【《PVA纤维的随机投放模拟分析》5300字】

PVA纤维的随机投放模拟分析目录TOC\o"1-3"\h\u10955PVA纤维的随机投放模拟分析 1216221.1引言 166771.2蒙特卡罗方法 1204201.3纤维在二维平面的随机投放模拟 2286071.3.1纤维纵截面的随机投放 237501.3.2线性纤维的随机投放 6121841.4纤维在三维空间的随机投放模拟 91.1引言在PVA-ECC材料中，PVA（聚乙烯醇）纤维的分布理论上是无序、随机且彼此不相交、不越界的。为了实现这一投放过程，本章节运用蒙特卡罗方法的思想，在MATLAB软件中分别实现二维平面PVA纤维纵截面和线性的随机投放、三维空间中PVA纤维的线性投放等相关程序编写。1.2蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法（MonteCarloMethod）[[]裴鹿成，王仲奇.蒙特卡罗方法及其应用.海洋出版社，1998：35-78[]裴鹿成，王仲奇.蒙特卡罗方法及其应用.海洋出版社，1998：35-78.randrand函数生成随机数的机理是通过一定的递推公式产生随机数列，而该随机数列其实并不是准确意义上的随机数列，因为它可能随着递推的进行表现出退化或循环的特征，所以常常称之为伪随机数。而相比于通过时刻、放射性、计算机噪音等复杂、费力的物理方式产生真正随机数的方法，伪随机数生成速度更快，效率更高，使用更方便，而且在其循环周期之内的条件下具有较好的随机性[[]徐钟济.蒙特卡罗方法[M].上海：上海科技出版社，1985[]徐钟济.蒙特卡罗方法[M].上海：上海科技出版社，1985.蒙特卡罗方法大致有以下三步：（1）构造概率模型构造与实际问题相符的概率模型。如果本身存在随机性，则可以通过一系列分析来得到其概率函数，而如果本身不存在随机性，可试图将其转化为某个随机过程发生后可求得的参数，建立该随机过程的概率模型。（2）进行随机抽样根据所建立的概率模型，在一定范围内随机生成一系列随机数（或伪随机数），所生成大量随机数的统计特征应该符合所建立的概率模型特征，与概率模型越相似，最终的估计量就会越接近精确值。（3）创建估计量根据产生的随机变量特征（个数、期望等）与所求量的相关关系，建立所求量的估计值求解式并求得估计量。1.3纤维在二维平面的随机投放模拟1.3.1纤维纵截面的随机投放为了更好地理解纤维在基体中的分布状况，更真实地表现纤维实体的随机投放结果，我们首先模拟二维平面中纤维纵截面在基体中的随机投放。纤维的实体形状是一个圆柱体，因此其纵截面实际上是一个长为纤维实长lf，宽为纤维横截面直径df的矩形。因此可以将此模拟看成是实心矩形在平面中的随机投放。投放的具体步骤如下：（1）输入基本参数根据模拟实际情况输入基体平面的宽度W和高度H，纤维纵截面的长度lf和宽度df，纤维总的纵截面面积占基体平面区域面积的比例（纤维纵截面面积分数）Sf等基本参数。（2）计算纤维总数已知以上基本参数后，即可通过计算来得出纤维投放的总数N。N的具体计算公式如（2-2）所示。N=式中各参数含义参见上文。由于N应是一个整数而上式计算结果可能是小数，故利用ceil函数对N的结果向上取整。（3）产生随机变量并转化为纤维的坐标属性从理论上来说，确定纤维纵截面的平面位置一共需要三个独立的随机变量，分别是：矩形中心点的横、纵坐标（x0，y0）、矩形长度方向中心线与X轴的夹角α。确定它们的取值范围之后就可以通过rand函数进行随机抽样。接下来是将已生成的三个独立随机变量通过一定的几何关系转化为纤维矩形纵截面的四个顶点，它们的几何关系见图2-1所示。YXYXBOAαlfdfx0y0由上图可列出矩形四个顶点坐标的计算式，如式（2-3）所示。X=其中X、Y分别是储存四个顶点坐标的矩阵；x0、y0含义参见上文；d表示矩形中心点到顶点的距离，也即矩形对角线长度的一半，计算公式如式（2-4）所示；角度A和B（两对角线分别与X轴的夹角）可由式（2-5）求出。