第4章 数据的概括性度量（课件）- 《统计学》同步教学（东北财经大学）

第4章数据的概括性度量

Ø总量指标

Ø相对指标

Ø集中趋势指标

Ø离散趋势指标

Ø分布的偏态和峰度的测定

学习目标

1.理解总量指标、相对指标、集中趋势指标及离散趋

势指标的概念、计算方法、应用条件。

2.掌握各种概括性数据的综合应用与分析解释。

3.学会运用Excel工具进行数据处理，能熟练运用该

工具辅助计算各种总量指标、相对指标、离散指

标及偏度和峰度。

4.1总量指标

总量指标是用来说明社会经济现象在一定条件下的总规模、

总水平或工作总量的统计指标。通常以绝对数形式表示。

中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报：全

年国内生产总值827122亿元，全年国民总收入825016亿元，年

末全国大陆总人口139008万人，年末国家外汇储备31399亿美

元。

1.总量指标是认识社会经济现象的起点。

2.总量指标是实施计划管理，进行宏观调控的重要依据。

3.总量指标是计算其它指标的基础。

1.按反映的内容不同，分为总体单位总量和总体标志总量

总体单位总量是总体内所有单位的合计数。

总体标志总量是总体单位某一特定标志值的总计。

总体单位总量和总体标志总量的划分具有相对性，随着研

究的目的不同可以相互转化。例如，若研究全国工业企业生产

经营状况，则全国工业企业数是总体单位总量，而全国工业企

业职工人数则是总体标志总量；若研究目的变为研究全国工业

企业职工的工资水平，那么全国工业企业职工人数就是总体单

位总量。

2.按总量指标反映的时间状况不同，分为时期指标和时点指标

时期指标是反映现象在一定时期内发展变化所达到的规模或

水平，如某地区增加值、商品销售额、产品产量等。

时点指标是反映现象在某一时刻(瞬间)上达到的规模或水平，

如商品库存量、外汇储备等。

时期指标与时点指标的主要区别体现在：

u时期指标数值相加可以表明现象在较长时间内发展的总量，

具有一定的实际意义；而时点指标除了空间可相加外，不同时

点指标数值相加没有实际意义。

u时期指标数值的大小除一些特殊指标外一般与时间长短有直

接关系，时间越长，数值越大；时点指标数值与时间长短没有

直接关系。

u时期指标数值一般是通过连续登记取得；时点指标数值是间

断登记取得。时期指标反映现象在一段时间内的总量，因而需

要在这一时间范围内进行逐一登记，并进行累计。时点指标反

映现象在某一瞬间的数量，只需在各个时点上进行登记，即可

获取每个时点上数值。

3.总量指标按其采用的计量单位不同，分为实物量指标、价

值量指标和劳动量指标。

（1）实物量指标

实物量指标是用实物单位计量的总量指标。实物单位是按照

事物的自然属性和特点采用的计量单位。它包括自然单位、度

量衡单位、复合单位和标准实物单位。

（2）价值量指标

价值量指标是用货币单位计量的总量指标。如国内生产总值、

社会商品零售额、成本等。

（3）劳动量指标

劳动量指标是用劳动时间单位计量的总量指标。如工日、工

时等。

总量指标的计量单位

自然单位：头、辆、人

实物单位度量衡单位：米、公斤、吨

双重单位：台/千瓦、人/平方公里

复合单位：吨公里、千瓦小时

计量单位货币单位元

美元、英镑等

工日

劳动单位

工时

通过下表：1、区分总体单位总量与总体标志总量；

2、区分时期指标与时点指标。

单位企业数职工人数固定资产增工业增加值

名称(个)（人）加额(万元)（万元）

纺织局30080001000200

化工局25050002000500

机械局45070002000300

合计10002000050001000

总体单位总量总体标志总量

时点指标时期指标

1.直接计算法：

直接对总体的全部单位进行计数或将总体单位的某一标志

值加以汇总

2.间接计算法：

间接计算法是根据事物之间的相互关系，采用一定的数学

方法间接推算总体总量。

1.明确各个指标的含义和计算范围。

2.注意计量单位的统一性。

4.2相对指标

相对指标的意义

1.相对指标的含义

相对指标是两个有联系的指标对比的结果，它是用来反映社

会经济现象之间数量对比关系的综合指标。

相对指标可以用来反映现象结构、比例、强度、密度、速

度等。

2.相对指标的表现形式

(1)无名数

无名数常用倍数或系数、成数、百分数和千分数表示。

(2)有名数

有名数是由对比的分子和分母指标的计量单位构成，表明现

象的密度、强度和普遍程度。

如人口密度用“人/平方公里”表示，每万人医疗机构床位

数用“张/万人”表示，人均粮食产量用“公斤/人”表示，等。

相对指标的种类

●结构相对指标

●比例相对指标

●计划完成程度相对指标

●比较相对指标

●强度相对指标

●动态相对指标

结构相对指标

◆概念

p在总体进行分组的情况下，将总体中某部分数值与总体

全部数值进行对比的结果，它揭示各组在总体中的比重

及作用程度。一般以%表示

p各部分所占比重之和必须为100%或1

p指标的分子分母不能互换

◆计算公式

总体某一部分数值

结构相对指标100%

总体全部数值

【例4.1】我国第六次人口普查人口性别数据

性别人口数(人)比重(%)

男68685257251.27

女65287228048.73

合计1339724852100.00

比例相对指标

◆概念

p总体中某一部分数值与另一部分数值对比的结果，表明

总体范围内各个局部之间的比例关系和协调平衡状况。

常用%或几比几的形式表示。

p分子分母可以互换

◆计算公式总体某一部分数值

比例相对指标

总体中另一部分数值

【例4.2】年我国第六次人口普查资料显示，男性人口数为

686852572人，女性人口数为652872280人，试计算人口性别比

例。以女性人口为对比基础的性别比例为：

686852572

比例相对指标105.20%

652872280

这一比例基本符合人口学中102～107的正常范围。

计划完成程度相对指标

u概念

n某种社会经济现象在一定时期内实际完成数与计划任务

数对比的结果，用以说明计划完成程度。

n通常以%表示

u基本公式:

