2026年部编版高中数学高二年级第7章函数性质同步练习题及答案

2026年部编版高中数学高二年级第7章函数性质同步练习题及答案第1页共1页2026年部编版高中数学高二年级第7章函数性质同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是A.3B.2C.1D.0参考答案：A2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是A.0B.1C.2D.3参考答案：C3.函数h(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是A.1B.√2C.√3D.2参考答案：B4.函数k(x)=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最小值是A.-1B.0C.1D.2参考答案：A5.函数m(x)=e^x-x在区间(-1,1)上的零点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：B6.函数n(x)=x^3-3x+1的图像关于哪个点对称？A.(0,1)B.(1,0)C.(1,1)D.(-1,0)参考答案：C7.函数p(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-∞,+∞)上的极值点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：D8.函数q(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值点是A.1B.2C.3D.任意实数参考答案：B9.函数r(x)=x^4-4x^2+3的图像与x轴的交点个数是A.1B.2C.3D.4参考答案：D10.函数s(x)=x^3-3x+2的单调递增区间是A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是______。参考答案：32.若函数g(x)=1/x在点(1,1)处的切线方程为y=-x+2，则该函数的导数g'(x)=______。参考答案：-1/23.函数h(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期是______。参考答案：π4.已知函数m(x)=x^2-ax+4在x=2处取得极小值，则实数a的值为______。参考答案：85.函数n(x)=e^x-x在定义域R上的单调递增区间是______。参考答案：(0,+∞)6.若函数p(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像与直线y=kx平行，则实数k的取值集合为______。参考答案：{3}7.函数q(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是______。参考答案：28.函数r(x)=2cos^2(x)-sin(2x)的最大值是______。参考答案：3/29.若函数s(x)=ax^3-3x+1在x=1处的切线与直线y=6x-5平行，则实数a的值为______。参考答案：310.函数t(x)=x/(x^2+1)的单调递减区间是______。参考答案：(1,+∞)三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x³在定义域内单调递增。参考答案：√2.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则其反函数f⁻¹(x)在区间(a,b)上单调递增。参考答案：√3.函数f(x)=|x|在定义域R上处处可导。参考答案：×4.若函数f(x)在x=c处取得极值，则其导数f'(c)必等于0。参考答案：×5.函数f(x)=x²在(-1,1)区间上存在最大值但无最小值。参考答案：√6.若函数f(x)在区间I上连续且单调，则其在该区间上必有界。参考答案：√7.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π。参考答案：√8.若函数f(x)在x=c处二阶导数f''(c)0，则x=c必为f(x)的极小值点。参考答案：×9.函数f(x)=e^x在定义域内既无最大值也无最小值。参考答案：√10.若函数f(x)在区间(a,b)上恒有f'(x)0且f''(x)0，则其图像为凹向下的单调递增曲线。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断条件。参考答案：函数f(x)是奇函数当且仅当对于其定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)；函数f(x)是偶函数当且仅当对于其定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)。3.列举三个常见的具有周期性的函数。参考答案：三个常见的具有周期性的函数是f(x)=sin(x)，f(x)=cos(x)，f(x)=tan(x)。4.分析函数f(x)=x^3-3x的极值点。参考答案：函数f(x)=x^3-3x的极值点为x=1和x=-1。5.简述函数f(x)=1/x在定义域内的渐近线。参考答案：函数f(x)=1/x在定义域内的水平渐近线为y=0，垂直渐近线为x=0。6.列举函数f(x)=sin(x)的三个主要性质。参考答案：函数f(x)=sin(x)的三个主要性质是：①周期性，周期为2π；②奇偶性，为奇函数，满足f(-x)=-f(x)；③有界性，|sin(x)|≤1。7.说明函数f(x)=e^x的图像特征。参考答案：函数f(x)=e^x的图像特征是：①过点(0,1)；②在定义域R上单调递增；③无界；④图像位于第一、二象限；⑤无渐近线。8.分析函数f(x)=ln(x)在定义域内的单调性。参考答案：函数f(x)=ln(x)在定义域(0,+∞)内单调递增。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，求a的值及函数的单调区间。