初三上册数学-第16讲-反比例函数的应用（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（上）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第16讲---反比例函数的应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标分析问题中两个变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识；能用反比例函数解决简单实际问题，进一步体会数形结合的思想，发展几何直观。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂前情回顾前情回顾反比例函数图像形状图象是双曲线；位置1）当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内；2）当k<0时,双曲线分别位于第二,四象限内。增减性1）当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小；2）当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大。变化趋势双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交；对称性双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形；由定义求面积任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k。体系搭建体系搭建一、知识框架知识概念（一）反比例函数与直线相交问题1、解决直线与双曲线的交点问题时，就是将反比例函数与直线联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；2、判断直线与双曲线有无公共点，可用△=b2-4ac来确定；3、交点个数可以通过△的正负判断：1）△＞0，有两个交点；2）△=0，只有一个交点；3）△＜0，没有交点。（二）用反比例函数图解不等式1、比较反比例函数的大小1）利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大小，也可以利用反比例函数的图形比较大小；2）根据反比例函数的增减性可以确定反比例函数系数的符号。2、利用函数图像解不等式模型建立：如图，一次函数y=kx+b的图像与反比函数y=的图像相交于M,N两点。利用图中图像求反比例和一次函数的解析式；根据图像写出关于的方程y=kx+b=的解；根据图像写出关于x的不等式：kx+b＜的解集。3、求线段的最值1）给出x与y的取值范围，求线段最短或最长距离转换成求两点之间的距离，并结合反比例图像的对称性质计算；2）求反比例函数外的点到反比例函数上点通过对称性质，转换到同一线段求解。4、系数“K”的几何意义：求图形的面积或已知面积求K值1）反比例函数上的任意一个点的面积(向x轴、y轴作垂线形成的矩形，或者与原点形成的三角形面积分别为∣k∣、EQ\F(∣k∣,2)；2）技巧：求解析式或面积都必须转换成反比例函数上的点计算。典例分析典例分析考点一：应用反比例函数解决实际问题例1、设每个工人一天能做某种型号的工艺品x个，若某工艺品厂每天生产这种工艺品60个，则需要工人y名，则y关于x的函数解析式为（）A．y=60x B． C． D．y=60+x【解析】C．例2、某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）A． B． C． D．【解析】C．考点二：反比例函数与一次函数（比较大小问题）例1、如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【解析】D．例2、如图，是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）【解析】①②④．考点三：反比例函数与一次函数（交点问题）例1、已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【解析】（1）反比例函数的解析式是y=，一次函数解析式是y=x+3；（2）如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，当x=﹣4时，y=﹣1，∴B（﹣4，﹣1），当x=0时，y=3，∴C（0，3），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC==；（3）根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．例2、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x﹣4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=也经过A点．（1）求点A的坐标和k的值；（2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AM=AN．设点A的坐标为（a，a），∵点A在直线y=3x﹣4上，∴a=3a﹣4，解得a=2，则点A的坐标为（2，2），∵双曲线y=也经过A点，∴k=4；（2）假设双曲线上存在一点Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△APQ为所求作的等腰直角三角形．理由：在△AOP与△ABQ中，∵∠OAB﹣∠PAB=∠PAQ﹣∠PAB，∴∠OAP=∠BAQ，在△AOP和△ABQ中，∴△AOP≌△ABQ（ASA），∴AP=AQ，∴△APQ是所求的等腰直角三角形．∵B（4，0），∴Q（4，1），经检验，在双曲线上存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．考点四：系数“K”的几何意义（巩固）（求图形的面积或已知面积求K值）例1、如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为．【解析】设P（0，b），∵直线AB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=﹣的图象上，∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b），又∵点B在反比例函数y=的图象上，∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b），∴AB=﹣（﹣）=，∴S△ABC=•AB•OP=••b=3．故答案为：3．例2、如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（）A．16 B． C． D．9【解析】连DC，如图，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积4，设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，而点D为OB的中点，∴BD=OD=b，∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，∴ab=，把A（a，b）代入双曲线y=，∴k=ab=．故选B．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（）A． B． C． D．【解析】A．2、某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x之间的函数关系式是（）A．