高中数学导学案 微专题1　一元二次不等式恒(能)成立问题

微专题1一元二次不等式恒(能)成立问题多元视角·拓展教材开放式拓展实现一个“广”视角一在实数集R上的恒成立问题例1不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－2，2)B．(－2，2]C．(－∞，－2)∪D．(－∞，－2)∪[听课笔记]学霸笔记：不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定．(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0，c>0(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0，c<0跟踪训练(衔接·人教A版必修一P58T6)不等式2kx2＋kx－38<0对一切x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________视角二在给定区间上的恒成立问题例2(1)若不等式x2＋ax＋1>0对任意x∈(0，2]恒成立，求实数a的取值范围．(2)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．[听课笔记]学霸笔记：(1)若欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.(2)若参数不能分离出来，则要利用二次函数的图象根据对称轴分类讨论．跟踪训练(1)已知满足x2－2x≤0的x使得ax2＋2x－1≤0恒成立，则a的取值范围为()A．(－∞，－1] B．(－12，C．[0，＋∞) D．[－1，－12(2)若对任意x∈[－1，12]，x2＋ax＋1>0恒成立，则实数a的取值范围为________视角三变换主元解决恒成立问题例3已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为__________．[听课笔记]学霸笔记：给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔fm>0，fn>0，跟踪训练若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围．视角四一元二次不等式能成立问题例4已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1．(1)命题p：∃x∈R，f(x)<x为假命题，求实数m的取值范围；(2)当1≤x≤3时，不等式f(x)≤x2＋2x有解，求实数m的取值范围．[听课笔记]学霸笔记：当不等式中含有参数和变量，且能将参数与变量分离到不等式两边时，可使用分离参数法．根据能成立的条件确定参数的取值范围．若a>f(x)能成立，则a>f(x)min；若a<f(x)能成立，则a<f(x)max.跟踪训练已知函数f(x)＝2x2－1，g(x)＝6x＋a，a∈R.若存在x∈[－2，2]，使不等式f(x)<g(x)成立，求a的取值范围．提示：请完成微专题1微专题1一元二次不等式恒(能)成立问题例1解析：由题意，不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0时，即a＝2时，不等式－1<0恒成立，符合题意；当a－2≠0时，即a≠2时，要使得不等式(a－2)·x2+(a-2)x-1<0对一切x∈R恒成立，则满足a-2<0，Δ＝a-22+4a-2<0，解得－2<答案：B跟踪训练解析：当k＝0时，－38<0恒成立，符合题意；当k≠0则k<0，Δ＝k2-4×2k×-38答案：(－3，0]例2解析：(1)不等式x2＋ax＋1>0对任意的x∈(0，2]恒成立，等价于－a<x＋1x对任意的x∈(0，2]记f(x)＝x＋1x，则原恒成立问题等价于－a<f(x)min因为x∈(0，2]，由基本不等式可得f(x)＝x＋1x≥2x·1x当且仅当x＝1x(0<x≤2)时，即当x＝1所以，－a<2，解得a>－2.因此，实数a的取值范围是{a|a>－2}．(2)f(x)＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，对称轴为直线x＝－a2，当x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则有当－a2≤－2，即a≥4时，f(x)≥f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤73，即a≥4不合题意；当－2<－a2<2，即－4<a<4时，f(x)≥f-a2＝12-4a-a24≥0，解得－6≤a≤2，即－4<a≤2；当－a2≥2，即a≤－4时，f(x)≥f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，即－7≤a≤跟踪训练解析：(1)由x2－2x≤0，求出0≤x≤2，ax2＋2x－1≤0在x∈[0，2]上恒成立，ax2＋2x－1≤0⇒ax2≤1－2x，当x＝0时，0≤1，a∈R；当x∈(0，2]时，ax2≤1－2x⇒a≤1x2-2x＝其中1x-12－1≥－1，当且仅当x＝故a≤－1.综上，a的取值范围为(－∞，－1].故选A.解析：(2)设f(x)＝x2＋ax＋1，x∈-1，12，则f(x)(ⅰ)当－a2≤－1，即a≥2时，f(x)min＝f(－1)＝2－a>0，解得a<2(ⅱ)当－1<－a2<12，即－1<a<2时，f(x)min＝f-a2＝－a24＋1>0，解得－2<a(ⅲ)当－a2≥12，即a≤－1时，f(x)min＝f12＝a2+54>0，解得a>－所以实数a的取值范围为-5答案：(1)A答案：(2)-例3解析：当a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即当a∈[－1，1]时，不等式(x－2)a＋x2－4x＋4>0恒成立．设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，即当a∈[－1，1]时，f(a)>0恒成立，所以f-1>0，f1>0，即答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)跟踪训练解析：改变主元，将m视为主变元，将原不等式化为mx2-1－(2x令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，则当－2≤m≤2时，f(m)<0恒成立，只需f-2<0解得x<-1-72，或x>-1+7故x的取值范围是-1+7例4解析：(1)由已知命题为假命题，则∀x∈R，(m＋1)x2－mx＋m－1≥0，当m＋1＝0，即m＝－1时，x－2≥0，显然在R上不恒成立；当m＋1<0，即m<－1时，此时y＝(m＋1)x2－mx＋m－1的图像开口向下，故不等式在R上不恒成立；当m＋1>0时，则Δ＝即m>-1，3m2-4综上，m的取值范围是23(2)不等式f(x)≤x2＋2x，即(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1≤x2＋2x，即m(x2－x＋1)≤x＋1.由x2－x＋1>0恒成立，则m≤x+1x2-x+1在1≤x≤3时有解，m设x＋1＝t，有2≤t≤4，x+1x2-