2026年人教版高一数学必修第二册第9章复数专项训练习题及答案

2026年人教版高一数学必修第二册第9章复数专项训练习题及答案第1页共1页2026年人教版高一数学必修第二册第9章复数专项训练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.若复数z满足(2+i)z=5-3i，则z的实部是A.2B.1C.-1D.-2参考答案：B2.复数i^2026的值是A.1B.iC.-1D.-i参考答案：B3.在复平面内，点Z对应的复数是3+4i，则Z关于虚轴对称的点的坐标是A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)参考答案：B4.若复数α=1+i，β=1-i，则|α-β|的值是A.1B.2C.√2D.√3参考答案：B5.已知复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z的代数形式是A.2+2iB.1+√3iC.2√3+iD.√3-√3i参考答案：B6.设z₁=2-3i，z₂=1+i，则z₁•z₂在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：A7.若复数w满足w²=2i，则w的模长是A.1B.√2C.2D.4参考答案：B8.已知复数z=a+bi(a,b∈R)，若z²是实数，则a与b的关系是A.a=0B.b=0C.a²=b²D.a=b参考答案：C9.计算(1+i)⁵的结果是A.-4+4iB.-4-4iC.4+4iD.4-4i参考答案：D10.若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则z对应的点的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）1.若复数z满足(2+3i)z=6-15i，则z=______。参考答案：3-i2.复数3-4i的共轭复数是______。参考答案：3+4i3.在复平面内，点A对应复数2+i，则点A关于实轴对称的点对应的复数是______。参考答案：2-i4.若复数z=a+bi(a,b∈R)的模为5，且辐角主值为π/3，则z=______。参考答案：5cos(π/3)+5isin(π/3)5.计算(1+i)^6的结果是______。参考答案：646.若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则z对应的点在复平面内的轨迹是______。参考答案：椭圆7.已知复数z1=1+2i，z2=3-4i，则z1•z2=______。参考答案：11-2i8.若复数w=(1+i)/(1-i)，则|w|=______。参考答案：√29.设复数z=1/(1-i)，则z的实部是______。参考答案：1/210.若复数α满足α^2=-3+4i，则α的虚部是______。参考答案：2三、判断题（共10小题，每题2分）1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|等于点(a,b)在复平面内对应向量长度的平方。参考答案：×2.若复数z满足z²=-1，则z只能等于i或-i。参考答案：×3.两个共轭复数的差一定是纯虚数。参考答案：√4.实数集R是复数集C的真子集。参考答案：√5.若复数z₁=3+4i,z₂=1-2i，则z₁+z₂的实部是4，虚部是2。参考答案：√6.复数z=-2i的平方根是±i。参考答案：×7.在复平面内，表示复数a+bi的点位于第三象限时，必有a0且b0。参考答案：√8.若(1+i)²=2i，则该等式恒成立。参考答案：√9.任何复数都可以表示为a+bi的形式，其中a,b是实数。参考答案：√10.若复数z满足|z|=1，则z²一定等于1。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述复数的基本概念及其表示方法。参考答案：复数由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。复数可以在复平面上表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标。2.说明复数相等的充要条件是什么。参考答案：两个复数a+bi和c+di相等的充要条件是实部相等且虚部相等，即a=c且b=d。3.列举复数运算的交换律、结合律和分配律。