y=（x取正整数）B．y=C．y= D．y=8000x【解析】A．3、在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤【解析】B．4、若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=EQ\F(3,x)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【解析】D．5、已知，如图一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5【解析】D．6、如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，且与AB交于点E．若OD=2，则△OCE的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．4【解析】连接AC，∵OD=2，CD⊥x轴，∴OD×CD=xy=4，解得CD=2，由勾股定理，得OC==2，由菱形的性质，可OA=OC，∵OC∥AB，∵△OCE与△OAC同底等高，∴S△OCE=S△OAC=×OA×CD=×2×2=2．故选C．7、如图，O为坐标原点，点A（1，5）和点B（m，1）均在反比例函数y=图象上．（1）求m，k的值；（2）设直线AB与x轴交于点C，求△AOC的面积．【解析】（1）将A（1，5）和点B（m，1）代入y=得：m=5，k=5；（2）（解法一）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则AE∥BF，从而△AEC∽△BFC；=⇒=⇒CF=1；OC=OF+CF=6；S△AOC=OC×AE=×6×5=15．（解法二）设直AB所对应的一次函数关系式为：y=ax+b；．⇒a=﹣1，b=6；∴y=﹣x+6；令y=0，得x=6，即OC=6，S△AOC=OC×AE=×6×5=15．8、如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．【解析】（1）∵反比例函数y=的图象过点A（1，4），∴4=，即m=4，∴反比例函数的解析式为：y=．∵反比例函数y=的图象过点B（n，﹣2），∴﹣2=，解得：n=﹣2∴B（﹣2，﹣2）．∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），∴，解得．∴一次函数的解析式为：y=2x+2；（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．课后反击1、某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷【解析】C2、若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1【解析】B3、如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为（）A．xl=1，x2=2 B．xl=﹣2，x2=﹣1C．xl=1，x2=﹣2 D．xl=2，x2=﹣1【解析】C4、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=的图象可能是（）A． B． C． D．【解析】C5、函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【解析】∵A、B是反比函数y=上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C．6、如图，点A（m，2），B（5，n）在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值为．【解析】∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=1，∴A（1，2），∴k=1×2=2．故答案为：2．7、如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数y=（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．【解析】∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，BC=OA，∵A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），∴OA=4，OC=2，∵P是矩形对角线的交点，∴P（2，1），∵反比例函数y=（x＞0）的图象过对角线的交点P，∴k=2，∴反比例函数的解析式为：y=，∵D，E两点在反比例函数y=（x＞0）的图象的图象上，∴D（4，），E（1，2）∴S阴影=S矩形﹣S△AOD﹣S△COF﹣S△BDE=4×2﹣×2﹣×2﹣××3=．故答案为：．8、如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．【解析】（1）把A（1，4）代入y=得：m=4，∴反比例函数的解析式为：y=；（2）把B（4，n）代入y=得：n=1，∴B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得，∴，∴一次函数的解析式为：y=﹣x+5；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，由作图知，B′（4，﹣1），∴直线AB′的解析式为：y=﹣x+，当y=0时，x=，∴P（，0）．9、如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．【解析】（1）把A（﹣2，b）代入y=﹣得b=﹣=4，所以A点坐标为（﹣2，4），把A（﹣2，4）代入y=kx+5得﹣2k+5=4，解得k=，所以一次函数解析式为y=x+5；（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，根据题意方程组只有一组解，消去y得﹣=x+5﹣m，整理得x2﹣（m﹣5）x+8=0，△=（m﹣5）2﹣4××8=0，解得m=9或m=1，即m的值为1或9．直击中考直击中考1、【2016•广州】一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=【解析】B．2、【2016•绥化】当k＞0时，反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是（）A． B． C． D．【解析】C．3、【2016•宁夏】正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【解析】B．4、【2015•河北】一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（）A．B． C． D．5、【2015•深圳】如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=．【解析】∵△BCE的面积为8，∴，∴BC•OE=16，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB=∠EBO，又∠EOB=∠ABC，∴△EOB∽△ABC，∴，∴AB•OB•=BC•OE∴k=AB•BO=BC•OE=16．故答案为：16．6、【2014•深圳】如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=．【解析】：过A作AE⊥x轴于点E．∵S△OAE=S△OCD，∴S四边形AECB