高中数学导学案 第三节　等比数列

第三节等比数列新课标要求真题分布1.理解等比数列的概念和通项公式的意义．2．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．3．能在具体的问题情境中发现数列的等比数列，并解决相应的问题．4．体会等比数列与指数函数的关系．2025年全国Ⅰ卷T13，全国Ⅱ卷T92024年—2023年新高考Ⅱ卷T8必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母________表示(显然q≠0)．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个常数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝________．剖析只有两个同号的数，才有等比数列，并且等比中项有两个．2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝________，其推导方法是累乘法；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝________＝a13．等比数列的性质已知{an}是等比数列，q为公比，Sn是数列{an}的前n项和．(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝________．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为________.(3)当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为________．(4)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列；当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列．【常用结论】1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}2．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，q为公比．(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn(2)若数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇-a13．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.4．等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0)．5．三个数成等比数列通常设为xq，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为xq3，xq自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1-an1-a(4)数列an为等比数列，则S4，2．(人教A版选修二P29例1改编)已知等比数列{an}，a4＝48，a6＝12，则a5＝()A．－24B．24C．±24D．±363．(人教A版选修二P34T1(1)改编)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，则这两个数为________．4．(人教A版选修二P37T3改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，6a1＋a3＝30，则Sn＝________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一等比数列基本量的运算例1(1)(多选)(链接·2025年全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则()A．q＝12B．a5＝C．S5＝8D．an＋Sn＝8(2)(链接·2025年全国Ⅰ卷)若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________．[听课笔记]真题探源(1)(源自人教A版选修二P40习题T1(2))设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则S5＝()A．15B．16C．31D．31(2)(源自人教A版选修二P37练习T5)如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，则这个数列的公比为________．学霸笔记：(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．解方程组时常常利用“作商”消元法．(2)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．命题点二等比数列的判定与证明例2(2026·温州模拟)已知正项数列{an}满足a1＝99，an＋1＝an2＋2a(1)求证：{lg(an＋1)}是等比数列；(2)设bn＝1lgan+1-1，记数列{bn}的前n项和为Sn[听课笔记]学霸笔记：跟踪训练(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3a(1)证明：数列1-1(2)求{an}的通项公式．命题点三等比数列的性质考向1项的性质例3(2026·皖南模拟)在正项等比数列{an}中，a3，a5是方程x2－15x＋9＝0的两个根，则a1a7-A．3B．6C．9D．12[听课笔记]学霸笔记：解决此类问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．跟踪训练(2026·秦皇岛模拟)在正项等比数列{an}中，a52+2a2a12+a9考向2和的性质例4(链接·2023年新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()A．120B．85C．－85D．－120[听课笔记]学霸笔记：在等比数列{an}中，当q≠1或q＝－1且k为奇数时，涉及Sk，S2k，S3k，…，常利用Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列的性质求解，运用此性质要注意各项非零的要求及下标的特征．跟踪训练(2026·赣州模拟)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝-3，a7+a8+a9＝A．81B．71C．61D．51提示：请完成课时作业37第三节等比数列必备知识·助学教材知识清单1．(1)同一个q(2)ab2．(1)a1qn－1(2)a3．(1)am·an(2)qm(3)qn自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：因为a5是a4与a6的等比中项，所以a52＝a4a6＝48×12＝576，所以a5＝±576答案：C3．解析：设这四个数构成等比数列{an}，公比为q，则a1＝9，a4＝243，则q3＝27，q＝3，所以a2＝27，a3＝81，故在9与243中间插入27，81，使这4个数成等比数列．答案：27，814．解析：设{an}的公比为q，由题意得a1q=6，6a1+a1q2=30，解得a1=3，q=2或a1=2，q=3.当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；当a1＝2，答案：3×(2n－1)或3n－1考教衔接·活用教材例1解析：(1)由a3=a1q2=1，S3=a1+a1q+1=7，解得a1=4，q=12或a1=9，q=-13(舍去)，则a5＝a1q4＝4×(12)4＝14，S5＝a11-q51-q＝4(2)方法一设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an}的公比为q，当q＝1时，S4＝4a1＝4，即a1＝1，则S8＝8a1＝8≠68，显然不成立，舍去；当q≠1时，则S4＝a11-q41-q＝4，S8＝a11-q81-q＝68，两式相除得1-q81-q4＝684，即方法二设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an}的公比为q，所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a1q4＋a2q4＋a3q4＋a4q4＝(a1＋a2＋a3＋a4)(1＋q4)＝68，所以4(1＋q4)＝68，则1＋q4＝17，解得q＝±2，所以该等比数列的公比为±2.方法三设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an}的公比为q，因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝68－4＝64，又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，所以S8-S4S4＝q4＝644＝答案：(1)AD(2)±2真题探源解析：(1)因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a5－a1＝15，a4－a2＝6，故a1q4-a1=15，a1q3-a1q=6，联立可得a1q2+1q2-1a1qq2-1＝156，化简可得2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或(2)设数列的首项为a1，公比为q(q≠1)，则S5＝a11-q51-q＝10，S10＝a11-q101-q＝50，即a11-q101-qa11-q51-q＝答案：(1)C2例2证明：(1)由an＋1＝an2＋2an，则an＋1＋1＝an2＋2an＋1＝(an由于an>0，则an＋1>0，an＋1＋1>0，所以lg(an＋1＋1)＝lg(an＋1)2＝2lg(an＋1)，则lgan+1+1又lg(a1＋1)＝lg100＝2，所以数列{lg(an＋1)}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)得，lg(an＋1)＝2n，则bn＝12因为n∈N*，所以2n－1－2n－1＝2n－1－1≥0，当且仅当n＝1时等号成立，则2n－1≥2n－1>0，即bn＝12所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn≤1＋12+122＋…＋12n-1跟踪训练解析：(1)证明：由an＋1＝3anan+2得1an+1则1－1an+1＝23-23·1a所以数列1-1an是首项为1－1a1(2)由(1)得1－1an＝23×(23)n－1＝(解得an＝11-23例3解析：因为a3，a5是方程x2－15x＋9＝0的两个根，所以a3a5＝9，在正项等比数列{an}中，有a1a7＝a3a5＝9所以答案：跟踪训练解析：因为an为等比数列，则a2a12＝a5a9，所以a52+2a2a12+a92＝答案：10例4解析：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝54.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－