湖北工业大学《矩阵论》期末考试试卷解析

湖北工业大学《矩阵论》期末考试试卷解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设A是n阶非零矩阵，且满足A⁴=O，证明|A|=0。二、计算行列式D：D=|123||012||11a|三、设向量α=(1,2,3),β=(0,1,1),γ=(1,1,a)。问a取何值时，α,β,γ线性相关？并在此情况下，将α表示为β和γ的线性组合。四、已知矩阵A=[(1,2),(3,4)]，求A的特征值和特征向量。五、设向量组S1:α1=(1,0,1),α2=(1,1,0),α3=(0,1,1)和向量组S2:β1=(1,1,1),β2=(1,0,1),β3=(0,1,1)。1.判断S1和S2是否都是向量空间的基。2.如果S1是向量空间V的一个基，求向量γ=(1,2,3)在V中关于基S1的坐标。六、设线性方程组：x1+2x2+x3=12x1+3x2+ax3=3x1+ax2+3x3=2问a取何值时，该方程组有解？有无穷多解？有唯一解？并在有解的情况下，求其通解。七、设矩阵A=[(1,1),(0,1)]，求一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP为对角矩阵。八、设二次型f(x1,x2,x3)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃。1.求二次型对应的矩阵A。2.判断该二次型是否正定。九、设V是n维线性空间，T是V上的一个线性变换。1.证明：如果T是可逆线性变换，那么T的像空间V'和V的维数相同。2.举例说明存在线性变换T，使得T的核的维数大于像空间的维数（n≥2）。十、设A是n阶方阵，且满足A²=A。证明：A的特征值只能为0或1。试卷答案一、证明思路：利用行列式的性质和矩阵幂的定义。由A⁴=O可知|A|⁽ⁿ⁾=|A⁴|=|O|=0。根据行列式的性质|A|⁽ⁿ⁾=|A|ⁿ，因此|A|ⁿ=0。由于A为非零矩阵，其阶数n≥1，故|A|ⁿ=0推出|A|=0。二、计算过程：按第一列展开计算。D=1*|12||1a|-2*|02||1a|+3*|01|=1*(a-2)-2*0+3*0=a-2.三、证明思路：判断向量组线性相关，可考虑计算其秩或构造线性组合方程。构造方程：c1α+c2β+c3γ=0即c1(1,2,3)+c2(0,1,1)+c3(1,1,a)=(0,0,0)得方程组：c1+c3=02c1+c2+c3=03c1+c2+ac3=0对系数矩阵进行行变换：(101)(211)(31a)->(101)(01-1)(01a-3)->(101)(01-1)(00a-2)向量组线性相关当且仅当秩<3。由最后一个行简化矩阵可知，当a-2=0，即a=2时，秩=2<3，向量组线性相关。当a≠2时，秩=3，向量组线性无关。当a=2时，将c2=-1代入前两式，得c1+c3=0,2c1-1+c3=0，即c1+c3=0,2c1+c3=1。矛盾，故此情况不可能。此时，方程组变为c1+c3=0,c2=-1。令c3=t，则c1=-t。通解为(c1,c2,c3)=(-t,-1,t)。取t=1，得c1=-1,c2=-1,c3=1。故当a=2时，α,β,γ线性相关，且α=-β+γ。四、求解过程：1.计算特征多项式：f(λ)=|λI-A|=|(λ,0)(-2,λ-4)|=λ(λ-4)-(-2)(-2)=λ²-4λ-4.2.求特征值：解f(λ)=0，即λ²-4λ-4=0。得λ=2±2√2.3.求特征向量：对λ₁=2+2√2：(2+2√2)I-A=[(2+2√2),-2][0,(2+2√2)-4]=[(2+2√2),-2][0,-2-2√2]->[1,-2/(2+2√2)][0,1]=[1,-1/(1+√2)][0,1]->[1,-(√2-1)][0,1]=[1,√2-1][0,1]对应特征向量形式为(x₁,x₂)。令x₂=1，则x₁=√2-1。特征向量为(√2-1,1)。对λ₂=2-2√2：(2-2√2)I-A=[(2-2√2),-2][0,(2-2√2)-4]=[(2-2√2),-2][0,-2+2√2]->[1,-2/(2-2√2)][0,1]=[1,-1/(1-√2)][0,1]->[1,-(√2+1)][0,1]=[1,√2+1][0,1]对应特征向量形式为(x₁,x₂)。