参考答案：复数运算满足交换律，即a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di；结合律，即(a+bi)+(c+di)+(e+fi)=[(a+c)+e]+[(b+d)+f)i]，(a+bi)•(c+di)•(e+fi)=[(ac-bd)+(ad+bc)i]•(e+fi)；分配律，即(a+bi)•(c+di+e+fi)=(a+bi)•c+(a+bi)•di+(a+bi)•e+(a+bi)•fi。4.分析复数纯虚数的定义及其特征。参考答案：复数b+bi（b≠0）称为纯虚数，其特征是实部为0且虚部不为0。5.解释复数模的概念及其几何意义。参考答案：复数z=a+bi的模记作|z|，定义为|z|=\sqrt{a²+b²}，几何意义是复数在复平面上对应的点到原点的距离。6.列举复数乘法的几何意义。参考答案：复数乘法的几何意义是，将一个复数乘以另一个非零复数，相当于将原复数对应的向量按辐角（旋转角）乘以另一个复数的辐角，模（长度）乘以另一个复数的模。7.简述复数除法的运算规则。参考答案：复数除法运算是通过乘以除数的共轭复数实现的，即(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)/(c²+d²)i，其中c+di≠0。8.说明复数在解决实际问题中的应用。参考答案：复数在解决实际问题中的应用包括：①电工学中交流电路的阻抗计算；②物理学中旋转运动和波动分析；③计算机图形学中旋转和缩放变换；④工程问题中的系统稳定性分析。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知复数z=3+2i和w=1-i，求zw的结果，并写出详细的计算过程。参考答案：5+i2.在复平面内，点A对应的复数是2-3i，点B对应的复数是-1+4i。求向量AB的模长，并说明其几何意义。参考答案：√343.已知复数z满足方程z^2+2z+5=0，求z的模长，并写出求解过程。参考答案：√54.若复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z_bar=3-2i，求a和b的值，并说明理由。参考答案：a=3,b=-25.已知复数z1=1+i和z2=2-i，求z1/z2的结果，并写出详细的计算过程。参考答案：(5/5)+(3/5)i6.在复平面内，点P对应的复数是3+4i，点Q对应的复数是-2-3i。求向量PQ的坐标表示，并计算其模长。参考答案：(-5,-7)√(74)7.已知复数z满足|z|=5且z_bar=1-2i，求z的值，并写出求解过程。参考答案：4-3i8.若复数z=1+i，求z^3的结果，并写出详细的计算过程。参考答案：-8-6i标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：由(2+i)z=5-3i，得z=(5-3i)/(2+i)=(5-3i)(2-i)/5=(10-5i-6i+3)/(5)=1-3i，所以实部为1。A选项计算错误，(2+i)×2=4+2i≠5-3i；C选项计算错误，(2+i)×(-1)=-2-i≠5-3i；D选项计算错误，(2+i)×(-2)=-4-2i≠5-3i。2.参考答案：B解析：i^4=1，所以i^2026=i^(4×506+2)=i^2=-1。A选项i^2026=-1≠1；C选项i^2026=-1≠-1；D选项i^2026=-1≠-i。3.参考答案：B解析：复数3+4i对应的点在第一象限，关于虚轴对称的点的实部取相反数，虚部不变，所以坐标为(-3,4)。A选项坐标实部为正，错误；C选项坐标虚部为负，错误；D选项坐标实部虚部都为负，错误。4.参考答案：B解析：|α-β|=|1+i-1+i|=|2i|=2。A选项计算错误，|α-β|≠1；C选项计算错误，|α-β|≠√2；D选项计算错误，|α-β|≠√3。5.参考答案：B解析：|z|=2且arg(z)=π/3，所以z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i。A选项计算错误，2(cos(π/3)+isin(π/3))≠2+2i；C选项计算错误，2(cos(π/3)+isin(π/3))≠2√3+i；D选项计算错误，2(cos(π/3)+isin(π/3))≠√3-√3i。6.参考答案：A解析：z₁•z₂=(2-3i)(1+i)=2+2i-3i-3i²=5-i，对应的点(5,-1)位于第一象限。B选项点位于第二象限；C选项点位于第三象限；D选项点位于第四象限。7.参考答案：B解析：设w=a+bi，则w²=(a+bi)²=a²-b²+2abi=2i，所以a²-b²=0且2ab=2，解得a=b=1或a=-b=-1，模长|w|=√(a²+b²)=√2。A选项模长为1，错误；C选项模长为2，错误；D选项模长为4，错误。8.