，

|22x+1−2|=2|4x−1|=2u，

故原方程可化为18(u+1u−2)+t2u=3t8，

化简整理得u2−(2+3t)u+(1+4t)=0，18.【答案】(I)证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AB/​/CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，

∴CD=AB−2ADcos60°=1，即CD=12AB．

∵CD.//EF，CD.//12AB，又BG=12AB，

∴EF.//12BG，

∴四边形EFBG是平行四边形，

∴EG/​/BF，

又EG⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，

∴EG/​/平面BDF

(II)解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD=1+4−2×2×1×cos60°=3，

∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．

∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，

∴DE⊥平面ABCD．

以D为原点，以直线DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示：

则A(1,0,0)，E(0,0,1)，B(0,3,0)，D(0,0,0)，F(−12,32,1)

∴AE=(−1,0,1)，DB=(0,3,0)，DF=(−12,32,1)，

设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DB=0，n⋅DF=0，

∴3y=0−12x+32y+z=0，令z=1得n=(2,0,1)，

∴19.【答案】y=x

(−∞,1]

证明：令h(x)=ex−12x2−ax−1，则h′(x)=ex−x−a．

令v(x)=h′(x)=ex−x−a，则v′(x)=ex−1．

当x<0时，v′(x)=ex−1<0