高中数学导学案 第一节　函数的概念及其表示

第一节函数的概念及其表示新课标要求真题分布1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．近几年未单独考查必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)在函数的定义域中，对于非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．2．函数的三要素(1)函数的三要素：________、________和________.(2)两个函数只有当________和________分别相同时，这两个函数才相同．3．函数的表示法表示函数的常用方法有________、列表法、图象法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数叫做分段函数．(2)分段函数表示的是一个函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．【常用结论】直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.()(2)直线x＝1与函数y＝f(x)的图象的交点最多有两个．()(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．()2．(人教A版必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一函数的是()A．y＝(x)2B．u＝3C．y＝x2D．m＝3．(人教A版必修一P67T1(2)改编)函数f(x)＝1-x+x+3－1的定义域为4．(人教A版必修一P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋3＋1x+2，若f(a)＝133，则a＝考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一函数的概念例1(1)下列各图象中，不能表示y是x的函数的是()(2)(2026·黄冈二模)已知函数f(x)＝x2的定义域A⊆R，值域B＝{9}，则满足条件的f(x)有()A．1个B．2个C．3个D．4个[听课笔记]学霸笔记：(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．跟踪训练下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是()A．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝1B．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝±xD．A＝B＝N，对应关系f：x→y＝x命题点二函数的定义域例2(1)函数y＝x3＋ln(2－x)的定义域为(A．[0，2) B．[0，2]C．(－∞，2)D．(－∞，2](2)若函数f(x)的定义域为[0，8]，则函数g(x)＝f2xx-1的定义域为(A．(1，16) B．(1，16]C．(1，4) D．(1，4][听课笔记]学霸笔记：(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成，则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集．(2)抽象函数定义域．①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不定式a≤g(x)≤b求出；②若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．跟踪训练(1)函数f(x)＝x-4x-5的定义域为(A．[4，＋∞) B．[4，5)∪C．(4，5)∪(2)已知函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，则函数f(x)的定义域为________．命题点三函数的解析式例3(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．(3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f(1x)＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)[听课笔记]学霸笔记：(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(4)方程组法：已知关于f(x)与f(1x)或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)跟踪训练(1)已知f(1+xx)＝x2+1x2+1x，则A．(x＋1)2(x≠1)B．(x－1)2(x≠1)C．x2－x＋1(x≠1)D．x2＋x＋1(x≠1)(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________．(3)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________．命题点四分段函数例4(1)(2026·江门模拟)已知函数f(x)＝3x+1，x<2，fx-2，x≥2A．－2B．4C．10D．16(2)已知函数f(x)＝log3x，x>0，x3，x<0，若f(27)＝3A．1B．2C．3D．4[听课笔记]学霸笔记：(1)根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出最后的函数值为止．(2)已知函数值求自变量的值时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围．跟踪训练(1)已知函数f(x)＝ax，x≤0，-3+lnx，x>0，(2)已知函数f(x)＝-1x2+5，x<0，ax，x≥0，且提示：请完成课时作业6第一节函数的概念及其表示必备知识·助学教材知识清单1．(1)实数集任意唯一确定2．(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系3．解析法自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：对于A，y＝x2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；对于B，u＝3v3＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数；对于C，y＝x2＝|x|＝-x，x<0，x，x≥0，它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；对于D，m＝n2n＝n(n∈{n|n≠0})，它与函数y＝x(x答案：B3．解析：要使函数f(x)＝1-x+x+3－1有意义，则1-x≥0，x+3答案：[－3，1]4．解析：由f(a)＝133得a＋3＋1a+2＝133，即3a2＋2a－5＝0，解得a＝1或答案：1或－5考教衔接·活用教材例1解析：(1)根据函数的定义，在自变量x的取值范围内，任意的x取值，有且只有一个y值与之对应，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点，对于ABC三个选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数；对于D，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数．故选D.解析：(2)令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f(x)有f(x)＝x2，x∈{3}；f(x)＝x2，x∈{－3}；f(x)＝x2，x∈{－3，3}，故满足条件的f(x)有3个．故选C.答案：(1)D答案：(2)C跟踪训练解析：对于A，因为0∈A，但是10没有意义，故A错误；对于B，因为对于任意一个实数x，都有唯一确定的实数x2与其对应，符合函数的定义，故B正确；对于C，显然2∈A，此时y＝±2，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误；对于D，因为集合A，B是自然数集，1∈A，但是y＝12∉N，所以y不是x的函数，故D答案：B例2解析：(1)由x3≥0，2-x>0解得0≤x<2，所以函数y＝x3＋ln(2－x)解析：(2)依题意，函数g(x)＝f2xx-1有意义，等价于0≤2x≤8，x-1>0，解得1<x≤4，即函数g(x答案：(1)A答案：(2)D跟踪训练解析：(1)要使函数f(x)＝x-4x-5有意义，则x-4≥0，x-5≠0，解得x≥4且x≠5，故函数f(x)的定义域为[4，5)∪解析：(2)由函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，得x∈[－2，4)，令t＝x＋3，则t∈[1，7)，所以f(t)的定义域为[1，7)，故f(x)的定义域为[1，7)．答案：(1)B答案：(2)[1，7)例3解析：(1)设u＝x＋1，则x＝u－1(u≥1)，∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.∴a2＝4，故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.(3)(构造法)∵2f(x)＋f1x＝2x①将x换成1x，则1x换成得2f1x＋f(x)＝2x由①②消去f1x，得3f(x)＝4x－2∴f(x)＝43x-23x(x∈R且跟踪训练解析：(1)f1+xx＝x2+1x2+1x＝x+1x2－x+1x＋1.令x+1x＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，即f(x)＝解析：(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴2a＝1，a+b＝-1，即a＝1解析：(3)对∀x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1①，所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1②，由①②解得f(x)＝x＋1.答案：(1)C答案：(2)12x2答案：(3)x＋1例4解析：(1)依题意，f(5)＝f(5－2)＝f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝1＋3×1＝4.故选B.解析：(2)由f(27)＝log327＝3＝3f(a)得f(a)＝1，