高中数学导学案 第六节　双曲线

第六节双曲线新课标要求真题分布1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它们的简单几何性质．2．通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．2025年全国Ⅰ卷T3，全国Ⅱ卷T112024年新高考Ⅰ卷T122023年新高考Ⅰ卷T16必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________，其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.剖析当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a(a＞0，b＞0)y2a(a＞0，b＞0)图形性质焦点________________________________焦距________范围__________或________，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：________；对称中心：________顶点________________轴实轴：线段________，长为_________；虚轴：线段B1B2，长为____________．实半轴长：________；虚半轴长：________渐近线________________离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率e＝2.【常用结论】1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为虚半轴长b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b4．与双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()(3)双曲线x2m2-y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m(4)关于x，y的方程x2m-y2n＝1(mn>0)2．(人教A版选修一P121练习T3改编)已知方程x22+m-y2m+1＝1A．(－∞，－2)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)3．(人教A版选修一P121T4改编)双曲线x2a2-y212＝1(a＞0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|A．1B．3C．9D．1或94．(人教A版选修一P124T4改编)双曲线的渐近线方程是y＝±2x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为__________________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一双曲线的定义及应用例1(1)已知动圆M与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋7＝0都外切，则动圆M的圆心轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．抛物线D．前三个答案都不对(2)设F1，F2分别是双曲线x2－y23＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且5|PF1|＝3|PF2|，则△PF1F2的面积为(A．6 B．10C．12 D．15[听课笔记]学霸笔记：(1)利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练(1)(衔接·人教A版选修一P127T5)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线(2)已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与双曲线右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为()A．6B．7C．8D．不能确定命题点二双曲线的标准方程例2(1)已知双曲线的两个焦点F1-5，0，F2A．x22-y23C．x2－y24＝1D．x24－(2)已知双曲线过点1，22，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的标准方程是A．y24－x2＝1B．x24－C．x2－y24＝1D．y[听课笔记]学霸笔记：(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b，2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：①“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2-y2n2＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn＞0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0跟踪训练(1)(衔接·人教A版选修一P127T6)经过点A(3，－1)，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为()A．x28-y28C．x210-y210(2)(衔接·人教A版选修一P127T8)与椭圆x249+y224＝1有公共焦点，且离心率e＝A．x29-y216C．y216-x29命题点三双曲线的几何性质考向1离心率问题例3(1)(链接·2025年全国Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为()A．2B．2C．7D．22[听课笔记](2)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)设双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点．若|F1A|＝13，|AB[听课笔记](3)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F[听课笔记]真题探源(1)(源自人教A版选修一P127练习T3)直线y＝23x与双曲线x2a2-y28＝1(a＞0)相交于A，B两点，且AA．73 B．C．143 D．(2)(源自人教A版选修一P128习题T12)双曲线x2a2-y2b学霸笔记：(1)求a，b，c的值，由e＝ca直接求(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．考向2渐近线问题例4(1)(2026·新乡二模)若P为双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)上异于A(－a，0)，B(a，0)的动点，且直线PA与PBA．y＝±55xB．y＝±5C．y＝±5xD．y＝±5x[听课笔记](2)(2026·南通模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为A．y＝±x B．y＝±22C．y＝±2x D．y＝±3x[听课笔记]学霸笔记：(1)求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；(2)求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；(3)令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程．提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．跟踪训练(1)(2026·沧州模拟)若双曲线C：x2－y2m2＝1(m>0)的一条渐近线平行于直线y＝－4x－2，则C的虚轴长为A．1B．2C．4D．8(2)(2026·武汉模拟)若双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，A．2 B．2C．2或233 D．2提示：请完成课时作业52第六节双曲线必备知识·助学教材知识清单1．差的绝对值焦点焦距2．F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)2cx≥ax≤－a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2baby＝±baxy＝±abx(1，＋∞)a2＋3．y＝±x自主诊断1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：由题意得(2＋m)(m＋1)＞0，∴m＜－2，或m＞－1，∴m的取值范围是(－∞，－2)∪-1，+答案：C3．解析：双曲线x2a2-y212＝1(a＞0)的左、右两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，可得a2＋12＝16，解得a＝2.M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5＜a＋c＝6，所以M在双曲线的左支上，所以|MF2|＝|MF1|＋2a＝5答案：C4．解析：由题意可知若双曲线的焦点在x轴上，则ba=2，2b=4，解得a＝1，b＝2，所以双曲线的标准方程为x2－y24＝1；若双曲线的焦点在y轴上，则ab=2，2b=4，解得a=4，b=2，答案：x2－y24＝1或y考教衔接·活用教材例1解析：(1)由题意可知，圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋y2＝2的圆心为A(3，0)，半径r2＝2，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则MO=1+r，MA=2+r，且|OA|＝3，可得|MA|－|MO|＝2－1为定值，且|MA|解析：(2)由双曲线定义可知||PF1|－|PF2||＝2，又5|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|<|PF2|，则|PF2|＝2＋|PF1|，故5|PF1|＝3(2＋|PF1|)，解得|PF1|＝3，则|PF2|＝5，又|F1F2|＝21+3＝4，由32＋42＝52，故PF1⊥F1F2，则S△PF1F2＝12×3×答案：(1)B答案：(2)A跟踪训练解析：(1)由题意可得|QA|＝|QP|＝|OP|＋|OQ|，所以|OP|＝|QP|－|OQ|＝|QA|－|OQ|为定值，即Q到两个定点O，A的距离之差为定值，而A在圆外，|OA|＞|OP|，所以可得Q的轨迹为双曲线．故选C.(2)双曲线x2－my2＝1(m>0)的实半轴长a＝1，由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故选C.答案：(1)C(2)C例2解析：(1)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由已知得r12+r22＝4c2＝20，r1·r2＝2，又r1－r22＝r12+r22－2r1r2＝解析：(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设双曲线方程为x2－y24＝λ(λ≠0)，将点(1，22)代入得λ＝1－2＝－1，∴该双曲线的标准方程为x2－y24＝－1，即y24－x答案：(1)D答案：(2)A跟踪训练解析：(1)双曲线为等轴双曲线，则可设方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将A(3，－1)代入可得9－1＝λ，即λ＝8，故方程为x2－y2＝8，化为标准方程为x28-y2解析：(2)椭圆x249+y224＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，设双曲线的方程为x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则c2＝a2＋b2＝25，e＝ca＝a2+b2a＝答案：(1)A答案：(2)D例3解析：(1)设双曲线的实轴、虚轴、焦距分别为2a，2b，2c，由题知，b＝7a，于是a2＋b2＝c2＝a2＋7a2＝8a2，则c＝22a，即e＝ca＝22.故选D(2)因为AB与y轴平行，所以AB与x轴垂直，结合双曲线的对称性知|AF2|＝|BF2|＝5.又|F1A|＝13，所以|F1F2|＝F1A2-AF22＝132-52＝12，则c＝6，而2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8(3)方法一由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以F2A＝(x1－c，y1)，F2B＝(－c，y0)．因为F2A＝－23F2B，所以x1-c=23c，y1=-23y0，即x1=53c，y1=-23y0，所以A(53c，－23y0).F1A＝(83c，－23y0)，F1B＝(c，y0)，因为F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即83c2-23y02＝0，解得y02＝4c2.因为点A(方法二由前面方法一得A53c，-23y0，y02＝4c2，所以|AF1|＝53c+c2+-23y02＝64c29+4y029＝64c29+16c29＝45c3答案：(1)D(2)32(3)真题探源解析：(1)∵直线y＝23x与双曲线x2a