初三数学-第08讲-一元二次方程的综合应用（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第08讲---一元二次方程的综合应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标利用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题；认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力；熟练应用一元二次方程解决四类典型应用题。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识框架知识概念（一）一元二次方程的根与系数的关系1、如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2=2、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q3、以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－（x1+x2）x+x1x2=0（二）列一元二次方程解应用题1、步骤列一元二次方程解应用题的步骤可归结为审、设、列、解、验、答。2、几何面积问题（1）解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式；（2）不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线；（3）重视数形结合的思想方法。3、平均增降率问题对于P=a（1+x）n（1）a是增长或降低的基础量；（2）x是平均增长或降低率；（3）n是增长或降低的次数；（4）P是增长或降低后的数量；（5）“+”表示增长，“-”表示降低。4、利润问题（1）利润=售价-进价（成本）（2）利润率=EQ\F(利润,进价)×100%=EQ\F(售价-进价,进价)×100%（3）售价=进价×（1+利润率）（4）总利润=单件商品利润×销售量=销售额-总成本5、行程问题通常与构造直角三角形，使用勾股定理得到一元二次方程有关。典例分析典例分析考点一：一元二次方程的根与系数的关系例1、若m，n是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则m＋n－mn的值是()A．－7B．7C．3D．－3【解析】B例2、x＋y＝－6和xy＝－7有相同的解，若求x和y的值，可将x，y看作某方程的两根，则该方程应是()A．m2＋6m＋7＝0B．m2－6m－7＝0C．m2＋6m－7＝0D．m2－6m＋7＝0【解析】C例3、设x1、x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．(1)x12＋x22(2)eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)(3)x12＋x22－3x1x2【解析】x1＋x2＝eq\f(1,2)，x1·x2＝－eq\f(3,2)，(1)3eq\f(1,4)(2)－eq\f(13,6)(3)eq\f(31,4)例4、已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．【解析】由根与系数的关系可得：m＋(－2)＝－1，∴m＝1.又∵－2m＝n，∴n＝－2考点二：几何面积问题例1、从一块正方形的木板上锯掉一块2cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48cm2，那么原正方形木板的面积是()A．8cm2B．8cm2或64cm2C．64cm2D．36cm2【解析】C例2、小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为()A.2cmB．1cmC.0.5cmD．0.5cm或9.5cm【解析】C例3、如图，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2，由题意可列方程()A．2x·x＝24B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24D．(10－2x)(8－x)＝48【解析】D例4、如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．【解析】（1）设条纹的宽度为x米．依题意得2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4，解得：x1=（不符合，舍去），x2=．答：配色条纹宽度为米．（2）条纹造价：×5×4×200=850（元）其余部分造价：（1﹣）×4×5×100=1575（元）∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元．考点三：平均增降率问题例1、目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是()A．438(1＋x)2＝389B．389(1＋x)2＝438C．389(1＋2x)＝438D．438(1＋2x)＝389【解析】B例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是()A．100(1＋x)2＝81B．100(1－x)2＝81C．100(1－x%)2＝81D．100x2＝81【解析】B例3、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则()A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196【解析】C考点四：销售问题例1、某种花卉每盆盈利与每盆株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是()A．(3＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝15【解析】A例2、某商场销售一种冰箱，每台进价2500元．市场调查研究表明，当售价为2900元时，平均每天能售出8台；当售价每降50元时，平均每天就能多售出4台；商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台售价应降低多少元？【解析】设每台冰箱的定价应为x元，依题意得（x﹣2500）（8+×4）=5000，解方程得x1=x2=2750经检验x1=x2=2750符合题意．2900﹣2750=150（元）答：每台售价应降低150元．例3、为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．【解析】设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x﹣3）（500﹣10×）=800，解得x1=7，x2=5．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%．即x≤6．∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．考点五：行程问题例1、如图，两艘船同时从A点出发，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，几小时后两船正好相距100海里？【解析】设x小时后两船相距100海里，根据题意，得(15x)2＋(20x)2＝1002，解得x1＝4，x2＝－4(舍去)．答：4小时后两船相距100海里P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、若x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则x1＋x2＋2x1x2的值为()A．－3B．0C．1D．4【解析】B2、对于任意的非零实数m，关于x的方程x2－4x－m2＝0的根的情况是()A．有两个正实数根B．有两个负实数根C．有一个正实数根，一个负实数根D．没有实数根【解析】C3、关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【解析】依题意△＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1，∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a，∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a，∴﹣=1﹣a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=﹣1．故选：B．4、有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45【解析】A．5、从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（）A．100cm2 B．121cm2 C．144cm2 D．169cm2【解析】A．