参考答案：C解析：z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，若z²为实数，则虚部2ab=0，即a=0或b=0，所以a²=b²。A选项a=0时b不一定为0，错误；B选项b=0时a不一定为0，错误；D选项a=b时a²=b²成立，但不是唯一条件。9.参考答案：D解析：(1+i)⁵=(1+i)⁴(1+i)=(1+2i+i²)²(1+i)=(2i)²(1+i)=-4(1+i)=-4-4i。A选项计算错误；(1+i)⁵≠-4+4i；B选项计算错误；(1+i)⁵≠-4-4i；C选项计算错误；(1+i)⁵≠4+4i。10.参考答案：B解析：|z-1|+|z+1|=4，根据复数模的几何意义，表示复数z对应点到(1,0)和(-1,0)的距离之和为4，大于两定点距离2，所以轨迹为椭圆。A选项为圆，错误；C选项为双曲线，错误；D选项为抛物线，错误。二、填空题1.参考答案：3-i解析：由(2+3i)z=6-15i，得z=(6-15i)/(2+3i)=(6-15i)(2-3i)/(2^2+3^2)=(12-18i-30i+45i^2)/13=(-33-48i)/13=3-i。2.参考答案：3+4i解析：复数a+bi的共轭复数是a-bi，故3-4i的共轭复数是3+4i。3.参考答案：2-i解析：复平面内点A(2,1)关于实轴对称的点是(2,-1)，对应的复数是2-i。4.参考答案：5cos(π/3)+5isin(π/3)解析：复数z的模为5，辐角主值为π/3，故z=5(cos(π/3)+isin(π/3))=5(1/2+√3/2i)=5cos(π/3)+5isin(π/3)。5.参考答案：64解析：利用二项式定理，(1+i)^6=C6^0(1)^6(C6^1(1)^5(i)^1)+C6^2(1)^4(i)^2+C6^3(1)^3(i)^3+C6^4(1)^2(i)^4+C6^5(1)^1(i)^5+C6^6(1)^0(i)^6=1+15i-20-10i+5+0i=64。6.参考答案：椭圆解析：|z-1|+|z+1|=4表示复平面内到点(1,0)、(-1,0)距离之和为4的点的轨迹，根据椭圆定义，该轨迹是以(1,0)、(-1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆。7.参考答案：11-2i解析：z1•z2=(1+2i)(3-4i)=3-4i+6i-8i^2=3+2i+8=11-2i。8.参考答案：√2解析：w=(1+i)/(1-i)=(1+i)^2/(1-i)^2=(1+2i+i^2)/(1-2i+i^2)=(2i)/(2i)=1，故|w|=|1|=√2。9.参考答案：1/2解析：z=1/(1-i)=1/(1-i)•(1+i)/(1+i)=(1+i)/(1-i^2)=(1+i)/2=1/2+1/2i，故z的实部是1/2。10.参考答案：2解析：设α=a+bi(a,b∈R)，则α^2=(a+bi)^2=a^2+2abi-b^2=-3+4i，比较实部、虚部得a^2-b^2=-3，2ab=4，解得a=2,b=1或a=-2,b=-1，故α的虚部是1。三、判断题1.参考答案：×解析：复数z=a+bi的模|z|定义为√(a²+b²)，这是点(a,b)在复平面内对应向量长度的值，而不是长度的平方。题干说法错误。2.参考答案：×解析：复数z满足z²=-1时，z可以是i或-i，但也可以是-i或i，即z=±i。题干只说z只能等于i或-i，遗漏了z=-i或i的情况，因此错误。3.参考答案：√解析：设复数z=a+bi，其共轭复数为z̄=a-bi。则z-z̄=(a+bi)-(a-bi)=2bi。当b≠0时，2bi是纯虚数；当b=0时，z-z̄=0，也是纯虚数。因此两个共轭复数的差一定是纯虚数或0，题干说法正确。4.参考答案：√解析：复数集C包含所有形如a+bi(a,b∈R)的数，其中a,b是实数。当b=0时，a+bi就成为实数a。因此实数集R是复数集C的真子集，题干说法正确。5.参考答案：√解析：z₁+z₂=(3+4i)+(1-2i)=(3+1)+(4i-2i)=4+2i。该复数的实部是4，虚部是2，题干说法正确。6.参考答案：×解析：设z=-2i的平方根为w=x+yi(x,y∈R)。则w²=(x+yi)²=x²-y²+2xyi=-2i。比较实部和虚部得x²-y²=0且2xy=-2。解得x=0,y=1或x=0,y=-1。因此z=-2i的平方根是i和-i，题干只说±i，遗漏了-i，因此错误。7.参考答案：√解析：在复平面内，第三象限的点满足横坐标（实部）小于0，纵坐标（虚部）小于0。因此表示复数a+bi的点位于第三象限时，必有a0且b0，题干说法正确。8.参考答案：√解析：计算(1+i)²=1²+2×1×i+i²=1+2i-1=2i。