d=A=α+（4）检查所生成纤维是否越界通过上述方法生成的纤维纵截面有可能会超出基体平面的边界，这在现实情况中是不可能发生的，因此需要排除超出边界的纤维。通过式（2-3）求出的储存四顶点坐标的X、Y矩阵，取矩阵中的最大值，应小于基体边界坐标最大值；矩阵中的最小值应大于基体边界最小值。只有满足这些条件才能说明纤维整体处在基体内部，而对于不满足条件的纤维则中断步骤，重回第三步生成新的纤维。（5）检查所生成新纤维是否与已生成纤维相交在实际情况中，两根独立的纤维不可能相交，因此需要判断纤维纵截面间是否发生重叠，需要排除发生重叠的纤维。对于新生成的纤维，应将其与已生成的纤维逐个对比，判断两者是否重叠，若发现重叠则应中断步骤，重新回到第三步生成新的纤维。MATLAB中可利用overlaps函数判别两封闭多边形是否发生重叠。（6）若所生成纤维既不越界也不与前者相交，则将其图形绘出，并将相关坐标属性收集在矩阵中。回到第三步继续生成新的纤维，直到符合要求的纤维数达到纤维总数N为止。依照上述步骤，即可实现二维平面内纤维纵截面的随机投放模拟，为了更清晰地体现模拟思路，画出模拟算法流程图，如图2-2所示。模拟投放后的图像如图2-3所示。基体平面采用100mm×100mm的正方形，纤维尺寸采用PVA纤维的真实尺寸，即长12mm，横截面直径0.039mm，所取纤维纵截面面积分数为1%。开始输入基本参数开始输入基本参数计算纤维总数生成随机纤维储存所生成纤维绘出所有纤维结束是是否否否是纤维是否越界是否与已生成纤维相交储存纤维数是否达到纤维总数图2-3二维平面纤维纵截面随机投放图1.3.2线性纤维的随机投放在一般的有限元模拟软件中，我们常常使用桁架单元来模拟纤维，而桁架单元属于两节点线性单元，因此对纤维的线性投放模拟也是十分重要的一环。线性纤维的投放模拟实际上是将纤维近似成一条长度确定的线段，可以当做是线段在平面内的随机投放。线性纤维随机投放大体思路与纤维纵截面随机投放相似，同样可以参考图2-2的模拟流程图来实现，但在细节方面与上者有一些差异，具体投放步骤如下：（1）输入基本参数输入基体平面宽度W和高度H，纤维长度lf和宽度df，纤维纵截面面积分数Sf等基本参数。（2）计算纤维总数纤维总数N的计算方法与上者相同，同样按照式（2-2）来计算。（3）产生随机变量并转化为纤维的坐标属性确定线性纤维的平面位置需要三个独立的随机变量，本模拟选取纤维一端点的横坐标x1、纵坐标y1以及纤维线段与X轴的夹角α作为随机变量。根据它们的取值范围配合rand函数进行随机抽样。再根据已生成的随机变量通过公式（2-6）计算出纤维另一个端点的坐标（x2，y2）。由于后续步骤需要用到纤维所在直线的方程式，这里通过公式（2-7）、（2-8）先行计算出纤维所在直线的斜率k和截距b。公式（2-6）~（2-8）如下所示。xk=b=式中各参数含义参见上文。（4）检查所生成纤维是否越界由于先生成的端点（x1，y1）是在基体平面中抽样产生，其一定处在区域内部，因此只需判断后生成的端点（x2，y2）是否越界，判断方法同1.3.1节所述。（5）检查所生成新纤维是否与已生成纤维相交在MATLAB软件中，没有专门判断两条线段是否相交的函数，因此需要通过已知的坐标数据建立相关关系来手动判断。本文一共提出如下三种判断思路：=1\*GB3①线段与直线的相交性判断如图2-4所示，已知某直线的方程式为kx+b−y=0，将直线上方一点A的坐标x1、y1代入方程则有kx1+b−y1<0；将直线下方一点B的坐标x2YXYXby=kx+bA(x1,y1)B(x2,y2)Ox1x2图2-4线段与直线相交性判断=2\*GB3②判断两线段所在直线的交点位置第三步已求得线段所在直线的方程式y=kx+b的系数k和b，因此两线段所在直线的交点横坐标x0可直接由式（2-9）求出。