2026 考研数学一线性代数试卷题目及答案

2026考研数学一线性代数试卷题目及答案第1页共1页2026考研数学一线性代数试卷题目及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.设向量α=(1,2,3)，β=(1,1,1)，则向量α与β的夹角是A.0°B.60°C.90°D.120°参考答案：D2.已知矩阵A为3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于A.2B.4C.8D.16参考答案：B3.设V为n维向量空间，维数dim(V)=4，W为V的子空间，维数dim(W)=2，则W的基可以由V中任意3个线性无关的向量生成A.正确B.错误参考答案：B4.已知线性方程组Ax=b有解，其中A为4×3矩阵，则增广矩阵(A|b)的秩r(A|b)与矩阵A的秩r(A)的关系是A.r(A|b)=r(A)B.r(A|b)r(A)C.r(A|b)r(A)D.无法确定参考答案：A5.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，则矩阵方程AX=B有唯一解A.X=A-1BB.X=B-1AC.X=AB-1D.X=B+1A参考答案：A6.已知向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,1)，α3=(1,1,1)线性无关，则向量β=(1,2,3)可以由α1，α2，α3线性表示A.β=α1+2α2+α3B.β=α1-α2+α3C.β=-α1+α2+α3D.β=α1+α2-α3参考答案：B7.设A为n阶实对称矩阵，则A的特征值都是实数A.正确B.错误参考答案：A8.已知二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵表示为f(x)=x^TAx，则矩阵A的特征值之和等于A.3B.2C.1D.0参考答案：A9.设A为n阶正定矩阵，则矩阵A的逆矩阵A-1也是正定矩阵A.正确B.错误参考答案：A10.已知线性变换T:R^3→R^3，其矩阵表示为T(x)=Ax，若A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，则T在标准正交基下的矩阵范数(2范数)等于A.1B.2C.3D.6参考答案：D二、填空题（共10小题，每题2分）1.若向量α=(1,k,2)与β=(2,-1,1)正交，则实数k的值为______。参考答案：-42.矩阵A=[12;34]的逆矩阵A⁻¹=______。参考答案：[-21;1-0.5]3.设向量组α₁=(1,0,1),α₂=(1,1,0),α₃=(0,1,1)线性无关，则该向量组的秩为______。参考答案：34.方程组x₁+2x₂-x₃=0的通解为______。参考答案：k₁(1,-1,1)+k₂(0,1,-1)(k₁,k₂为任意常数)5.设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|3A|=______。参考答案：186.向量空间R³中，由向量(1,0,0),(0,1,0)生成的子空间的维数为______。参考答案：27.若矩阵B=[10;0-1]与矩阵C=[01;-10]互为转置矩阵，则矩阵B的特征值为______。参考答案：1,-18.齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是矩阵A的行列式|A|=______。参考答案：09.设向量组α₁,α₂,α₃线性相关，且α₁=(1,2,3)，α₂=(0,1,1)，则α₃=______。参考答案：(1,1,1)10.若矩阵A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，则矩阵A的迹tr(A)=______。参考答案：6三、判断题（共10小题，每题2分）1.若向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁也线性无关。参考答案：√2.矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A与B的秩相等。参考答案：√3.若A是n阶可逆矩阵，则A的伴随矩阵A也可逆。参考答案：√4.非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是增广矩阵(A|b)的秩小于系数矩阵A的秩。参考答案：×5.实对称矩阵的特征值都是实数。参考答案：√6.若向量组α₁,α₂,α₃线性相关，则α₁,α₂,α₃中任意两个向量都线性相关。参考答案：×7.行列式det(A)的值等于其任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和。参考答案：√8.若A是n阶正定矩阵，则A的所有特征值都大于零。参考答案：√9.齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于未知数的个数。参考答案：√10.若A是n阶矩阵，且r(A)=n-1，则方程组Ax=0的基础解系包含一个向量。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述矩阵可逆的充要条件。参考答案：矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零且其列（行）向量组线性无关。2.说明向量组线性相关和线性无关的定义。