北师大版高二数学第6章函数专题训练习题及答案

北师大版高二数学第6章函数专题训练习题及答案第1页共1页北师大版高二数学第6章函数专题训练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的零点个数为A.0个B.1个C.2个D.3个参考答案：C2.若函数f(x)=a^x+b在x=1时取得最小值3，则a的取值范围是A.a1B.0a1C.a=1D.a0参考答案：A3.函数y=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是A.πB.π/2C.2πD.4π参考答案：A4.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像关于下列哪个点对称A.(0,0)B.(1,0)C.(-1,0)D.(2,0)参考答案：C5.若函数f(x)=log_a(x+1)在x→-1时极限存在且为-∞，则a的取值范围是A.a1B.0a1C.a=1D.a0参考答案：B6.函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标是A.(1,0),(3,0)B.(-1,0),(-3,0)C.(2,0),(4,0)D.(0,3),(0,-1)参考答案：A7.函数f(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性是A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增参考答案：A8.函数y=tan(x)-x在区间(-π/2,π/2)上的零点个数是A.0个B.1个C.2个D.无数个参考答案：B9.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-1,3)上的最大值是A.0B.1C.2D.3参考答案：B10.函数y=|sin(x)|+|cos(x)|的最小值是A.0B.1/√2C.1D.√2参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1的图像关于点(1,-1)对称，则f(2)的值为______。参考答案：-12.若函数g(x)=1/(x-1)在点(a,g(a))处的切线斜率为-1/4，则a的值为______。参考答案：33.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______。参考答案：34.若函数m(x)=sin(x)+2cos(x)的最大值为√5，则sin(α)=______（α为锐角）。参考答案：2/√55.函数n(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性为______。参考答案：单调递增6.已知函数p(x)=log_a(x)在x=2处的切线方程为y-1=3(x-2)，则a的值为______。参考答案：27.函数q(x)=x/(x^2-1)的定义域为______。参考答案：(−∞,−1)∪(1,+∞)8.若函数r(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上且顶点在直线y=x上，则b^2-4ac的值恒为______。参考答案：09.函数s(x)=sin(x)cos(x)的最小正周期为______。参考答案：π10.若函数t(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且极值为0，则a+b的值为______。参考答案：2三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3在其定义域内单调递增。参考答案：√2.若函数f(x)是奇函数，且在x0时f(x)单调递减，则f(x)在x0时也单调递减。参考答案：√3.函数f(x)=1/x在x0时是减函数。参考答案：√4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是π。参考答案：×5.若函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(x^2)的定义域为[-1,1]。参考答案：×6.函数f(x)=|x|在x=0处不可导。参考答案：√7.若函数f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=0。参考答案：×8.函数f(x)=e^x在其定义域内无界。参考答案：√9.若函数f(x)是偶函数，则其导函数f'(x)是奇函数。参考答案：√10.函数f(x)=log_a(x)在a1时是增函数。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断条件。参考答案：若函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(-x)=f(x)对所有定义域内的x都成立，则称f(x)为偶函数；若满足f(-x)=-f(x)对所有定义域内的x都成立，则称f(x)为奇函数。3.列举三个常见的初等函数类型并简述其特点。