2027届湖南长沙市长郡教育集团数学九上期末质量检测模拟试题含解析

2027届湖南长沙市长郡教育集团数学九上期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为()A．y＝100x B．y＝C．y＝200x D．y＝2．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把A(3，4)逆时针旋转180°，得到点B,则点B的坐标为（）A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)3．图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D4．两个相似三角形，其面积比为16：9，则其相似比为()A．16:9 B．4：3 C．9：16 D．3：45．如图，正方形中，，为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接、.结论:①；②≌；③∽；④；⑤.其中的正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，切于两点，切于点，交于．若的周长为，则的值为（）A． B． C． D．7．已知，则代数式的值为（）A． B． C． D．8．某汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为()A．180千米/时 B．144千米/时 C．50千米/时 D．40千米/时9．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．1010．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）A．2.8×103 B．28×103 C．2.8×104 D．0.28×105二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为_____．12．如图，⊙O与抛物线交于两点，且，则⊙O的半径等于_______．13．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____．14．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=_____.15．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连结，若，则的度数是____．16．已知，则________17．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________．18．如图，菱形的边长为1，，以对角线为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形，再依次作菱形，菱形，……，则菱形的边长为_______．三、解答题(共66分)19．（10分）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？20．（6分）专卖店销售一种陈醋礼盒，成本价为每盒40元．如果按每盒50元销售，每月可售出500盒；若销售单价每上涨1元，每月的销售量就减少10盒．设此种礼盒每盒的售价为x元（50＜x＜75），专卖店每月销售此种礼盒获得的利润为y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）专卖店计划下月销售此种礼盒获得8000元的利润，每盒的售价应为多少元？（3）专卖店每月销售此种礼盒的利润能达到10000元吗？说明理由．21．（6分）定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°α90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；（3）如图3，C是函数（x0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．22．（8分）甲、乙两人用如图所示的转盘（每个转盘被分成面积相等的6个扇形）做游戏，转动转盘停止时，得到指针所在区域的数字，若指针落在分界线上，则不计入次数，重新转动转盘记数．(1)任意转动转盘一次，求指针落在奇数区域的概率；(2)若游戏规则如下：甲乙分别转盘一次，记下两次指针所在区域数字，若两次的数字为一奇一偶，则甲赢；若两次的数字同为奇数或同为偶数，则乙赢．请用列表法或画树状图的方法计算甲、乙获胜的概率，并说明这个游戏规则是否公平．23．（8分）已知，如图，是直角三角形斜边上的中线，交的延长线于点.求证:；若，垂足为点，且，求的值.24．（8分）今年，我市某中学响应“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元.（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商店有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？25．（10分）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．(1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出B，C，M的对应点B′，C′，M′的坐标．26．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝8，CE＝4，求弧BD的长．（结果保留π）

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=kx，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k【详解】由题意，设y＝kx由于点(0.5,200)适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100，∴y＝100x故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝100x故选：A.本题考查根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．2、D【分析】由题意可知点B与点A关于原点O中心对称，根据关于原点对称，横纵坐标均互为相反数可得B点坐标.【详解】解：因为点B是以原点为旋转中心，把A(3，4)逆时针旋转180°得到的，所以点B与点A关于原点O中心对称，所以点.故选：D本题主要考查了平面直角坐标系中的点对称，理解中心对称的定义是解题的关键.3、C【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合．【详解】解：根据中心对称的性质：

图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是点C.故选：C本题考查中心对称的性质，属于基础题，掌握其基本的性质是解答此题的关键．4、B【分析】根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方．【详解】根据题意得：＝．即这两个相似多边形的相似比为4：1．故选：B．本题考查了相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．5、C【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可．【详解】解：∵正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点

∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°

∵△ADE沿DE翻折得到△FDE

∴∠AED=∠FED，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°

∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90°

∴∠EBF=∠EFB

∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB

∴∠DEF=∠EFB

∴BF∥ED

故结论①正确；

∵AD=DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，DG=DG

∴Rt△DFG≌Rt△DCG

∴结论②正确；

∵FH⊥BC，∠ABC=90°

∴AB∥FH，∠FHB=∠A=90°

∵∠EBF=∠BFH=∠AED

∴△FHB∽△EAD

∴结论③正确；

∵Rt△DFG≌Rt△DCG

∴FG=CG

设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x

在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2

解得：x=2

∴BG=4

∴tan∠GEB=，故结论④正确；

∵△FHB∽△EAD，且，∴BH=2FH

设FH=a，则HG=4-2a

在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+（4-2a）2=22

解得：a=2（舍去）或a=，∴S△BFG==2.4

故结论⑤错误；

故选：C．本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强．6、A【分析】利用切线长定理得出，然后再根据的周长即可求出PA的长．【详解】∵切于两点，切于点，交于∴的周长为∴故选：A．本题主要考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．7、B【解析】试题分析：根据题意令a=2k,b=3k，．故选B．考点：比例的性质．8、C【分析】根据图像可知为反比例函数，图像过点（3000,20），代入(k),即可求出反比例函数的解析式，再求出牵引力为1200牛时，汽车的速度即可.【详解】设函数为(k),代入（3000,20），得，得k=60000，∴，∴牵引力为1200牛时，汽车的速度为=50千米/时,故选C.此题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是找到已知条件求出反比例函数的解析式.9、D【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6∴AB==10，故选D．考点：解直角三角形；10、C【解析】试题分析：28000=1.1×1．故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】在三角形中由同底等高，同底倍高求出，根据平行线分线段成比例定理，求出，最后由三角形的面积的和差法求得．【详解】连接DC，设平行线间的距离为h，AD=2a，如图所示：∵，，∴S△DEF=S△DEA，又∵S△DEF=1，∴S△DEA=1，同理可得：，又∵S△ADC=S△ADE+S△DEC，∴，又∵平行线是一组等距的，AD=2a，∴，∴BD=3a，设C到AB的距离为k，∴ak，，∴，又∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，∴．故答案为：．本题综合考查了平行线分线段成比例定理，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握平行线分线段成比例定理，难点是作辅助线求三角形的面积．12、【分析】连接OA，AB与y轴交于点C，根据AB＝2，可得出点A，B的横坐标分别为−1，1．再代入抛物线即可得出点A，B的坐标，再根据勾股定理得出⊙O的半径．【详解】连接OA，设AB与y轴交于点C，∵AB＝2，∴点A，B的横坐标分别为−1，1．∵⊙O与抛物线交于A，B两点，∴点A，B的坐标分别为（−1，），（1，），在Rt△OAC中，由勾股定理得OA＝＝＝，∴⊙O的半径为．故答案为：.本题考查了垂径定理、勾股定理以及二次函数图象上点的特征，求得点A的纵坐标是解题的关键．13、【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．【详解】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4，∴击中黑色区域的概率＝＝．故答案是：．本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．14、7.1【解析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出DF，根据BF=BD+DF，计算即可得答案．【详解】∵a∥b∥c，∴ACCE=BDDF，即46解得DF=4.1，∴BF=BD+DF=3+4.1=7.1，故答案为：7.1．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15、【分析】先根据旋转的性质得出，然后得出，进而求出的度数，再利用即可求出答案．【详解】∵绕直角顶点顺时针旋转，得到∵故答案为：70°．本题主要考查旋转的性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．16、【解析】∵，∴8b=3(3a-b)，即9a=11b，∴，故答案为.17、，但【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程有实数根，∴，解得：；∵是一元二次方程，∴，∴的取值范围是，但．故答案为：，但．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．18、【解析】过点作垂直OA的延长线与点，根据“直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半”求出，同样的方法求出和的长度，总结规律即可得出答案.【详解】过点作垂直OA的延长线与点根据题意可得，，则，∴在RT△中，又为菱形的对角线∴，故菱形的边长为；过点作垂直的延长线与点则，∴，∴在RT△中，又为菱形的对角线∴，故菱形的边长为；过点作垂直的延长线与点则，∴，∴在RT△中，又为菱形的对角线∴，故菱形的边长为；……∴菱形的边长为；故答案为.本题考查的是菱形，难度较高，需要熟练掌握“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一基本性质.三、解答题(共66分)19、（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是1元．