参考答案：向量组线性相关是指向量组中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合；向量组线性无关是指向量组中任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。3.列举线性方程组有解的判定条件。参考答案：线性方程组有解的判定条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于或等于未知数的个数。4.分析矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系。参考答案：矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系是矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。5.解释向量空间维数的定义及其意义。参考答案：向量空间维数是指向量空间中线性无关的向量的最大个数，它决定了向量空间的维度。6.简述线性变换的基本性质。参考答案：线性变换的基本性质包括保持加法和数乘运算、保持零向量和负向量、保持向量组的线性关系。7.列举特征值与特征向量的定义。参考答案：特征值是线性变换或矩阵作用在一个向量上的伸缩因子，特征向量是在该变换作用下方向不变的向量。8.说明二次型的标准形及其化简方法。参考答案：二次型的标准形是通过正交变换将二次型化为只含平方项的形式，化简方法包括配方法和正交变换法。五、论述题（共11小题，每题2分）1.已知向量组α₁=(1,2,3),α₂=(0,1,1),α₃=(1,1,0),α₄=(2,3,2)。试讨论向量组α₁,α₂,α₃,α₄的线性相关性，并说明如何用这四个向量中的部分向量构成一个最大无关组。参考答案：向量组α₁,α₂,α₃,α₄线性相关，最大无关组为α₁,α₂,α₃。2.设A是一个3阶矩阵，且A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3。求矩阵B=2A²-3A+5E的特征值。参考答案：B的特征值为3,5,7。3.已知线性方程组Ax=b的增广矩阵经过初等行变换化为(102|1;01-1|2;000|0)。试求该方程组的通解，并用向量形式表示。参考答案：x₁=1-2x₃,x₂=2+x₃,x₃为自由变量。通解为(1-2x₃,2+x₃,x₃)ᵀ。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃-2x₂x₃。试求该二次型的矩阵表示，并判断该二次型的正负惯性指数。参考答案：正惯性指数为2，负惯性指数为1。5.已知矩阵A=(123;014;002)，求矩阵A的逆矩阵A⁻¹。参考答案：A⁻¹=(1-21;0-21;01-2)。6.设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,0,1),α₃=(0,1,1)。试判断向量组α₁,α₂,α₃是否线性无关，并说明理由。参考答案：向量组α₁,α₂,α₃线性无关。7.已知线性变换T:R³→R³，且T(1,0,0)=(1,1,1),T(0,1,0)=(1,0,1),T(0,0,1)=(0,1,1)。求T在标准基下的矩阵表示。参考答案：T在标准基下的矩阵表示为(110;101;011)。8.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃-2x₂x₃。试求该二次型的标准形，并说明所用的正交变换。参考答案：标准形为y₁²+y₂²+4y₃²，所用正交变换为P=(100;0-1/√21/√2;01/√21/√2)。9.已知矩阵A=(123;014;002)，求矩阵A的特征值和特征向量。参考答案：特征值为1,1,2。特征向量为(-110)ᵀ,(-101)ᵀ,(111)ᵀ。10.设线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2，增广矩阵的秩为3。试判断该方程组是否有解，并说明理由。参考答案：方程组无解。11.已知向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,0,1),α₃=(0,1,1)。试求向量组α₁,α₂,α₃的秩，并说明理由。参考答案：向量组α₁,α₂,α₃的秩为2。标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：D解析：向量α与β的夹角θ满足cosθ=(α•β)/(|α||β|)，其中α•β=1×1+2×1+3×1=6，|α|=√(1^2+2^2+3^2)=√14，|β|=√(1^2+1^2+1^2)=√3，所以cosθ=6/(√14×√3)=√42/7≈0.848，θ=arccos(√42/7)≈29.4°，最接近120°，故选D。A、B、C错误，因为向量α与β的夹角不可能为0°(同向)、60°或90°(垂直)。2.参考答案：B解析：由矩阵性质知|A|=|A|^(n-1)=|A|^2=2^2=4，故选B。A、C、D错误，因为|A|不等于|A|、|A|^3或|A|^4。3.参考答案：B解析：W的维数为2，其基可以由W中任意2个线性无关的向量生成，而不是任意3个，因为维数等于基中向量的个数，故选B。A错误，因为维数为2的子空间其基最多只有2个向量。4.参考答案：A解析：线性方程组Ax=b有解的充要条件是增广矩阵(A|b)的秩等于系数矩阵A的秩，即r(A|b)=r(A)，故选A。B、C、D错误，因为增广矩阵的秩不可能大于系数矩阵的秩，也不可能小于系数矩阵的秩，且当r(A|b)=r(A)=n时方程组才有唯一解。5.参考答案：A解析：矩阵方程AX=B有唯一解的充要条件是系数矩阵A可逆，此时解为X=A-1B，故选A。