令x₂=1，则x₁=√2+1。特征向量为(√2+1,1)。五、1.判断S1基：构造矩阵B1=[α1α2α3]=[(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)]。行变换：(101)(110)(011)->(101)(01-1)(011)->(101)(01-1)(002)秩(B1)=3。向量组S1线性无关，且含3个向量，故S1是三维空间的一个基。判断S2基：构造矩阵B2=[β1β2β3]=[(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)]。行变换：(111)(101)(011)->(111)(0-10)(011)->(111)(0-10)(002)秩(B2)=3。向量组S2线性无关，且含3个向量，故S2是三维空间的一个基。2.求坐标：需解方程β=c1α1+c2α2+c3α3，即(1,1,1)=c1(1,0,1)+c2(1,1,0)+c3(0,1,1)得方程组：c1+c2=1c2+c3=1c1+c3=1对系数矩阵进行行变换：(110)(011)(101)->(110)(011)(0-11)->(110)(011)(002)->(110)(011)(001)->(110)(010)(001)->(100)(010)(001)得c1=1,c2=0,c3=1。故γ在基S1下的坐标为(1,0,1)。六、求解过程：写出增广矩阵并化简：[A|b]=[(1,2,1|1),(2,3,a|3),(1,a,3|2)]->(1,2,1|1)(0,-1,a-2|1)(0,a-2,2|1)->(1,2,1|1)(0,-1,a-2|1)(0,0,(a-2)(a-4)|a+1)讨论：1.若a≠2且a≠4，则(a-2)(a-4)≠0，增广矩阵秩r(A)=r(A|b)=3=未知数个数。方程组有唯一解。2.若a=4，则增广矩阵化为：(1,2,1|1)(0,-1,2|1)(0,0,0|5)r(A)=2,r(A|b)=3。方程组无解。3.若a=2，则增广矩阵化为：(1,2,1|1)(0,-1,0|1)(0,0,0|3)r(A)=2,r(A|b)=3。方程组无解。综上，当a≠2且a≠4时，方程组有唯一解；当a=2或a=4时，方程组无解。七、求解过程：寻找特征值和特征向量：1.特征多项式：f(λ)=|λI-A|=|(λ-1,-1)(-1,λ-1)|=(λ-1)²-(-1)²=λ²-2λ.2.特征值：解f(λ)=0，得λ=0,2.3.对λ₁=0：(0I-A)=[(-1,-1),(-1,-1)]->[1,1][1,1]->[1,1][0,0]对应特征向量形式(x₁,x₂)。令x₂=1，则x₁=-1。特征向量为(-1,1)。4.对λ₂=2：(2I-A)=[(1,-1),(-1,1)]->[-1,1][1,-1]->[1,-1][0,0]对应特征向量形式(x₁,x₂)。令x₂=1，则x₁=1。特征向量为(1,1)。构造可逆矩阵P：P=[特征向量]=[(-1,1),(1,1)]=[(-1,1),(1,1)]计算P⁻¹AP：由于A是实对称矩阵（虽然本题结果不是对角形，但按标准流程求解），其不同特征值对应的特征向量正交。P是正交矩阵，故P⁻¹=Pᵀ。PᵀAP=[(1,1),(-1,1)][(1,2),(3,4)]=[(1*1+1*3,1*2+1*4),(-1*1+1*3,-1*2+1*4)]=[(4,6),(2,2)]=[(4,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)].=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)]=[(2,0),(0,2)].八、求解过程：1.对应矩阵A：A=[(1,1,0),(1,1,2),(0,2,a)]2.判断正定性：方法一：配方法（略，过程复杂）。方法二：各阶顺序主子式。Δ₁=1>0.Δ₂=|11||11|=1-1=0.Δ₂=0，不满足正定矩阵所有顺序主子式均大于零的条件。因此，该二次型不正定。（注：如果题目要求求解正定条件，则需要Δ₂>0,Δ₃>0。此处Δ₂=0，故不正定。）九、证明：1.证明维数相同：T是可逆线性变