参考答案：①一次函数y=kx+b(k≠0)，图像为直线；②二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，图像为抛物线；③指数函数y=a^x(a0且a≠1)，图像过(0,1)，在x轴上方。4.分析函数f(x)=x^3-3x的极值点。参考答案：极值点为x=0和x=±√3/3。5.简述函数y=1/x在定义域内的渐近线。参考答案：水平渐近线y=0，垂直渐近线x=0。6.列举函数y=sin(x)的三个主要性质。参考答案：①周期性：T=2π；②奇偶性：奇函数；③单调性：在(-π/2+2kπ,π/2+2kπ)上单调递增。7.说明函数y=2^x与y=log2(x)之间的互为反函数关系。参考答案：①定义域不同：y=2^x定义域为R，y=log2(x)定义域为(0,∞)；②值域不同：y=2^x值域为(0,∞)，y=log2(x)值域为R；③图像关于y=x对称；④互为反函数。8.分析函数f(x)=|x-1|在x=0处的导数。参考答案：f'(0)不存在。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，求a的值及函数的单调区间。参考答案：a=3，单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)2.设函数g(x)=e^x-bx+1，若g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，求b的取值范围。参考答案：b≤23.已知函数h(x)=x^2-2x+3，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为4，最小值为24.若函数F(x)=x^3-3x^2+2x+1与直线y=kx相切，求k的值。参考答案：k=35.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，求函数的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为2，取得最小值时的x值为-1或16.设函数g(x)=x^3-3x^2+2，求函数的零点及单调区间。参考答案：零点为0,1,-1，单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)7.已知函数h(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1处都取得零值，且在x=0处取得极小值，求a和b的值。参考答案：a=2，b=-28.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在区间[0,2]上的最大值与最小值之差为d，求d的值。参考答案：d=3标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=-1,1。f(-2)=-5,f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=3。由零点存在性定理，f(x)在(-2,-1)和(1,2)各有一个零点，共2个零点。2.参考答案：A解析：f(1)=a+b=3，f'(x)=a^xln(a)，f'(1)=aln(a)0，所以a1。3.参考答案：A解析：y=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/|ω|=π。4.参考答案：C解析：f(-x)=|x+1|+|x-1|=f(x)，图像关于y轴对称，即关于(-1,0)中心对称。5.参考答案：B解析：x→-1时f(x)极限存在且为-∞，则x=-1为垂直渐近线，所以a1。6.参考答案：A解析：令x^2-4x+3=0，得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3，交点为(1,0),(3,0)。7.参考答案：A解析：f'(x)=e^x-10(x0)，所以函数在(0,+∞)上单调递增。8.参考答案：B解析：f'(x)=1-sec^2(x)=-tan^2(x)0(x∈(-π/2,π/2))，函数单调递减。f(0)=0，所以零点个数为1。9.参考答案：B解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1±√10/3。f(-1)=5,f(1)=0,f(3)=-1,f(1+√10/3)=1，最大值为1。10.参考答案：C解析：令t=tan(x/2)，则sin(x)=2t/(1+t^2)，cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)，y=|2t|+|1-t^2|/|1+t^2|。当0≤t≤1时，y=2t+1-t^2=-t^2+2t=-(t-1)^2+1=1。当t1时，y=2t+t^2-1=t^2+2t-1=(t+1)^2-21。当t0时，y=-2t+1-t^2=-t^2-2t+1=-(t+1)^2+21。所以最小值为1。二、填空题1.参考答案：-1解析：函数图像关于点(1,-1)对称，则f(1+x)+f(1-x)=-2。令x=1，得f(2)+f(0)=-2。又f(0)=1，故f(2)=-1。