【解析】分析：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入-成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．详解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得：，解得：x=25，经检验，x=25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，解得：y≥1．答：每套悠悠球的售价至少是1元．点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20、（1）y=－11x2＋1411x－41111；（2）销售价应定为61元/盒．（3）不可能达到11111元．理由见解析【分析】（1）根据题意用x表示销售商品的件数，则利润等于单价利润乘以件数．（2）根据此种礼盒获得8111元的利润列出一元二次方程求解，再进行取舍即可；（3）得出相应的一元二次方程，判断出所列方程是否有解即可．【详解】解：（1）y=(x－41)[511－11(x－51)]，整理，得y=－11x2＋1411x－41111；（2）由题意得y=8111，即－11x2＋1411x－41111=8111，化简，得x2－141x＋4811=1．解得，x1＝61，x2＝81（不符合题意，舍去）．∴x＝61．答：销售价应定为61元/盒．（3）不可能达到11111元．理由如下：当y=11111时，得－11x2＋1411x－41111=11111．化简，得x2－141x＋5111=1．△＝（-141）2-4×1×5111＜1，原方程无实数解．∴该专卖店每月销售此种礼盒的利润不可能达到11111元．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意售价、进价、利润、销售量之间的数量关系．21、（1）见解析；（2）；（3），P点坐标为或【分析】（1）由角平分线求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝30°，再证出∠OMP＝∠OPN，证明△MOP∽△PON，即可得出结论；（2）由∠MPN是∠AOB的“相关角”，判断出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；过点M作MH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△MON＝ON•MH，即可得出结论；（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝3CA不可能；当点A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：，得出OB，OA，求出OA•OB，根据∠APB是∠AOB的“相关角”，得出OP，即可得出点P的坐标；②当点B在y轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，∴∠OMP+∠MPO＝150°，∵∠MPN＝150°，∴∠MPO+∠OPN＝150°，∴∠OMP＝∠OPN，∴△MOP∽△PON，∴，∴OP2＝OM•ON，∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，∴OM•ON＝OP2，∴，∵P为∠AOB的平分线上一点，∴∠MOP＝∠NOP＝α，∴△MOP∽△PON，∴∠OMP＝∠OPN，∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，即∠MPN＝180°﹣α；过点M作MH⊥OB于H，如图2，则S△MON＝ON•MH＝ON•OMsinα＝OP2•sinα，∵OP＝3，∴S△MON＝sinα；（3）设点C（a，b），则ab＝4，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：BC＝3CA不可能，Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：∵BC＝3CA，∴，∵CHOB，∴△ACH∽△ABO，∴，∴,∴OB＝4b，OA＝a，∴OA•OB＝a•4b＝ab＝，∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，∴，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为：；②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：∵BC＝3CA，∴AB＝2CA，∴，∵CHOB，∴△ACH∽△ABO，∴，∴∴OB＝2b，OA＝a，∴OA•OB＝a•2b＝ab＝，∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，∴，∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为：；综上所述：点P的坐标为：或．本题考查反比例函数与几何综合，掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．22、（1）；（2）游戏规则公平，理由详见解析【分析】（1）直接根据概率公式求解即可得出答案；

（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）P（指针落在奇数区域）=．(2)列表如下：（画树形图评分方案同列表）1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）由表可知，P（甲获胜）=P（一奇一偶）=，P（乙获胜）=P（同奇或同偶）=，P（甲获胜）=P（乙获胜）=，所以，游戏规则公平本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23、（1）证明见解析；（2）9.【分析】（1）首先根据直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，然后由垂直的性质得出，最后由，即可得出；（2）首先由相似三角形的性质得出，然后由得出，进而即可得出的值.【详解】是直角三角形斜边上的中线.，而又由(1)知即..此题主要考查直角三角形斜边中线性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.24、（1）10%．（2）去B商场购买足球更优惠．【解析】试题分析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．试题解析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1﹣x）2=162，解得：x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．（2）100×≈90.91（个），在A商城需要的