实际完成数

计划完成程度相对指标100%

计划任务数

【例4.3】某商店第一季度计划零售额2750万元，实际零售额

2900万元，试计算该商店第一季零售额计划完成程度。

2900

计划完成程度相对指标100%

2750

105.45%

计算结果表明，该商店第一季度零售额超额5.45%完成计划。

◆计划完成情况相对数的计算形式

●计划数为绝对数或平均数：可直接采用上述公式计算

●计划数为相对数：例如：劳动生产率提高x%,单位成本降

低y%。

100实际提高(降低)百分比

计划完成程度相对指标

100计划提高(降低)百分比

【例4.4】某企业计划规定劳动生产率比上年提高10%，实

际提高15%，试检查该企业劳动生产率提高计划完成程度。

10015%

计划完成程度相对指标

10010%

104.5%

计算结果表明，该企业劳动生产率计划超额4.5%完成。

【例4.5】某企业某产品单位成本本年计划降低率为6%，实

际降低率为7%，试检查该企业单位成本降低率计划完成程度。

100%7%

计划完成程度相对指标100%

100%6%

98.94%

计算结果表明，该企业单位成本实际比计划降低1.06%。

比较相对指标

u概念

p比较相对指标是指同一时间内不同总体的同类指标对比

的结果，反映现象在不同总体之间发展的不平衡状况。

用以比较的指标既可以是总量指标，也可以是相对指标

或平均指标。

p常用%或倍数表示

u计算公式：

某一总体的某类指标数值

比较相对指标

另一总体的同类指标数值

【例4.6】2016年我国城镇居民人均可支配收入33616元，农

村居民人均可支配收入12363元，将城镇居民与农村居民的收入

做比较。

33616

比较相对指标2.72

12363

计算结果表明，2016年我国城镇居民人均可支配收入是农村居

民人均可支配收入的2.72倍。

强度相对指标

u概念

p两个性质不同但又有联系的总量指标对比的结果。反映现

象发展的强度、密度和普遍程度。

p表现形式可以是有名数，也可以是无名数如倍数、系数、

百分数或千分数。

p有正、逆指标之分

u计算公式

某一总量指标数值

强度相对数

另一性质不同但有联系的总量指标数值

【例4.7】我国国土面积为960万平方公里，第六次人口普查

人口总数为1339724852人，计算我国的人口密度为：

1339724852

人口密度139.55(人/平方公里）

9600000

动态相对指标

u概念

p动态相对指标是某一指标在不同时间上对比的结果，反

映现象在时间上发展变化的程度，一般用百分数表示，

也称为发展速度。

p通常用%表示

u计算公式

报告期水平

动态相对指标100%

基期水平

【例4.8】我国2015年国内生产总值为676708亿元，2016年

为744127亿元，计算国内生产总值的发展速度为：

744127

发展速度100%109.96%

676708

计算结果表明，2016年国内生产总值比2015年增长9.96%。

相对指标应注意的问题

1.注意指标的可比性

可比性体现在要保证对比的两个指标在含义、内容、时间、

空间和计算方法等口径上的协调一致，相互适应。

2.相对指标和总量指标结合运用

相对指标可以有效地反映事物的联系和对比关系，但却表现

为一个抽象化的数值，掩盖了现象间绝对量的差别。为此，需

将相对指标和总量指标结合使用。

3.注意各种相对指标结合使用

每个相对指标都是反映现象某个方面的特征，单个指标有很

大的片面性，只有各种相对指标结合使用才能更深入揭示现象

的总体特征。

4.3集中趋势指标

4.3.1集中趋势指标的概念

集中趋势指标也称集中趋势值，是指一组数据所趋向的中心数值，反

映同质总体各单位在一定的时间、地点条件下某一数量标志值一般水

平的综合指标，它是总体的水平值也是代表值，通常称为平均数。

4.3.2集中趋势指标的测度

1.算术平均数

算术平均数是实际中应用最广泛的一种平均数形式，它是同质总体各

单位标志值之和除以相应的总体单位数。

算术平均数是实际中应用最广泛的一种平均数形式，它是同质总体各

单位标志值之和除以相应的总体单位数。

总体标志总量

算术平均数

总体单位总量

⑴简单算术平均数

简单算术平均数就是直接将总体各单位某一数量标志值相加除以相应

的总体单位数，通常适用于未分组的资料。

q适用于未分组的统计资料

q计算公式为：

xxxx

x12n

nn

【例4.9】某销售团队的8名销售员，国庆节一天的销售额(元)分

别为：420、460、480、500、540、560、570、620，计算该日平

均销售额。

420460480500540560570620

x

8

4150

518.7（5元）

8

⑵加权算术平均数

q适用于已经分组，且各个标志值出现的次数不同

q计算公式为：

xfxfxfxf

x1122kk

f1f2fkf

计算加权算术平均数需要注意的问题:

n对于组距式分配数列，一般用组中值来近似地代替组平均数。

n关于权数的选择：

q在从相对数或平均数求平均数时，经常会遇到次数不适合作权

数的情况，则要根据实际情况来确定权数。

n关于权数的作用：加权作用

q当较大的标志值在总体中出现的次数较多时，算术平均数

靠近于较大的标志值一方；

q当较小的标志值在总体中出现的次数较多时，算术平均数

靠近于较小的标志值一方；

q当各个标志值在总体中出现的次数相同时，权数对算术平

均数没有影响。

n权数可以使用频率，计算公式为：

f

xx

f

【例4.10】某车间20名工人某月奖金额分配情况如下表所

示：

xf29300

x1465(元)

f20

加权算术平均数的计算，可以借助Excel中SUMPRODUCT(x,f)