参考答案：a=3，单调增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调减区间为(1,3)2.设函数g(x)=e^x-bx+1，若g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数b的取值范围。参考答案：b≤13.已知函数h(x)=x^2-2x+3，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为4，最小值为14.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1与g(x)=x^2-x+1在区间[0,2]上相交，求交点的坐标。参考答案：(1,1)5.已知函数F(x)=ln(x)-x^2+2x，求函数的渐近线方程。参考答案：y=x-26.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1处都取得零值，求a和b的值。参考答案：a=0，b=-27.已知函数G(x)=x^3-3x^2+2x，求函数的拐点坐标。参考答案：(1,0)8.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的切线与直线y=x-1平行，求f(x)的解析式。参考答案：f(x)=x^3-3x^2+2x-1标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。最大值为3。2.参考答案：C解析：g(x)在x=-1时取最小值2。3.参考答案：B解析：h(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2。4.参考答案：A解析：k(x)=(x-2)^2-1，在x=2时取最小值-1。5.参考答案：B解析：m'(x)=e^x-1，令m'(x)=0得x=0。m(-1)0，m(1)0，零点存在。6.参考答案：C解析：f'(x)=3x^2-3，f(-1)=0，f(1)=0，图像关于(1,0)对称。7.参考答案：D解析：p'(x)=3x^2-6x+2，令p'(x)=0得x=1±√3/3，极值点为1-√3/3和1+√3/3。8.参考答案：B解析：q(x)在x=2时取最小值2。9.参考答案：D解析：r(x)=(x-1)(x+1)(x-√3)(x+√3)，交点为±1,±√3。10.参考答案：B解析：s'(x)=3x^2-3，令s'(x)=0得x=±1。单调递增区间为(-1,1)。二、填空题1.参考答案：3解析：函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0，得x=-1或x=1。计算f(-2)=-5，f(-1)=2，f(1)=-1，f(2)=3。故在区间(-2,2)上的最大值为3。2.参考答案：-1/2解析：函数g(x)=1/x的导数g'(x)=-1/x^2。在点(1,1)处，g'(1)=-1。切线方程为y-1=-1(x-1)，即y=-x+2。故g'(x)=-1/2。3.参考答案：π解析：函数h(x)=2sin(2x+π/3)的周期T=2π/ω=2π/(2)=π。4.参考答案：8解析：函数m(x)=x^2-ax+4的导数m'(x)=2x-a。在x=2处取得极小值，则m'(2)=4-a=0，解得a=4。又m''(x)=20，故x=2处为极小值点。验证m(2)=8-2a+4=12-2a，代入a=4得12-8=4，符合极小值条件。故a=8。5.参考答案：(0,+∞)解析：函数n(x)=e^x-x的导数n'(x)=e^x-1。令n'(x)0，得e^x-10，即e^x1，解得x0。故单调递增区间为(0,+∞)。6.参考答案：{3}解析：函数p(x)=x^3-3x^2+2x+1的导数p'(x)=3x^2-6x+2。若图像与直线y=kx平行，则p'(x)=k。即3x^2-6x+2=k。判别式Δ=(-6)^2-4×3×2=36-24=120，故方程有解。解得x=(6±√12)/6=1±√3/3。代入p'(x)=3x^2-6x+2，得k=3(1±√3/3)^2-6(1±√3/3)+2=3(1±√3/3)=3或1。故k=3。7.参考答案：2解析：函数q(x)=|x-1|+|x+1|可分段表示为：x≤-1时，q(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；-1x1时，q(x)=-(x-1)+(x+1)=2；x≥1时，q(x)=(x-1)+(x+1)=2x。在x=1处，q(x)=2。在x=-1处，q(x)=2。故最小值为2。8.参考答案：3/2解析：函数r(x)=2cos^2(x)-sin(2x)=1+cos(2x)-sin(2x)=1+√2sin(2x-π/4)。当sin(2x-π/4)=1时，函数取得最大值1+√2=3/2。9.参考答案：3解析：函数s(x)=ax^3-3x+1的导数s'(x)=3ax^2-3。在x=1处，s'(1)=3a-3。切线斜率为6，故3a-3=6，解得a=3。验证s(1)=3-3+1=1，切线方程为y-1=6(x-1)，即y=6x-5。符合题意。故a=3。10.参考答案：(1,+∞)解析：函数t(x)=x/(x^2+1)的导数t'(x)=(x^2+1)-2x^2/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2。令t'(x)0，得1-x^20，即x^21，解得x-1或x1。故单调递减区间为(1,+∞)。三、判断题1.参考答案：√解析：对于函数f(x)=x³，其导数f'(x)=3x²≥0，且仅在x=0时f'(x)=0。因此f(x)在定义域R上单调递增，符合函数单调性的定义。2.参考答案：√解析：根据反函数性质，若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则其值域为(B,A)，且反函数f⁻¹(x)在区间(B,A)上具有与原函数相反的单调性。因此f⁻¹(x)在区间(B,A)上单调递增。3.参考答案：×解析：函数f(x)=|x|在x=0处存在尖点，不满足可导的连续性条件。具体来说，左右导数不相等，f'_-(0)=-1≠f'_+(0)=1，因此f(x)在x=0处不可导。4.参考答案：×解析：函数f(x)在x=c处取得极值仅是导数为0的必要条件而非充分条件。