2026年苏教版高中数学高一数学必修第11章数列同步练习题及答案

2026年苏教版高中数学高一数学必修第11章数列同步练习题及答案第1页共1页2026年苏教版高中数学高一数学必修第11章数列同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意正整数n，都有S_n=3S_{n-1}+2，则数列{a_n}的通项公式a_n为A.3^n-1B.2×3^{n-1}C.3^n+1D.2×3^n参考答案：C2.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d为A.3B.4C.5D.6参考答案：C3.已知数列{b_n}是等比数列，且b_2=6，b_4=54，则数列{b_n}的公比q为A.3B.4C.5D.6参考答案：A4.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=n(n+1)/2，则c_5的值为A.10B.15C.20D.25参考答案：C5.在等差数列{d_n}中，若a_1=-5，公差d=2，则该数列的前10项和S_{10}为A.80B.85C.90D.95参考答案：D6.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则数列{e_n}的通项公式e_n为A.2nB.n^2C.n^2+1D.2n+1参考答案：A7.在等比数列{f_n}中，若f_1=1，f_3=8，则该数列的公比q为A.2B.-2C.4D.-4参考答案：A8.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列{g_n}的通项公式g_n为A.2^{n-1}B.2^nC.2^{n+1}D.2^{n+2}参考答案：B9.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式h_n为A.2n+1B.3nC.n+2D.2n-1参考答案：A10.已知数列{i_n}的前n项和为S_n=n(n+2)，则数列{i_n}的通项公式i_n为A.2nB.n+1C.2n+1D.n^2+2参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=______。参考答案：22.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，则a_4=______。参考答案：73.若一个数列的前n项和S_n=n^2+2n，则该数列的第5项a_5=______。参考答案：164.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=______。参考答案：35.已知数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+3n（n≥2），且c_1=2，则c_3=______。参考答案：116.若数列{d_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则d_6=______。参考答案：327.在等差数列{e_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5=______。参考答案：68.已知数列{f_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则f_5=______。参考答案：159.若一个数列的前n项和S_n=3^n-1，则该数列的第4项a_4=______。参考答案：1810.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=8，则g_5=______。参考答案：32三、判断题（共10小题，每题2分）1.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。参考答案：√2.如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。参考答案：×3.数列{an}是等差数列，若a3=7，a6=15，则公差d=4。参考答案：√4.数列{an}的前n项和为Sn=2^n-1，则这个数列是等比数列。参考答案：√5.等比数列{an}的公比为q，若q≠1，则其前n项和Sn=a1q^n-1/(q-1)。参考答案：√6.在等差数列{an}中，若a1+a4=10，则a2+a3=10。参考答案：√7.数列{an}是等差数列，若a1=1，a2=3，则a100=199。参考答案：√8.数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则这个数列是等差数列。参考答案：√9.等比数列{an}的公比为q，若q=1，则其前n项和Sn=na1。参考答案：√10.在等比数列{an}中，若a1=2，a3=8，则a5=32。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述数列的定义及其与函数的关系。参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列中的每一个数称为数列的项，数列的项数是有限的或无限的。数列与函数的关系在于，数列可以看作是函数在正整数集上的取值序列。2.列举等差数列的通项公式及其前n项和公式。参考答案：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，或者Sn=na1+n(n-1)d/2。3.说明等比数列的通项公式及其前n项和公式。参考答案：等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，当q=1时，Sn=na1。4.判断下列说法是否正确：所有数列都有通项公式。参考答案：×。5.简述数列的递推关系及其应用。参考答案：数列的递推关系是指数列中任意一项与它前面的一项（或几项）之间的关系。递推关系可以用来定义数列，也可以用来计算数列的项。递推关系在现实生活中的应用非常广泛，例如在金融领域中的复利计算，在生物学中的种群增长模型等。6.列举数列的几种常见类型。参考答案：数列的几种常见类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列、调和数列等。7.说明数列的极限概念及其意义。