和SUM(f)函数完成，在Excel的单元格中输入“=SUMPRODUCT

(x,f)/SUM(f)”，其中x为变量值的区域，f为权数的区域。

如果掌握了组距式变量数列，则应先求出各组变量值的组中

值，代表各族的变量值，然后按单项式变量数列的方法计算算

术平均数。

【例4.11】某地区所属生产同一产品的企业工人按日劳动生

产率分组资料如下表所示，计算平均劳动生产率。

解该地区工人平均日劳动生产率为：

xf168900

x74.0（8件/人）

f2280

组距式变量数列计算算术平均数是建立在假定各变量值在组

内是均匀变化的，但实际并非如此，因而根据组距式变量数列

计算的算术平均数是个近似值。

对于复杂的数据，我们仍选择分组处理，这样可以更好发现

总体的分布规律和特点，当数据分布较均匀时，加权算术平均

数同样具有较强的代表性。

2.调和平均数

调和平均数是根据标志值的倒数计算的，它是标志值倒数的

算术平均数的倒数，也称倒数平均数。

⑴简单调和平均数

简单调和平均数是各标志值倒数的简单算术平均数的倒数。

当各标志值出现次数为1的情况下，应计算简单调和平均数。

计算公式：

111n

H

1111

x1x2xnx

【例4.12】某蔬菜市场某天某种蔬菜早、中、晚的价格(元/

公斤)分别是：2.5、2.2、2.0，假如早、中、晚分别都购买1

元蔬菜，计算该蔬菜购买的平均价格。

n111

H2.2（2元）

111111

x1x2xn2.52.22.0

⑵加权调和平均数

加权调和平均数是各标志值倒数的加权算术平均数的倒数。

当各标志值出现的次数不相等的情况下，应计算加权调和平均

数。

计算公式：

mmmm

H12k

mmmm

12k

x

x1x2xk

【例4.13】某商场某种商品分不同等级，其一定时期内销售

价格和销售额资料如下表，计算该商品的平均价格。

解该商品的平均价格为：

m6000

H15（0元）

m40

x

⑶几何平均数

几何平均数是n个标志值连乘积开n次方根。主要适用于对比

率和速度求平均数。

①简单几何平均数

当每个标志值只出现一次时，采用简单几何平均法计算平均

数。

计算公式：

nn

Gx1x2xnx

【例4.14】山东省“十二五”期间全省各年GDP发展速度

分别为111%、108%、107%、105%、104%，计算山东省“十二五”