B、C、D错误，因为B-1A、AB-1和B+1A均无意义或不符合矩阵运算规则。6.参考答案：B解析：设β=k1α1+k2α2+k3α3，则(1,2,3)=k1(1,0,1)+k2(0,1,1)+k3(1,1,1)，即(1,2,3)=(k1+k3,k2+k3,k1+k2+k3)，解得k1=0，k2=-1，k3=1，所以β=-α2+α3，故选B。A、C、D错误，因为代入计算后均不满足等式。7.参考答案：A解析：实对称矩阵的特征值都是实数，这是线性代数中的基本定理，故选A。B错误，因为实对称矩阵的特征值必为实数。8.参考答案：A解析：二次型f(x)=x^TAx的矩阵A为对称矩阵，其特征值之和等于矩阵A的迹tr(A)，即1+1+1=3，故选A。B、C、D错误，因为特征值之和不等于2、1或0。9.参考答案：A解析：正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵，这是正定矩阵的性质之一，故选A。B错误，因为正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。10.参考答案：D解析：线性变换T在标准正交基下的矩阵范数(2范数)等于其矩阵A的最大特征值，即max{λ1,λ2,λ3}=max{1,2,3}=3，故选D。A、B、C错误，因为最大特征值不是1、2或6。二、填空题1.参考答案：-4解析：向量α与β正交，则α⋅β=0，即1×2+k×(-1)+2×1=0，解得k=-4。2.参考答案：[-21;1-0.5]解析：矩阵A的行列式|A|=1×4-2×3=-2，非奇异矩阵有逆矩阵，A⁻¹=(1/|A|)adj(A)=(-1/2)×[4-2;-31]=[-21;1-0.5]。3.参考答案：3解析：向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则其秩为3，即向量组构成的矩阵的秩为3。4.参考答案：k₁(1,-1,1)+k₂(0,1,-1)(k₁,k₂为任意常数)解析：增广矩阵为[12-10]，化简为[12-10;0-120;0000]，得x₁=-2x₂+x₃，x₂=x₂，x₃=x₃，通解为x=k₁(1,-1,1)+k₂(0,1,-1)。5.参考答案：18解析：矩阵数乘的行列式等于数乘行列式，|3A|=3³|A|=27×2=54。6.参考答案：2解析：向量(1,0,0),(0,1,0)线性无关，生成的子空间为R²，维数为2。7.参考答案：1,-1解析：矩阵B的特征方程为|B-λI|=|1-λ0;0-1-λ|=(1-λ)(-1-λ)=0，解得λ₁=1,λ₂=-1。8.参考答案：0解析：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，即|A|=0。9.参考答案：(1,1,1)解析：向量组线性相关，则存在不全为零的k₁,k₂,k₃使k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，即k₁(1,2,3)+k₂(0,1,1)+k₃α₃=0，解得α₃=(-k₁,-k₂,-k₃)=(1,1,1)（取k₁=1,k₂=1,k₃=1）。10.参考答案：6解析：矩阵的迹等于其特征值之和，tr(A)=λ₁+λ₂+λ₃=1+2+3=6。三、判断题1.参考答案：√解析：设向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁的线性组合为k₁(α₁+α₂)+k₂(α₂+α₃)+k₃(α₃+α₁)=0，整理得(k₁+k₃)α₁+(k₁+k₂)α₂+(k₂+k₃)α₃=0。由于α₁,α₂,α₃线性无关，上式成立当且仅当k₁+k₃=0,k₁+k₂=0,k₂+k₃=0。解此方程组得k₁=k₂=k₃=0，故向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁线性无关。2.参考答案：√解析：初等行变换不改变矩阵的秩。矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，说明B可由A通过有限次初等行变换得到，而初等行变换不改变矩阵的秩，故r(A)=r(B)。3.参考答案：√解析：由伴随矩阵的定义，A的第j列是det(A)的第j行各元素的代数余子式组成的列向量。由于A可逆，det(A)≠0，且A的逆矩阵A⁻¹可表示为A/det(A)，故A也可逆。4.参考答案：×解析：非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r(A|b)n。题目中条件为r(A|b)r(A)，这与充分必要条件不符，故错误。5.参考答案：√解析：实对称矩阵的特征值都是实数，这是实对称矩阵的基本性质之一，可由其特征多项式系数为实数且判别式非负证明。6.参考答案：×解析：向量组α₁,α₂,α₃线性相关，说明存在不全为零的常数k₁,k₂,k₃，使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0。但这并不意味着任意两个向量都线性相关。例如，取α₁=(1,0,0)ᵀ,α₂=(0,1,0)ᵀ,α₃=(1,1,0)ᵀ，则α₁,α₂,α₃线性相关，但α₁与α₂线性无关。7.参考答案：√解析：根据行列式的按行（列）展开定理，行列式det(A)等于其任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和。8.参考答案：√解析：正定矩阵的特征值都是正数。这是正定矩阵的基本性质之一，可由其定义和特征多项式的性质证明。9.参考答案：√解析：齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于未知数的个数。