参考答案：数列的极限是指当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个确定的常数。数列的极限概念在数学中具有重要意义，它是微积分中的一个基本概念，也是研究数列性质的重要工具。数列的极限可以用来描述数列的长期行为，也可以用来定义函数的极限。8.简述数列在现实生活中的应用实例。参考答案：数列在现实生活中的应用实例包括金融领域的复利计算，生物学中的种群增长模型，物理学中的振动分析，经济学中的序列分析等。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2。求该数列的前n项和S_n的表达式，并计算S_10的值。参考答案：S_n=n^2+2n2.已知数列{b_n}是等比数列，首项b_1=1，公比q=-2。求该数列的前n项和T_n的表达式，并计算T_5的值。参考答案：T_n=(1-(-2)^n)/(1-(-2))3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n。求该数列的通项公式c_n，并验证当n=4时，c_n是否满足数列的递推关系。参考答案：c_n=2n4.已知数列{d_n}的通项公式为d_n=2^n-1。求该数列的前n项和S_n的表达式，并计算S_3的值。参考答案：S_n=2^{n+1}-2-n5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=3^n-2。求该数列的通项公式e_n，并计算e_3的值。参考答案：e_n=3^{n-1}6.已知数列{f_n}是等差数列，前三项分别为2,5,8。求该数列的通项公式f_n，并计算f_10的值。参考答案：f_n=3n-17.已知数列{g_n}是等比数列，前三项分别为1,2,4。求该数列的通项公式g_n，并计算g_5的值。参考答案：g_n=2^{n-1}8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2^n-1。求该数列的通项公式h_n，并验证当n=3时，h_n是否满足数列的递推关系。参考答案：h_n=2^{n-1}标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：由S_n=3S_{n-1}+2，得S_1=2，S_2=3S_1+2=8，S_3=3S_2+2=26。又S_n-S_{n-1}=a_n，故a_1=2，a_2=6，a_3=18。观察发现a_n与3^n之差为1，设a_n=3^n+b_n，则b_1=-1，b_n=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，故b_n是首项为-1，公比为3的等比数列，b_n=-3^{n-1}。因此a_n=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}。选项A错误，应为3^n-1而不是2×3^{n-1}；选项B错误，应为2×3^{n-1}而不是3^n-1；选项C正确；选项D错误，应为2×3^{n-1}而不是2×3^n。故正确答案为C。2.参考答案：C解析：由等差数列性质，a_5+a_10=a_1+a_11=2a_7。又a_7=(a_5+a_10)/2=(10+25)/2=17.5。又a_7=a_1+6d=3+6d=17.5，解得d=(17.5-3)/6=14.5/6=2.25。选项A错误，应为2.25而不是3；选项B错误，应为2.25而不是4；选项C正确；选项D错误，应为2.25而不是6。故正确答案为C。3.参考答案：A解析：由等比数列性质，b_4/b_2=q^2，故q^2=54/6=9，解得q=±3。选项A正确；选项B错误，应为±3而不是4；选项C错误，应为±3而不是5；选项D错误，应为±3而不是6。故正确答案为A。4.参考答案：C解析：由c_n=n(n+1)/2，得c_5=5×(5+1)/2=5×6/2=15。选项A错误，应为15而不是10；选项B正确；选项C错误，应为15而不是20；选项D正确。故正确答案为C。5.参考答案：D解析：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，得S_{10}=10(-5+a_{10})/2=5(-5+(-5+9))/2=5(-5+4)=5(-1)=-5。选项A错误，应为-5而不是80；选项B错误，应为-5而不是85；选项C错误，应为-5而不是90；选项D正确。故正确答案为D。6.参考答案：A解析：由S_n=n^2+n，得S_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)=n^2-2n+1+n-1=n^2-n。故a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-(n^2-n)=2n。选项A正确；选项B错误，应为2n而不是n^2；选项C错误，应为2n而不是n^2+1；选项D错误，应为2n而不是2n+1。故正确答案为A。7.参考答案：A解析：由等比数列性质，f_3/f_1=q^2，故q^2=8/1=8，解得q=±√8=±2√2。选项A正确；选项B错误，应为±2√2而不是2；选项C错误，应为±2√2而不是4；选项D错误，应为±2√2而不是-4。故正确答案为A。8.参考答案：B解析：由S_n=2^n-1，得a_1=S_1=2^1-1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}(2-1)=2^{n-1}。当n=1时，a_1=1=2^{1-1}=2^0。故a_n=2^{n-1}对所有n都成立。选项A错误，应为2^{n-1}而不是2^{n-1}；选项B正确；选项C错误，应为2^{n-1}而不是2^{n-1}；选项D错误，应为2^{n-1}而不是2^{n+2}。故正确答案为B。9.参考答案：A解析：由等差数列性质，a_5=a_1+4d=3+4d=9，解得d=(9-3)/4=6/4=1.5。故h_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)×1.5=3+1.5n-1.5=1.5n+1.5。选项A正确；选项B错误，应为1.5n+1.5而不是3n；选项C错误，应为1.5n+1.5而不是n+2；选项D错误，应为1.5n+1.5而不是2n-1。故正确答案为A。10.参考答案：B解析：由S_n=n(n+2)，得S_{n-1}=(n-1)(n+1)=n^2-1。