6、广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a%，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（）A．188（1+a%）2=118 B．188（1﹣a%）2=118 C．188（1﹣2a%）=118 D．188（1﹣a2%）=118【解析】B．7、某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（）A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）2=175C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175【解析】D．8、如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则点P、Q分别从点A，B同时出发，经过秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2.【解析】2或49、某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1400元，每件应降价元．【解析】6或1010、某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是____【解析】20%11、为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)【解析】设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30－2x)(20－x)＝532.解得，x1＝1，x2＝34.∴34＞30(不合题意，舍去)，∴x＝1.答：小道进出口的宽度应为1米.12、小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？【解析】∵80×10＝800(元)<1200元，∴小丽买的服装数大于10件．设她购买了x件这种服装，根据题意，得x[80－2(x－10)]＝1200.解得x1＝20，x2＝30.∵1200÷30＝40<50，∴x2＝30不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装13、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．【解析】假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为th，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，由题意得：AC=20t，AE=AB﹣BE=100﹣40t，EC=20，根据勾股定理可得（20t）2+（100﹣40t）2=202，方程无解，进而可得不会受影响．课后反击1、一元二次方程x2＋3x＝1的两根之和与两根之积分别是()A．3，1B．－3，－1C．3，－1D．－3，1【解析】B．2、若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1【解析】D．3、已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（）A．B． C． D．【解析】D．4、元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（）A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=2×90C．x（x﹣1）=90÷2 D．x（x+1）=90【解析】A．5、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（）A．4x2=3600 B．100×50﹣4x2=3600C．（100﹣x）（50﹣x）=3600 D．（100﹣2x）（50﹣2x）=3600【解析】D．6、某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4【解析】D．7、已知x＝3是关于x的方程x2＋2x＋m＝0的一根，则另一根是____，m＝____【解析】－5，－158、如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20m．设AB的长为5xm.(1)请求AD的长；(用含字母x的式子表示)(2)若该花圃的面积为50m2，且周长不大于30m，求AB的长．【解析】(1)作BH⊥AD于点H，则AH＝3x，由BC＝DH＝20－9x，得AD＝20－6x(2)由2(20－9x)＋3x＋9x≤30得x≥eq\f(5,3)，由eq\f(1,2)[(20－9x)＋(20－6x)]×4x＝50得3x2－8x＋5＝0，∴x1＝eq\f(5,3)，x2＝1(舍去)，∴5x＝eq\f(25,3).答：AB的长为eq\f(25,3)米9、关于x的方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0.(1)a为何值时，方程的一根为0?(2)a为何值时，两根互为相反数？【解析】(1)由方程的一根为0可得：－eq\f(a－1,2)＝0，∴a＝1(2)设方程的两根分别为x1，x2，∵两根互为相反数，∴x1＋x2＝0.∴eq\f(a2－4,2)＝0.∴a＝±2.∵当a＝－2时，方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0无解．∴a＝210、据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，去年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了．假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使明年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取eq\r(2)≈1.41)【解析】设每年的增长率为x，秸杆总量为a，则有30%a(1＋x)2＝60%a，解得x1≈0.41＝41%，x2≈－2.41(不合题意，舍去)．答：每年的增长率为41%11、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获得2240元的利润，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【解析】(1)设每千克核桃应降价x元，根据题意得(60－x－40)(100＋eq\f(x,2)×20)＝2240.化简得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6，则每千克核桃应降价4元或6元(2)∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元，此时，售价为60－6＝54(元)，eq\f(54,60)×100%＝90%，则该店应按原售价的九折出售12、如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门．（1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长；（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应为多少米？【解析】（1）设BC的长为xm，则AB的长为（25+1﹣x）m．依题意得：（25+1﹣x）x=80，化简，得x2﹣26x+160=0，解得：x1=10，x2=16（舍去），（2）依题意得：，解得≤x≤12，所以x最小=．答：略.直击中考直击中考1、【2016•桂林】若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5【解析】B．2、【2014•黄冈】若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（）A．﹣8 B．32 C．16 D．40【解析】C3、【2013•烟台】已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是（）A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11【解析】A4、【2016•恩施州】某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（）A．8 B．20 C．36 D．18【解析】B．5、6、【2014•莱芜】若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=．【解析】﹣16、【2016•鄂州】关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．【解析】（1）①当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+