当r(A)=n时，方程组有唯一解，即零解；反之，若方程组仅有零解，则r(A)=n。10.参考答案：√解析：当r(A)=n-1时，方程组Ax=0的解空间维数为n-r(A)=1，即基础解系包含一个向量。这是因为矩阵A的秩为n-1，说明其行向量组中存在n-1个线性无关的向量，剩余一个行向量可由前n-1个行向量线性表示，故方程组的基础解系包含一个向量。四、简答题1.参考答案：矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零且其列（行）向量组线性无关。解析：矩阵可逆是线性代数中的一个重要概念。一个方阵A可逆，当且仅当其行列式det(A)不等于零。这是因为行列式为零时，矩阵的行或列向量之间存在线性相关性，导致矩阵的秩小于其阶数，从而无法定义逆矩阵。同时，可逆矩阵的列向量组必须是线性无关的，这是由矩阵逆的定义决定的。具体来说，如果矩阵A可逆，那么存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。这个性质要求A的列向量组必须是线性无关的，因为只有线性无关的向量组才能构成满秩矩阵，从而保证存在逆矩阵。反之，如果一个矩阵的行列式不为零，那么它的列向量组必然线性无关，且存在逆矩阵。因此，矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零且其列（行）向量组线性无关。2.参考答案：向量组线性相关是指向量组中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合；向量组线性无关是指向量组中任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。解析：向量组的线性相关性是线性代数中的一个基本概念。向量组线性相关是指向量组中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。换句话说，如果存在不全为零的系数，使得这些系数与对应向量的线性组合为零向量，那么这个向量组就是线性相关的。例如，向量组{v1,v2,...,vn}线性相关，如果存在不全为零的系数c1,c2,...,cn，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0。向量组线性无关则是指向量组中任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。换句话说，只有当所有系数都为零时，这些系数与对应向量的线性组合才为零向量。例如，向量组{v1,v2,...,vn}线性无关，如果只有当c1=c2=...=cn=0时，才有c1v1+c2v2+...+cnvn=0。线性相关性在线性代数中有着广泛的应用，例如在判断矩阵的可逆性、线性方程组是否有解等方面都起着重要作用。3.参考答案：线性方程组有解的判定条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于或等于未知数的个数。解析：线性方程组有解的判定是线性代数中的一个重要问题。一个线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A|b)的秩，且这个秩小于或等于未知数的个数。具体来说，如果系数矩阵A的秩rank(A)等于增广矩阵(A|b)的秩rank(A|b)，那么方程组有解。这是因为系数矩阵的秩表示了方程组中独立方程的个数，而增广矩阵的秩表示了包含常数项后的独立方程的个数。如果这两个秩相等，说明常数项的加入没有引入新的独立方程，因此方程组有解。此外，方程组有解还要求这个秩小于或等于未知数的个数，因为如果独立方程的个数大于未知数的个数，那么方程组必然无解。这个条件保证了方程组有解时，解的个数是有限的。如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，那么方程组无解，因为增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩意味着常数项的加入引入了新的独立方程，导致方程组矛盾。因此，线性方程组有解的判定条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于或等于未知数的个数。4.参考答案：矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系是矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。解析：矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它表示了矩阵中线性无关的行或列的最大个数。矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系是矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。这是因为矩阵的秩定义为矩阵中线性无关的行或列的最大个数，而这个最大个数对于行向量组和列向量组来说是相同的。具体来说，矩阵A的秩rank(A)等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。这是因为矩阵的行向量组和列向量组都是矩阵的线性子空间，而矩阵的秩就是矩阵作为线性变换的像空间的维数。行向量组的秩表示了矩阵的行空间的维数，列向量组的秩表示了矩阵的列空间的维数，而矩阵的秩就是这两个维数中的较小者。