2026线性代数期末试卷及答案

2026线性代数期末试卷及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A、B均为n阶方阵，且ABA.A=0B.BC.|A|D.A与B均不可逆答案：C解析：由AB=0得|AB|=|A2.设向量组α1A.αB.αC.αD.α答案：A解析：设k1(α1+α2)+3.设A为m×n矩阵，R(A.若r=n，则B.若r=m，则C.若r<n，则D.若r=m=答案：C解析：R(A)=r<n时，Ax=0有非零解。A项错误：r=4.设3阶方阵A的特征值为1,2,A.−B.0C.1D.2答案：B解析：A−2I的特征值为15.下列矩阵中，为正定矩阵的是（）A.1B.1C.2D.1答案：C解析：C的顺序主子式2>0，2112=3二、填空题（每题3分，共15分）1.计算行列式D=答案：−解析：将第2、3、4行分别减去第1行，得D2.设A=12答案：−解析：|A|=1×3.设向量组α1=(答案：3解析：以α1,α2,α34.设4元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A答案：1解析：未知数个数n=4，基础解系所含解向量个数为5.设2阶矩阵A与对角矩阵200−答案：−解析：相似矩阵有相同的特征值，所以A的特征值为2和−1，故|三、计算题（每题10分，共50分）1.计算n阶行列式$$D_n=\begin{vmatrix}

x&a&a&\cdots&a\\

a&x&a&\cdots&a\\

a&a&x&\cdots&a\\

\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

a&a&a&\cdots&x

\end{vmatrix},$$其中a≠答案：D解析：将第2列至第n列都加到第1列，第1列元素均变为x+(n−1$$D_n=[x+(n-1)a]

\begin{vmatrix}

1&a&a&\cdots&a\\

0&x-a&0&\cdots&0\\

0&0&x-a&\cdots&0\\

\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

0&0&0&\cdots&x-a

\end{vmatrix}.$$右侧为上三角行列式，其值为(xD2.求矩阵A的特征值和特征向量，并判断A是否可对角化。答案：特征值为λ1=λ对应于λ=$$\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix},\quad

\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}.$$对应于λ=k由于3阶矩阵A有3个线性无关的特征向量，因此A可对角化。解析：计算|A−λI|当λ=2时，解$$\begin{pmatrix}-1&-2&2\\-2&-4&4\\2&4&-4\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.$$该矩阵秩为1，方程化为−x1−2x2+2x3=0，取当λ=−7时，解(3.设向量组α求向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。答案：R(可取极大无关组为α1其余向量表示为α解析：以α1,α2,$$\begin{pmatrix}

1&1&-1&1\\

1&0&-2&2\\

2&0&0&4\\

1&2&1&0

\end{pmatrix}

\sim

\begin{pmatrix}

1&1&-1&1\\

0&1&1&-1\\

0&0&1&0\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}.$$阶梯形矩阵的非零行数为3，故秩为3。主元所在列对应于原向量α1,α4.设线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1,\\

2x_1+(a+1)x_2+(a+1)x_3=2,\\

x_1+x_2+(a+1)x_3=a,

\end{cases}$$问a取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。答案：当a≠0且当a=当a=$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}

+t

\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},

\quadt\in\mathbb{R}.$$解析：系数矩阵的行列式为|当a≠0且a≠当a=0时，第三方程为x1当a=$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1,\\

x_1+x_2+x_3=1,\\

x_1+x_2+2x_3=1.

\end{cases}$$第三个方程减第一个方程得x3=0，故x1+x2$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}1-t\\t\\0\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}

+t

\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}.$$5.求一个正交变换x=f化为标准形。答案：二次型对应的对称矩阵为$$A=\begin{pmatrix}

2&2&-2\\

2&5&-4\\

-2&-4&5

\end{pmatrix}.$$A的特征值为λ1=λ对应λ=α对应λ=α单位化得$$p_1=\begin{pmatrix}-\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{1}{\sqrt{5}}\\0\end{pmatrix},\quad

p_2=\begin{pmatrix}\frac{2}{3\sqrt{5}}\\\frac{4}{3\sqrt{5}}\\\frac{5}{3\sqrt{5}}\end{pmatrix},\quad

p_3=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}.$$令P则P为正交矩阵，正交变换x=f解析：由二次型写出对称矩阵A。计算特征多项式得特征值1,当λ=1时，解(A−I)x当λ=10时，解(A将α1,α2,四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶方阵，若A2=A且A答案：由A2=A，得A(AA即A−I=2.设向量组α1$$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,