故a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+2)-(n^2-1)=n^2+2n-n^2+1=2n+1。选项A错误，应为2n+1而不是2n；选项B正确；选项C错误，应为2n+1而不是n+1；选项D错误，应为2n+1而不是n^2+2。故正确答案为B。二、填空题1.参考答案：2解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=2。2.参考答案：7解析：由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_2=S_2-S_1=a_1+a_2-a_1=a_2，故a_2=a_1=1。同理a_3=S_3-S_2=a_2+a_3-a_2=a_3，故a_3=a_2=1。a_4=S_4-S_3=a_3+a_4-a_3=a_4，故a_4=a_3=1。但由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=a_{n-1}，故数列为常数列a_n=1，a_4=1。3.参考答案：16解析：由S_n=n^2+2n，得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[（n-1）^2+2(n-1)]=2n+1。故a_5=2×5+1=11。4.参考答案：3解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_2=6，b_4=54，得6=b_1q，54=b_1q^3，两式相除得q^2=9，解得q=3（q=-3时b_1为负，不符合题意）。5.参考答案：11解析：由c_n=c_{n-1}+3n（n≥2），得c_2=c_1+3×2=2+6=8，c_3=c_2+3×3=8+9=17。6.参考答案：32解析：由S_n=2^n-1，得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。故d_6=2^5=32。7.参考答案：6解析：由等差数列性质a_{m+n}=a_m+a_n，得a_5=a_3+a_7/2=18/2=9。8.参考答案：15解析：由S_n=n(n+1)/2，得a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1）n]/2=n。故f_5=5。9.参考答案：18解析：由S_n=3^n-1，得a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}。故a_4=2×3^3=54。10.参考答案：32解析：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_1=2，g_3=8，得8=2q^2，解得q=2。故g_5=2×2^4=32。三、判断题1.参考答案：√解析：等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2是数学中关于等差数列的基本公式，它表示等差数列前n项的和等于首项与末项的乘积再除以2，然后乘以项数n。这个公式可以通过数学归纳法或等差数列的定义推导出来，是解决等差数列相关问题的重要工具。2.参考答案：×解析：这个说法是错误的。一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列才是等差数列。而等比数列的定义是每一项与它的前一项的比等于同一个常数（这个常数称为公比）。因此，题干中的条件描述的是等差数列的特征，而不是等比数列的特征。例如，数列1,3,5,7,...每一项与它的前一项的差都是2，这是一个等差数列，但不是等比数列。3.参考答案：√解析：根据等差数列的性质，任意两项之间的差是常数，即公差d。因此，a6=a3+3d，代入a3=7和a6=15，得到15=7+3d，解得d=4。这个结果符合等差数列的定义，因此题干中的说法是正确的。4.参考答案：√解析：根据等比数列的定义，若数列{an}的前n项和为Sn=2^n-1，则可以验证这个数列是等比数列。首先，当n=1时，S1=2^1-1=1，a1=S1=1。当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-1-2^(n-1)+1=2^(n-1)。因此，数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)，这是一个等比数列，公比为2。5.参考答案：√解析：等比数列{an}的前n项和公式Sn=a1q^(n-1)/(q-1)是数学中关于等比数列的基本公式，它表示等比数列前n项的和等于首项a1乘以公比q的(n-1)次方再除以公比q减去1。这个公式可以通过数学归纳法或等比数列的定义推导出来，是解决等比数列相关问题的重要工具。题干中的公式是当q≠1时的等比数列前n项和公式，因此是正确的。6.参考答案：√解析：根据等差数列的性质，任意两项之间的差是常数，即公差d。因此，a1+a4=a1+(a1+d)=2a1+d=10。同理，a2+a3=(a1+d)+(a1+2d)=2a1+3d=10。由于a1+a4=10，可以得到2a1+d=10，因此2a1=10-d。代入2a1+3d=10，得到10-d+3d=10，解得d=0。因此，a2+a3=2a1+3d=2a1=10，即a2+a3=10。这个结果符合等差数列的定义，因此题干中的说法是正确的。7.参考答案：√解析：根据等差数列的性质，任意两项之间的差是常数，即公差d。因此，a2=a1+d=3，代入a1=1，得到1+d=3，解得d=2。因此，数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1。当n=100时，a100=2×100-1=199。这个结果符合等差数列的定义，因此题干中的说法是正确的。8.参考答案：√解析：根据等差数列的定义，若数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则可以验证这个数列是等差数列。首先，当n=1时，S1=1^2+1=2，a1=S1=2。当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=n^2+n-n^2+2n-1-n+1=2n。因此，数列{an}的通项公式为an=2n，这是一个等差数列，公差为2。9.参考答案：√解析：等比数列{an}的公比为q，若q=1，则每一项都等于首项a1，即an=a1。因此，其前n项和Sn=a1+a1+a1+...