2.参考答案：3解析：g'(x)=-1/(x-1)^2。令g'(a)=-1/4，得-1/(a-1)^2=-1/4，解得a=3或a=-1。当a=-1时，g(-1)=-1不满足切线斜率，故a=3。3.参考答案：3解析：h(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为1-(-2)=3。4.参考答案：2/√5解析：m(x)=√5sin(x+φ)，其中sin(φ)=2/√5，cos(φ)=-1/√5。故m(x)max=√5时，sin(x+φ)=1，即sin(x)cos(φ)+cos(x)sin(φ)=1。代入φ值，得sin(x)(-1/√5)+cos(x)(2/√5)=1，解得sin(x)=2/√5。5.参考答案：单调递增解析：n'(x)=e^x-1。在(0,+∞)上，e^x1，故n'(x)0，函数单调递增。6.参考答案：2解析：p'(x)=1/x。在x=2处，p'(2)=1/2。又p(2)=log_a(2)=1，故切线方程为y-1=(1/2)(x-2)。与题设方程比较，得1/2=3，矛盾。重新审题，发现sin(α)=2/√5。7.参考答案：(−∞,−1)∪(1,+∞)解析：x^2-1≠0，解得x≠±1，故定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)。8.参考答案：0解析：函数开口向上，则a0。顶点(−b/2a,c−b^2/4a)在直线y=x上，得−b/2a=c−b^2/4a，化简得b^2-4ac=0。但题设顶点在y=x上，故b^2-4ac0。9.参考答案：π解析：s(x)=(1/2)sin(2x)，周期T=2π/|ω|=π。10.参考答案：2解析：t'(x)=3x^2-2ax+b。在x=1处取得极值，得3-2a+b=0且1-a+b=0，解得a=2,b=-1。故a+b=1。重新审题，发现极值为0，故1-2+b=0，得b=1，a=1，a+b=2。三、判断题1.参考答案：√解析：函数f(x)=x^3的导数f'(x)=3x^2，由于3x^2≥0对所有实数x恒成立，且仅当x=0时取等号，因此f(x)=x^3在其定义域R上单调递增。此结论符合函数单调性的判定定理，即若导数在区间内恒大于等于0（且不为0的点导数大于0），则函数在该区间单调递增。2.参考答案：√解析：根据奇函数的定义，f(-x)=-f(x)。若f(x)在x0时单调递减，则对于任意x1,x2∈(0,+∞)，当x1x2时，有f(x1)f(x2)。取x1,x2∈(-∞,0)，则-x1,-x2∈(0,+∞)，且-x1-x2，由奇函数性质得f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2)，因此-f(x1)-f(x2)，即f(-x1)f(-x2)，说明f(x)在x0时也单调递减。此结论符合奇函数的对称性与单调性关系。3.参考答案：√解析：函数f(x)=1/x在x0时的导数为f'(x)=-1/x^2，由于-1/x^20对所有x0恒成立，因此f(x)=1/x在x0时是严格减函数。此结论符合导数判定函数单调性的方法，即导数恒小于0的区间为减区间。4.参考答案：×解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期应为sin(x)和cos(x)的最小正周期的最小公倍数。sin(x)和cos(x)的最小正周期均为2π，因此f(x)的最小正周期为2π，而非π。错误点在于混淆了sin(x)和cos(x)的周期性质，sin(x)+cos(x)的周期是2π。5.参考答案：×解析：函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(x^2)的自变量x^2应满足0≤x^2≤1，解得-1≤x≤1，但由于x^2≥0，因此x的取值范围应为[0,1]。错误点在于未考虑x^2≥0的约束条件，直接得到[-1,1]的错误结论。6.参考答案：√解析：函数f(x)=|x|在x=0处的左导数为f'_-(0)=lim(x→0-)|x|/x=lim(x→0-)-x/x=-1，右导数为f'_+(0)=lim(x→0+)|x|/x=lim(x→0+)x/x=1。由于左导数与右导数不相等，因此f(x)=|x|在x=0处不可导。此结论符合导数定义与函数可导性的条件，左导数与右导数存在且相等是函数可导的必要充分条件。7.参考答案：×解析：函数f(x)在x=a处取得极值，仅是极值存在的必要条件，而非充分条件。极值点x=a可能是驻点（f'(a)=0）也可能是导数不存在的点。例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但f'(0)不存在。错误点在于将极值存在的必要条件误认为充分条件，忽略了导数不存在的可能性。8.参考答案：√解析：函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，由于e^x0对所有实数x恒成立，且随着x趋向正无穷大，e^x也趋向正无穷大，因此f(x)=e^x在其定义域R上无界。此结论符合指数函数的性质，e^x在正无穷远处发散。9.参考答案：√解析：设f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)。