该等式成立，且对任意复数z，(1+i)²=2i是恒等式，题干说法正确。9.参考答案：√解析：复数的代数形式定义为a+bi，其中a,b是实数。这是复数的标准表示方法，因此任何复数都可以表示为a+bi的形式，题干说法正确。10.参考答案：×解析：复数z满足|z|=1时，z²=|z|²=1²=1。但z²=1的解是z=1或z=-1。题干说z²一定等于1，遗漏了z²=-1的情况（例如z=i或z=-i时z²=-1），因此错误。四、简答题1.参考答案：复数由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。复数可以在复平面上表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标。解析：本题考查复数的基本概念。复数是高中数学的重要内容，由实部和虚部构成，虚数单位i是核心概念。复数的表示方法有代数式a+bi和几何式（a,b），后者对应复平面上的点。解析需展开说明实部、虚部、虚数单位i的定义及其关系，强调复数的双重表示形式及其意义，体现对复数基本结构的理解。2.参考答案：两个复数a+bi和c+di相等的充要条件是实部相等且虚部相等，即a=c且b=d。解析：本题考查复数相等的条件。复数相等的判定是复数运算的基础，其条件是实部和虚部分别相等。解析需从复数的代数表示入手，说明a+bi=c+di等价于a=c且b=d，强调这是复数比较的唯一标准，避免与实数比较混淆。排除错误理解如模相等或辐角相等等非充要条件。3.参考答案：复数运算满足交换律，即a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di；结合律，即(a+bi)+(c+di)+(e+fi)=[(a+c)+e]+[(b+d)+f)i]，(a+bi)•(c+di)•(e+fi)=[(ac-bd)+(ad+bc)i]•(e+fi)；分配律，即(a+bi)•(c+di+e+fi)=(a+bi)•c+(a+bi)•di+(a+bi)•e+(a+bi)•fi。解析：本题考查复数运算律。复数运算律与实数类似，是复数运算的基础。解析需分别展开说明交换律、结合律、分配律在复数加法和乘法中的体现，强调i²=-1对分配律的特殊作用。排除错误理解如乘法结合律不适用于除法等，体现对运算律的掌握。4.参考答案：复数b+bi（b≠0）称为纯虚数，其特征是实部为0且虚部不为0。解析：本题考查纯虚数的定义。纯虚数是复数的重要分类，是实数和虚数的特殊情形。解析需从纯虚数的代数表示入手，说明实部为0且虚部不为0是纯虚数的充要条件，强调0既不是实数也不是纯虚数。排除错误理解如虚部为0或实部虚部均不为0等。5.参考答案：复数z=a+bi的模记作|z|，定义为|z|=\sqrt{a²+b²}，几何意义是复数在复平面上对应的点到原点的距离。解析：本题考查复数模的概念。复数模是复数的重要属性，与距离概念相关。解析需从模的代数定义入手，说明其计算公式，再解释其几何意义为复平面上的点到原点的距离，强调模的非负性。排除错误理解如模等于实部或虚部等。6.参考答案：复数乘法的几何意义是，将一个复数乘以另一个非零复数，相当于将原复数对应的向量按辐角（旋转角）乘以另一个复数的辐角，模（长度）乘以另一个复数的模。解析：本题考查复数乘法的几何意义。复数乘法具有丰富的几何意义，是复数应用的关键。解析需从复数的极坐标形式入手，说明乘法对应辐角的相加和模的相乘，再解释其物理意义如旋转和伸缩。排除错误理解如乘法只改变模或只改变辐角等。7.参考答案：复数除法运算是通过乘以除数的共轭复数实现的，即(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)/(c²+d²)i，其中c+di≠0。解析：本题考查复数除法规则。复数除法是乘法的逆运算，需要转化为乘法。解析需从除法的定义入手，说明通过乘以共轭复数实现，再给出计算公式，强调除数不为0的条件。排除错误理解如直接约分或忽略共轭的作用等。8.参考答案：复数在解决实际问题中的应用包括：①电工学中交流电路的阻抗计算；②物理学中旋转运动和波动分析；③计算机图形学中旋转和缩放变换；④工程问题中的系统稳定性分析。解析：本题考查复数的应用。复数在多个学科有重要应用，是数学工具性的体现。解析需列举复数在不同领域的应用实例，如电工学中的复阻抗、物理学中的旋转矢量等，强调复数简化问题的能力。排除错误理解如复数仅用于理论推导或无实际应用等。五、应用题1.参考答案：5+i解析：zw=(3+2i)(1-i)=3-3i+2i-2i^2=3-i+2=5-i。根据虚数单位i的性质i^2=-1，计算得到结果为5+i。2.参考答案：√34