+a1=na1。这个结果符合等比数列的定义，因此题干中的说法是正确的。10.参考答案：√解析：根据等比数列的性质，任意两项之间的比是常数，即公比q。因此，a3=a1q^2，代入a1=2和a3=8，得到8=2q^2，解得q^2=4，因此q=±2。当q=2时，a5=a1q^4=22^4=32。当q=-2时，a5=a1q^4=2(-2)^4=32。因此，无论q是正还是负，a5都等于32。这个结果符合等比数列的定义，因此题干中的说法是正确的。四、简答题1.参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列中的每一个数称为数列的项，数列的项数是有限的或无限的。数列与函数的关系在于，数列可以看作是函数在正整数集上的取值序列。解析：本题考查数列的定义及其与函数的关系。数列的定义是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列中的每一个数称为数列的项，数列的项数是有限的或无限的。数列与函数的关系在于，数列可以看作是函数在正整数集上的取值序列。例如，数列a1,a2,a3,…,an,…可以看作是函数f(n)在正整数集上的取值序列，其中n是正整数集上的自变量。2.参考答案：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，或者Sn=na1+n(n-1)d/2。解析：本题考查等差数列的通项公式及其前n项和公式。等差数列的通项公式是描述数列中任意一项与项数之间的关系，其中a1是首项，d是公差。等差数列的前n项和公式是描述数列前n项的和与项数之间的关系，有两种形式，一种是Sn=n(a1+an)/2，另一种是Sn=na1+n(n-1)d/2。这两种形式可以根据具体问题选择使用。3.参考答案：等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，当q=1时，Sn=na1。解析：本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式。等比数列的通项公式是描述数列中任意一项与项数之间的关系，其中a1是首项，q是公比。等比数列的前n项和公式是描述数列前n项的和与项数之间的关系，当q不等于1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；当q=1时，数列的所有项都相等，前n项和为Sn=na1。4.参考答案：×。解析：本题考查数列的通项公式。并非所有数列都有通项公式。例如，斐波那契数列的通项公式不是简单的代数表达式，而是通过递推关系定义的。因此，并不是所有数列都可以用通项公式来表示。5.参考答案：数列的递推关系是指数列中任意一项与它前面的一项（或几项）之间的关系。递推关系可以用来定义数列，也可以用来计算数列的项。递推关系在现实生活中的应用非常广泛，例如在金融领域中的复利计算，在生物学中的种群增长模型等。解析：本题考查数列的递推关系及其应用。数列的递推关系是指数列中任意一项与它前面的一项（或几项）之间的关系。递推关系可以用来定义数列，也可以用来计算数列的项。递推关系在现实生活中的应用非常广泛，例如在金融领域中的复利计算，在生物学中的种群增长模型等。递推关系是数列理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和研究数列的性质。6.参考答案：数列的几种常见类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列、调和数列等。解析：本题列举数列的几种常见类型。数列的常见类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列、调和数列等。等差数列和等比数列是最基本的两种数列，它们具有简单的通项公式和前n项和公式。斐波那契数列是一个著名的递推数列，它的每一项都是前两项的和。调和数列是一个与调和级数相关的数列，它的每一项都是前一项的倒数与1的和的倒数。7.参考答案：数列的极限是指当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个确定的常数。数列的极限概念在数学中具有重要意义，它是微积分中的一个基本概念，也是研究数列性质的重要工具。数列的极限可以用来描述数列的长期行为，也可以用来定义函数的极限。解析：本题说明数列的极限概念及其意义。数列的极限是指当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个确定的常数。数列的极限概念在数学中具有重要意义，它是微积分中的一个基本概念，也是研究数列性质的重要工具。数列的极限可以用来描述数列的长期行为，也可以用来定义函数的极限。例如，数列的极限可以用来研究数列的收敛性，判断数列是否收敛，以及数列收敛的速度。8.参考答案：数列在现实生活中的应用实例包括金融领域的复利计算，生物学中的种群增长模型，物理学中的振动分析，经济学中的序列分析等。解析：本题简述数列在现实生活中的应用实例。数列在现实生活中的应用非常广泛，例如在金融领域中的复利计算，在生物学中的种群增长模型，物理学中的振动分析，经济学中的序列分析等。数列可以用来描述和分析各种现实生活中的现象和问题，帮助我们更好地理解和解决这些问题。五、应用题1.参考答案：S_n=n^2+2n解析：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_n=a_1+(n-1)d。代入a_1=3，d=2，得a_n=3+2(n-1)=2n+1。所以S_n=n(3+2n+1)/2=n(2n+4)/2=n^2+2n。计算S_10=10^2+2×10=100+20=120。2.参考答案：T_n=(1-(-2)^n)/(1-(-2))解析：由等比数列前n项和公式T_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中a_1=1，q=-2。代入得T_n=1(1-(-2)^n)/(1-(-2))=(1-(-2)^n)/3。计算T_5=(1-(-2)^5)/3=(1-(-32))/3=33/3=11。3.参考答案：c_n=2n解析：由数列前n项和与通项关系c_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，c_n=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=n^2+n-(n^2-2n+