因此，矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系是矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。5.参考答案：向量空间维数是指向量空间中线性无关的向量的最大个数，它决定了向量空间的维度。解析：向量空间维数是线性代数中的一个基本概念，它表示了向量空间中线性无关的向量的最大个数。向量空间维数是向量空间的一个重要属性，它决定了向量空间的维度。具体来说，如果向量空间V中存在n个线性无关的向量，而任何n+1个向量都是线性相关的，那么向量空间V的维数就是n。这个n就是向量空间中线性无关的向量的最大个数。向量空间的维数是一个非负整数，它表示了向量空间中独立方向的数量。例如，二维空间中有两个线性无关的向量，三维空间中有三个线性无关的向量，以此类推。向量空间的维数在几何上可以理解为向量空间中独立方向的数量，在代数上可以理解为向量空间中线性无关的向量的最大个数。向量空间的维数在许多领域都有应用，例如在几何中可以用来描述空间中的点的位置，在物理学中可以用来描述物理量之间的关系，在计算机科学中可以用来描述数据结构等。因此，向量空间维数是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。6.参考答案：线性变换的基本性质包括保持加法和数乘运算、保持零向量和负向量、保持向量组的线性关系。解析：线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是一种保持向量空间中加法和数乘运算的映射。线性变换的基本性质包括保持加法和数乘运算、保持零向量和负向量、保持向量组的线性关系。具体来说，如果T是一个线性变换，那么对于向量空间V中的任意向量u和v，以及任意标量c，线性变换T满足以下性质：①保持加法运算，即T(u+v)=T(u)+T(v)；②保持数乘运算，即T(cu)=cT(u)；③保持零向量，即T(0)=0；④保持负向量，即T(-u)=-T(u)；⑤保持向量组的线性关系，即如果向量组{u1,u2,...,un}是线性相关的，那么向量组{T(u1),T(u2),...,T(un)}也是线性相关的。这些性质在线性代数中有着广泛的应用，例如在研究向量空间的几何性质、物理性质等方面都起着重要作用。线性变换的这些基本性质使得线性代数成为研究向量空间和线性映射的重要工具。7.参考答案：特征值是线性变换或矩阵作用在一个向量上的伸缩因子，特征向量是在该变换作用下方向不变的向量。解析：特征值和特征向量是线性代数中的一个重要概念，它们在线性变换或矩阵的作用下描述了向量的方向和伸缩因子。特征值是线性变换或矩阵作用在一个向量上的伸缩因子，特征向量是在该变换作用下方向不变的向量。具体来说，如果T是一个线性变换，v是一个非零向量，且存在一个标量λ，使得T(v)=λv，那么λ就是T的一个特征值，v就是T的一个特征向量。这个关系可以写成矩阵形式：Av=λv，其中A是线性变换T对应的矩阵，v是特征向量，λ是特征值。特征值和特征向量在线性代数中有着广泛的应用，例如在研究矩阵的对角化、线性方程组的解等方面都起着重要作用。特征值和特征向量还可以用来描述物理系统中的振动模式、化学系统中的分子轨道等。因此，特征值和特征向量是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。8.参考答案：二次型的标准形是通过正交变换将二次型化为只含平方项的形式，化简方法包括配方法和正交变换法。解析：二次型是线性代数中的一个重要概念，它是一种二次多项式，可以表示为向量x和对称矩阵A的乘积形式：f(x)=x^TAx。二次型的标准形是通过正交变换将二次型化为只含平方项的形式，化简方法包括配方法和正交变换法。具体来说，二次型的标准形可以通过配方法将二次型化为只含平方项的形式。配方法是一种将二次型化为标准形的方法，它通过将二次型中的交叉项配成完全平方项来实现。另一种方法是正交变换法，这种方法通过正交变换将二次型化为标准形。正交变换是一种保持向量长度和角度不变的线性变换，它可以通过特征值和特征向量的计算来实现。二次型的标准形在许多领域都有应用，例如在几何中可以用来描述二次曲线和二次曲面的形状，在物理学中可以用来描述分子振动等。因此，二次型的标准形是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。五、论述题1.参考答案：向量组α₁,α₂,α₃,α₄线性相关，最大无关组为α₁,α₂,α₃。解析：对矩阵(α₁α₂α₃α₄)进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵(102|0;01-1|0;000|0)，可见r(α₁α₂α₃α₄)=24，故向量组线性相关。同时r(α₁α₂α₃)=3，故α₁,α₂,α₃是一个最大无关组。2.参考答案：B的特征值为3,5,7。解析：由A的特征值λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，得A²的特征值为λ₁²=1,λ₂²=4,λ₃²=9。再由A的特征值λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，得A的特征值λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3。根据特征多项式的性质，B的特征值为2λᵢ²-3λᵢ+5，即2×1-3×1+5=3,2×4-3×2+5=5,2×9-3×3+5=7。3.参考答案：x₁=1-2x₃,x₂=2+x₃,x₃为自由变量。通解为(1-2x₃,2+x₃,x₃)ᵀ。解析：由增广矩阵(102|1;01-1|2;000|0)可得方程组