期间GDP年平均发展速度。

解由于各年发展速度连乘积等于总的发展速度，所以适用

几何平均数。

G51.111.081.071.051.04106.97%

②加权几何平均数

当每个标志值出现的次数不相同时，采用加权几何平均法计

算平均数。

k

ff

Gxf1xf2xkfxfi

12ki

i1

【例4.15】某投资银行进行一笔投资，每年按复利计息，现

将10年内各年利率整理成如下表，试计算10年的平均利息率。

解该投资银行10年的平均本利率为：

G101.1221.1131.0941.081102.61538110.09%

计算结果表明，该银行10年投资的平均利息率是10.09%。

4.众数

众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用Mo表示。它

由次数的多少决定，是一种位置平均数，不受极端变量值的影

响。

⑴根据未分组资料确定众数

【例4.15】某生产小组有10个工人，日生产零件(件)分别

为:12、13、14、15、15、15、17、19、21、23。

解变量值15出现次数最多，则该小组日生产零件的众数值

为Mo=15(件)。

⑵根据变量数列确定众数

①单项式变量数列确定众数

由单项式变量数列确定众数，只需找出次数出现最多的变量

值，即为众数。

确定方法：

Ø在数列中找到出现次数最大的组，即众数组；

Ø确定众数，众数组中的标志值就是众数。

【例4.17】某企业某日加工零件数分组资料如下表：

表中第四组标志值出现的次数最多，该组为众数组，相应地

18就是众数。

②根据组距式数列确定众数

Ø找出次数最多的组，即为众数组；

Ø按比例插值法公式确定众数的近似值。

n下限公式：

1

M0Ld

12

n上限公式：

2

M0Ud

12

其中：L：代表众数组下限值；

U：代表众数组上限值；

△1：众数组次数与前一组次数之差；

△2：众数组次数与后一组次数之差；

d：代表众数组的组距

【例4.18】某地区调查300户家庭的消费水平，数据如下表

所示，确定消费水平的众数。

解表4-7中次数最多是100，确定该组为众数组，相应的变

量值是800-1000。则按比例插值法公式确定众数的近似值为：

n下限公式计算：

100-70

M800200885.7（1元）

o（100-70）（100-60）

n上限公式计算：

100-60

M1000200885.7（1元）

o（100-70）（100-60）

计算结果表明，根据下限公式、上限公式确定的该地区300

户家庭消费水平的众数为885.71元。

5.中位数

将一组数据按由小到大顺序排列，位于中间位置的数据即为

中位数，用Me表示。

该数据之前之后的数据个数均占总体个数的一半，是一种位

置平均数，主要用于顺序或数值型数据集中趋势的测度。

中位数不受极端值的影响，在数据分布较偏斜的情况下使用

更有效。

⑴根据未分组资料计算中位数

Ø首先，将数据按由小到大的顺序排序；

Ø其次，确定中位数的位置，其公式为：

n1

中位数位置

2

Ø最后，根据中位数位置找出对应的数据，即为中位数。

【例4.19】某城市随机抽查9个家庭，调查每个家庭的月人

均收入(元)数据为：850、860、890、950、1060、1080、

1360、1600、3000。

解9户家庭月人均收入的中位数位置：

n191

5

22

即中位数为Me106（0元）

若n为偶数，则对应中位数位置左、右相邻数据的简单算术

平均数为中位数。

标志值n标志值n

1

M22

e2

【例4.20】依上例，假定我们抽取了10个家庭，调查每个

家庭的月人均收入(元)数据为：770、850、860、890、950、

1060、1080、1360、1600、3000。

解10户家庭月人均收入的中位数位置：

n1101

5.5

22

9501060

M1005(元）

e2

⑵由变量数列计算中位数

①根据单项式数列确定中位数

Ø首先确定中位数的位置

f

中位数位置

2