例如f(x)=x³在x=0处导数为0但非极值点。极值点的判定还需结合二阶导数或导数符号变化进行验证。5.参考答案：√解析：函数f(x)=x²在(-1,1)区间上为连续单调递增函数，其值域为(0,1)。因此存在最大值f(1)=1，但无最小值，因为区间为开区间且函数在左端点无限接近0但永不取到。6.参考答案：√解析：根据闭区间上连续函数的性质，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且单调，则其必有界。对于开区间(a,b)，若f(x)单调递增，则上界为lim(x→b⁻)f(x)且下界为lim(x→a⁺)f(x)；若单调递减，则下界为lim(x→b⁻)f(x)且上界为lim(x→a⁺)f(x)，因此仍必有界。7.参考答案：√解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可化简为√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π/|ω|=2π，其中ω=1为角频率。8.参考答案：×解析：函数f(x)在x=c处二阶导数f''(c)0仅表明x=c为拐点，不能直接判定为极值点。极值点的判定需结合一阶导数符号变化或二阶导数测试，若f'(c)=0且f''(c)0，则x=c为极小值点。9.参考答案：√解析：指数函数f(x)=e^x在定义域R上单调递增且值域为(0,+∞)，因此既无最大值也无最小值，符合指数函数的性质。10.参考答案：√解析：由f'(x)0可知函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；由f''(x)0可知函数f(x)在区间(a,b)上图像为凹向下。因此f(x)在区间(a,b)上为凹向下的单调递增曲线，符合函数图像性质。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求明确区间和不等号方向。单调递增指随着自变量增大，函数值也增大；单调递减则相反。这是函数图像上倾斜方向的不同体现，常用于判断函数最值和证明不等式。本题考查对单调性定义的掌握，需区分开单调递增和递减的定义，以及与函数增减性的区别。2.参考答案：函数f(x)是奇函数当且仅当对于其定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)；函数f(x)是偶函数当且仅当对于其定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)。解析：奇偶性是函数的对称性质，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。判断时需先确认定义域是否关于原点对称（奇函数要求，偶函数不要求），然后验证对应关系。常见错误是忽略定义域限制，或混淆奇偶性定义中的符号。本题考查对奇偶性定义和判断条件的理解。3.参考答案：三个常见的具有周期性的函数是f(x)=sin(x)，f(x)=cos(x)，f(x)=tan(x)。解析：周期函数是指存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)。三角函数sin(x)，cos(x)的周期为2π，tan(x)的周期为π。常数函数f(x)=c也是周期函数，周期为任意非零常数。本题考查对常见周期函数的列举，需掌握基本三角函数的周期。4.参考答案：函数f(x)=x^3-3x的极值点为x=1和x=-1。解析：首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x^2=1，即x=±1。然后利用二阶导数判断，f''(x)=6x，f''(1)=-60，f''(-1)=60，故x=1为极大值点，x=-1为极小值点。也可用导数符号变化法判断。本题考查利用导数求函数极值的方法，需掌握一阶导数和二阶导数判别法。5.参考答案：函数f(x)=1/x在定义域内的水平渐近线为y=0，垂直渐近线为x=0。解析：水平渐近线是当x趋于无穷大或负无穷大时函数值趋于的水平直线，对于f(x)=1/x，lim(x→∞)1/x=0，lim(x→-∞)1/x=0，故y=0为水平渐近线。垂直渐近线是函数值趋于无穷大或无穷小的垂直直线，对于f(x)=1/x，当x→0时，1/x→±∞，故x=0为垂直渐近线。本题考查对反比例函数渐近线的理解。6.参考答案：函数f(x)=sin(x)的三个主要性质是：①周期性，周期为2π；②奇偶性，为奇函数，满足f(-x)=-f(x)；③有界性，|sin(x)|≤1。解析：正弦函数是基本三角函数，具有周期性、奇偶性和有界性等主要性质。周期性是f(x+2π)=sin(x)，奇偶性是关于原点对称，有界性是函数值始终在[-1,1]区间内。本题考查对正弦函数基本性质的掌握。7.参考答案：函数f(x)=e^x的图像特征是：①过点(0,1)；②在定义域R上单调递增；③无界；④图像位于第一、二象限；⑤无渐近线。解析：指数函数f(x)=e^x是基本初等函数，其图像过点(0,1)，在R上单调递增且无界，图像位于第一、二象限，无渐近线。e是自然对数的底数，约等于2.71828。本题考查对指数函数图像特征的掌握。8.参考答案：函数f(x)=ln(x)在定义域(0,+∞)内单调递增。解析：对数函数f(x)=ln(x)的定义域为(0,+∞)，求导f'(x)=1/x，由于x0，故f'(x)0，因此函数在定义域内单调递增。对数函数还有垂直渐近线x=0，水平渐近线y=0等性质。本题考查对数函数的单调性，需掌握求导判断单调性的方法。五、应用题1.参考答案：a=3，单调增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调减区间为(1,3)解析：由f'(x)=3x^2-a，得f'(1)=3-a=0，解得a=3。f'(x)=3(x-1)(x+1)，令f'(x)0得x-1或x1，令f'(x)0得-1x1，故单调增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调减区间为(-1,1)。由于x=1处为极值点，故单调区间应为(-∞,1)和(1,3)。2.参考答案：b≤1解析：g'(x)=e^