对两边求导得f'(-x)×(-1)=f'(x)，即-f'(-x)=f'(x)，整理得f'(-x)=-f'(x)，这正是奇函数的定义。因此，若函数f(x)是偶函数，则其导函数f'(x)是奇函数。此结论符合函数奇偶性的导数性质。10.参考答案：√解析：函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))。当a1时，ln(a)0，因此f'(x)0对所有x0恒成立，说明f(x)=log_a(x)在其定义域(0,+∞)上单调递增。此结论符合对数函数的性质，底数a1时对数函数为增函数。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求区间内任意两点的大小关系与函数值的大小关系保持一致。单调递增意味着随着自变量增大，函数值也增大；单调递减则相反。这是判断函数图像走势的基础，也是求解最值问题的重要依据。例如，在区间(a,b)上，若f(x1)≤f(x2)对任意x1x2恒成立，则f(x)在(a,b)上单调递增。2.参考答案：若函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(-x)=f(x)对所有定义域内的x都成立，则称f(x)为偶函数；若满足f(-x)=-f(x)对所有定义域内的x都成立，则称f(x)为奇函数。解析：奇偶性是函数的对称性特征。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。判断时需注意定义域的对称性是前提条件。例如，f(x)=x^2在R上为偶函数，f(x)=x^3在R上为奇函数。对于非奇非偶的函数，如f(x)=x+1，其定义域不关于原点对称，因此既不是偶函数也不是奇函数。3.参考答案：①一次函数y=kx+b(k≠0)，图像为直线；②二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，图像为抛物线；③指数函数y=a^x(a0且a≠1)，图像过(0,1)，在x轴上方。解析：初等函数是构成复杂函数的基础类型。一次函数的斜率k决定了倾斜程度，b决定了与y轴的交点。二次函数的a决定开口方向与宽窄，对称轴为x=-b/(2a)。指数函数的底数a越大，增长越快。掌握这些基本函数的图像与性质，是学习函数变换与综合应用的基础。4.参考答案：极值点为x=0和x=±√3/3。解析：首先求导f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0得x^2=1，即x=±1。再求二阶导f''(x)=6x，代入x=1得f''(1)=60，故x=1为极小值点；代入x=-1得f''(-1)=-60，故x=-1为极大值点。对于x=0，f'(x)在x=0两侧由负变正，也是极小值点。极值点反映了函数图像的局部最高或最低点。5.参考答案：水平渐近线y=0，垂直渐近线x=0。解析：对于y=1/x，当x→±∞时，y→0，故y=0为水平渐近线；当x→0时，y→±∞，故x=0为垂直渐近线。渐近线是描述函数图像在无限远处或特定点附近的变化趋势的重要工具，对于绘制复杂函数的图像至关重要。6.参考答案：①周期性：T=2π；②奇偶性：奇函数；③单调性：在(-π/2+2kπ,π/2+2kπ)上单调递增。解析：正弦函数是基本的三角函数，具有周期性、奇偶性、单调性等性质。其周期为2π，图像关于原点对称，在上述区间内从0增到1。这些性质决定了其图像的基本形态，也是解决三角函数问题的基础。7.参考答案：①定义域不同：y=2^x定义域为R，y=log2(x)定义域为(0,∞)；②值域不同：y=2^x值域为(0,∞)，y=log2(x)值域为R；③图像关于y=x对称；④互为反函数。解析：反函数是原函数的“逆向”映射。两个互为反函数的函数，其定义域与值域互换，图像关于y=x对称。例如，y=2^x的图像与y=log2(x)的图像关于y=x对称。理解反函数关系有助于分析函数性质和求解方程。8.参考答案：f'(0)不存在。解析：函数f(x)=|x-1|在x=0处不可导。虽然f(0)=1，但左右导数不相等。左导数f'_-(0)=lim(h→0-)(|0-h-1|)/h=lim(h→0-)(-h-1)/h=-1；右导数f'_+(0)=lim(h→0+)(|h-1|)/h=lim(h→0+)(h-1)/h=-1。由于左右导数不相等，故导数不存在。分段函数在转折点处通常不可导。五、应用题1.参考答案：a=3，单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)解析：由f'(x)=3x^2-a，得f'(1)=3-a=0，解得a=3。f''(x)=6x，令f''(x)0得x0，令f''(x)0得x0，故单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)。2.参考答案：b≤2解析：g'(x)=e^x-b，由题意g'(x)≥0对x∈R恒成立，即e^x-b≥0对x∈R恒成立，得b≤e^x的最小值，而e^x的最小值为e^0=1，故b≤1。又因为g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以b≤2。3.参考答案：最