高中数学导学案 第二节　同角三角函数的基本关系式及诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式新课标要求真题分布1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tan2．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(π2±α，π±α的正弦、余弦、正切)2025年全国Ⅰ卷T112024年全国甲卷T8，北京卷T122023年全国乙卷T14必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：________________(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝________α≠kπ2．三角函数的诱导公式角函数名sinαcosαtanα2kπ＋α(k∈Z)________________________－α________________________π＋α________________________π－α________________________π2－________________—π2＋________________—【常用结论】1．弦切互化变形：sin2α＝tan2αtan2α+1，cos2α＝1tan2α+1，sinαcosα＝tanαtan22．也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐．”自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．()(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα(3)若cos(α－22°)＝14，则sin(α＋68°)＝－14.((4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.(2．(人教A版必修一P184练习T1改编)已知cosα＝－45，且α为第三象限角，则tanα＝(A．－34B．C．－43D．3．(人教A版必修一P195习题T5改编)已知sin7π2+α＝1213，则cos(2025π＋α4．(人教A版必修一P190例2)化简：cos180°+α考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一同角三角函数基本关系式考向1“知一求二”问题例1若θ∈π2，π，且满足tanθ＝－3，则sinθ＋cosθ＝A．105 B．C．－55 D．－[听课笔记]学霸笔记：已知sinα，cosα，tanα中的一个值求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝sinαcosαα≠π2+kπ跟踪训练(衔接·人教A版必修一P185T6(3)改编)已知tanα＝－34，则sinα＝(A．－35B．C．±35D．±考向2sinα，cosα的齐次式问题例2已知tanα＝2.(1)求sinα(2)求sin2α＋sinαcosα的值．[听课笔记]学霸笔记：(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cosα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tanα的式子，代入tanα的值即可求解；(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tanα的值即可求解．跟踪训练(2026·肇庆模拟)已知tanα＝－2，则sin2α+2cosA．13B．－C．3D．－3考向3“sinθ±cosθ，sinθ·cosθ”之间的关系应用例3(多选)已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，则下列等式正确的是(A．sinθcosθ＝－1225B．sinθ－cosθ＝7C．tanθ＝－34D．sin2θ－cos2θ＝[听课笔记]学霸笔记：(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．(2)求sinα＋cosα，sinα－cosα的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断．跟踪训练(2026·赤峰一模)已知锐角α满足sinα－cosα＝15，则tanα的值为(A．34B．C．55D．命题点二诱导公式的应用例4(1)(2026·大连模拟)若点P(4，－3)在角α的终边上，则cos2α-3π·tanA．－720B．C．－725D．(2)已知cosα+π3＝23，则sinπ[听课笔记]学霸笔记：1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π22．常见的互余和互补的角(1)互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6-α；π4＋α与π4－α等；(2)互补的角：π3+θ与2π3－跟踪训练(1)(衔接·人教A版必修一P193例4改编)化简：sin2π-α(2)已知sinα-3π4＝13，则cos命题点三同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用例5已知函数f(α)＝sin2(1)化简f(α)；(2)若α∈-π6，π3，fα+π6＝13[听课笔记]学霸笔记：利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论之间的联系，灵活使用公式进行变形．注意角的取值范围对三角函数值的符号的影响．跟踪训练(1)已知sinα＝255，且α为第二象限角，则tan(α＋π)＋sin5(2)若sinπ-θ+cosθ-2πsin提示：请完成课时作业23

第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式必备知识·助学教材知识清单1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinα2．sinαcosαtanα－sinαcosα－tanα－sinα－cosαtanαsinα－cosα－tanαcosαsinαcosα－sinα自主诊断1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：∵cosα＝－45，且α∴sinα＝－1-cos2α＝－35，∴tanα＝答案：B3．解析：因为sin(7π2＋α)＝－cosα＝12所以cos(2025π＋α)＝－cosα＝1213答案：124．解析：原式＝-cosαsinα考教衔接·活用教材例1解析：∵θ∈(π2，π)，可得sinθ>0，cosθ<0，由tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=-3sin2θ+cos⁡2θ=1即sin⁡θ=-3cos⁡θ，sin2θ+cos⁡2θ=1解得sinθ＝3优解：∵θ∈(π2，π)，且tanθ＝－3，∴在θ终边上取点P(－1，3)，则sinθ＝310，cosθ＝-110，∴sinθ＋cosθ＝210＝答案：A跟踪训练解析：∵tanα＝－34，∴sinαcosα＝－34，∴sinα＝－34cosα，∵sin2α＋cos2α＝1，∴(－34)2cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝1625，∴sin2α＝9优解：∵tanα＝－34<0，∴α是第二或第四象限角．若α是第二象限角，则在α终边上取点P(－4，3)，得sinα＝35；若α是第四象限角，则在α终边上取点P′(4，－3)，得sinα＝－35答案：C例2解析：(1)sinα-cosα2sinα(2)sin2α＋sinαcosα＝sin2α+sinαcosαsin2跟踪训练解析：因为tanα＝－2，所以sin2α+2cos2αsin2答案：C例3解析：对于A，由sinθ＋cosθ＝15，则(sinθ＋cosθ)2＝125，化简得sinθ·cosθ＝－1225，故A正确；对于B，由sinθ·cosθ＝－1225<0，θ∈(0，π)，则sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1＋2425＝4925，∴sinθ－cosθ＝75，故B正确；对于C，由sinθ+cosθ=15，sinθ-cosθ=75，解得sinθ=45，cosθ=-35，∴tan答案：ABD跟踪训练解析：由题意，sinα－cosα＝15①，则（sinα-cosα）2＝125，又sin2α＋cos2α＝1，所以2sinαcosα＝2425，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2425＝4925，因为α为锐角，所以sinα＋cosα>0，所以sinα＋cosα＝75②，由①和②联立可解得sinα＝45，cosα答案：B例4解析：(1)由点P(4，－3)在角α的终边上，可得cosα＝45，则cos2α-3π·tanα-πsinπ-α＝-(2)sin(π6－α)＝sinπ2-α+π3＝cos(α答案：(1)A(2)2跟踪训练解析：(1)原式＝-sin-sin2αcosα-cosπ(2)因为sin(α－3π4)＝13，所以cos(π4－α)＝sin(π2+π4－α)＝sin(3π4－α)＝－答案：(1)－tanα(2)－1例5解析：(1)f(α)＝sin＝-sinα-cos(2)因为f(α)＝sinα，所以f(α＋π6)＝sin(α＋π6)＝cos(2π3＋α)＝cosπ2+α+π6＝－sin(αcos(5π6－α)＝cosπ-α+π6＝－cos(α因为α