Ø根据累计次数确定中位数所在的组

Ø中位数组的标志值就是中位数

【例4.21】根据某企业某日加工零件数分组资料如表4-6资

料，计算该企业某日加工零件的中位数。

②根据组距式数列确定中位数

Ø首先确定中位数的位置

f

中位数位置

2

Ø根据累计次数确定中位数所在的组

Ø按比例插值法公式近似计算中位数

n下限公式：

f

S

2m1

MeLd

fm

n上限公式：

f

S

2m1

MeUd

fm

其中：fm：代表中位数组的分布次数；

Sm-1：代表中位数组前一组的向上累计次数；

Sm+1：代表中位数组后一组的向下累计次数。

【例4.22】根据某地区调查300户家庭的消费水平资料，计

算消费水平的中位数。

300

中位数位置150

2

300

90

M8002200920

e100

300

110

M10002200920

e100

4.3.3众数、中位数与算术平均数的比较

1.当次数分布对称时，众数、中位数、算

术平均数相等

xMeMo

2.当次数分布左偏时，存在极小值，拉动

算术平均数偏向左方

xMeMo

3.当次数分布右偏时，存在极大值，拉动

算术平均数偏向右方

xMeMo

4.4离散趋势指标

4.4.1离散趋势指标的概念和作用

1.离散趋势指标的概念

集中趋势指标是将总体各单位的差异抽象化，用一个代表数

值反映现象的一般水平，但总体各单位标志值之间的差异是客

观存在的，考察这种差异程度的指标被称为离散趋势指标。

2.离散趋势指标的作用

⑴可以衡量平均数的代表性；

⑵可以说明客观事物发展过程的均衡性、稳定性。

4.4.2离散趋势指标的种类和计算方法

1.全距

全距也称极差，是一组数据的最大值和最小值之差，用R表

示。其计算公式为：

RXmaxXmin

全距是一个较笼统的差异指标，主要反映数列中变量值的变

动幅度和范围，计算简单，易于理解，但全距只用两个变量值

参与计算，容易受极端值的影响。

月工资(元)工人数

180030

190050

200070

210030

220020

合计200

R=2200-1800=400

2.平均差

平均差是总体各单位标志值与其算术平均数的离差绝对值的

算术平均数。用A.D表示。

⑴简单平均差

xx

A.D

n

⑵加权平均差

xxf

A.D

f

【例4-23】某车间工人日加工零件分组资料如下表所示，

计算日加工零件的平均差。

成绩fxxfxxxxxxf

10—201015150-19.819.8198.0

20—302425600-9.89.8235.2

30—40363512600/20.287.2

40—50184581010.210.2183.6

50—60125566020.220.2242.2

合计100—3480——866.4

xf3480

x34.8

f100

xxf866.4

A.D8.664

f100

计算结果表明，该车间平均每个工人日加工零件相差8.664件。

由于平均差是取绝对值计算的，不利于数学处理，因此实际

中应用较少。

3.方差与标准差

⑴方差

方差是总体各单位标志值与其算术平均数离差平方的算术平

均数。方差的计算有简单式和加权式两种。

①简单式

(xx)2

2

n

②加权式

(xx)2f

2

f

⑵标准差

标准差是总体各单位标志值与其算术平均数离差平方的算术

平均数的平方根。

①简单式

(xx)2

n

②加权式

(xx)2f

f

【例4.24】仍以某车间工人日加工零件表4-8资料为例，

说明标准差的计算。

22

成绩fxxfxx(xx)(xx)f

10—202015150-19.8392.04392.4

20—302525600-9.896.042304.96

30—40363512600.20.041.44

40—50184581010.2104.041872.72

50—60125566020.2408.041574.604

合计100—3840——4896.48

解该车间工人日加工零件的标准差为：

(xx