x其中k1、b1、k2得到交点横坐标之后判断其是否同时处于两条线段端点的横坐标区域内，若是，则两线段相交，否则不相交。值得注意的是，式（2-9）只有当k1≠=3\*GB3③向量法判断线段相交性AB12AB12如图2-5所示，判断线段AB与线段12是否相交，只需同时满足：(a)向量A1与向量AB的向量积和向量A2与向量AB的向量积方向相反；(b)向量1AAB12AB12A1图2-5向量法判断线段相交性利用以上思路拿新生成的纤维与已生成纤维逐一判断相交性，若有相交，则中断步骤，重回第三步生成新的纤维。（6）若新纤维既不越界也不与前者相交，则将其线段绘出，并将相关坐标属性收集在矩阵中。继续第三步生成新纤维，直到符合要求的纤维数达到纤维总数N为止。依照上述步骤，即可实现二维平面内线性纤维的随机投放模拟。模拟投放后的图像如图2-6所示。基体平面采用长宽为100mm×100mm的正方形，纤维尺寸采用PVA纤维真实尺寸，即长12mm，横截面直径0.039mm，所取纤维纵截面面积分数为1%。纤维线性投放图像看起来与纤维纵截面投放图像相似，但实际上一个是矩形，一个是线段，只不过矩形的宽度很小，而线段又具有可视化宽度。图2-6二维平面纤维线性随机投放图1.4纤维在三维空间的随机投放模拟在实际情况中，纤维是处在三维空间的基体内随机分布，共同发挥作用的，因此模拟三维空间中纤维的随机投放十分重要。有了二维平面投放的经验，三维投放算法的实现就有了更明确的思路。纤维投放模拟是为了更好地服务于后续有限元模型，而在有限元模型中，纤维采用三维二节点桁架单元，故需要研究线性纤维的随机投放模拟，模拟流程同样可参考图2-2，详细模拟步骤如下：（1）输入基本参数根据模拟实际情况输入试件基体的长度L、宽度W和高度H，纤维的长度lf和横截面直径df，纤维体积分数Vf等基本参数。（2）计算纤维总数由于输入的参数由面积分数变为体积分数，纤维总数N的计算公式也有了变化，如式（2-11）所示。N=式中各参数含义参见上文。同样用ceil函数对N的结果向上取整。（3）产生随机变量并转化为纤维的坐标属性理论上来说，确定线性纤维的空间位置需要五个独立的随机变量。如图2-7(a)所示，当确定纤维某一端点的坐标（x1，y1，z1），以及纤维在XOY面上的投影与X轴的夹角α、纤维与XOY面的夹角β这五个量后，长度确定的纤维的空间位置就已确定。这也可以看成是将一端在坐标原点并身处X轴上的原纤维按照α和β角依次转动，再将转动后的纤维平移x1、y1、z1三段距离后得到的结果。α’β’XZYαβα’β’XZYαβXZY(a)(b)图2-7三维线性纤维随机投放思路经过MATLAB的反复运行，将各思路的运行结果进行检验和对比后发现，对于正方体试块，仅当利用图2-7(b)的投放思路，将一端在坐标原点，另一端的x、y、z坐标相等（等于lf/3）的原纤维，分别绕X、Y、Z轴转动三个随机角度α、β和γ，再平移随机距离之后的投放结果才符合随机投放的角度相对于三轴对称性的特点。因此本模拟采用上述思路，生成六个随机变量，分别是纤维一端点的坐标x1、y1通过坐标转换矩阵R可以算出纤维端点绕坐标轴旋转后的坐标，例如端点原坐标（x，y，z）在绕X轴转α角之后的坐标（x’，y’，z’）可用式（2-12）表示如下：x同理，绕Y、Z轴旋转β、γ角后，可用Ry和Rz转换坐标，如式（2-13）和（2-14）所示。xx综合上述原理，可以得出纤维另一端点坐标（x2，y2，z2）的计算式（2-15）以及纤维与X、Y、Z坐标轴夹角Ax、Ay、Az的计算式（2-16），如下所示。xA（4）检查所生成纤维是否越界检查纤维后生成的端点（x2，y2，z2）是否越界，判断方法同1.3.1节所述。（5）检查所生成新纤维是否与已生成纤维相交=1\*GB3①判断两纤维是否共面利用式（2-17）即可判断纤维AB与纤维12所在直线是否共面。若F=0，则共面，否则不共面。若两纤维不共面，则不可能相交，