2026 年人教版九年级数学上册第一单元测试卷

2026年人教版九年级数学上册第一单元测试卷班级：____姓名：____得分：____一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.方程(𝑥−2)(𝑥+3)=5化为一般形式是__________，一次项系数是__________。2.若𝑥=2是方程𝑥²−𝑎𝑥+2=0的一个根，则𝑎的值是__________。3.一元二次方程𝑥²−4=0的解是__________。4.用配方法解方程𝑥²−6𝑥=1时，需要在等式两边同时加上__________。5.若关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥²−2𝑥−1=0有两个不相等的实数根，则𝑘的取值范围是__________。6.某商品原价为100元，连续两次涨价，每次涨价的百分率为𝑥，现价为121元，则可列方程为__________。7.已知一元二次方程𝑥²−3𝑥−1=0的两根为𝑥₁、𝑥₂，则𝑥₁+𝑥₂=__________。8.一个矩形的面积是20，长比宽多1，则这个矩形的宽为__________。9.方程𝑥²−5𝑥+6=0的两根之和是__________，两根之积是__________。10.若方程(𝑚−1)𝑥²+2𝑥+1=0是一元二次方程，则𝑚的取值范围是__________。二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A.𝑥+2𝑦=1B.𝑥²+5=0C.2𝑥+1/𝑥=8D.𝑥²+𝑦−1=02.方程𝑥²=4𝑥的解是（）A.𝑥=4B.𝑥=0C.𝑥₁=0，𝑥₂=4D.𝑥₁=2，𝑥₂=−23.用公式法解方程2𝑥²−3𝑥−1=0，正确的求根结果是（）A.𝑥=(3±√17)/4B.𝑥=(−3±√17)/4C.𝑥=(3±√1)/4D.𝑥=(−3±√1)/44.一元二次方程𝑥²−2𝑥+3=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.无法确定5.下列填空题解答正确的是（）A.方程𝑥²=𝑥的解是𝑥=1B.𝑥²+2𝑥=0的两根之和是2C.方程𝑥²+2𝑥−1=0的两根之积是−1D.若𝑥=1是方程𝑥²+𝑎𝑥−1=0的根，则𝑎=−26.用配方法解方程𝑥²−4𝑥−5=0，变形正确的是（）A.(𝑥−2)²=1B.(𝑥−2)²=9C.(𝑥+2)²=9D.(𝑥+2)²=17.某工厂1月份产值为50万元，3月份产值为72万元，若每月产值的平均增长率为𝑥，则可列方程为（）A.50(1+𝑥)²=72B.50(1+2𝑥)=72C.50(1+𝑥²)=72D.72(1−𝑥)²=508.若关于𝑥的方程𝑥²−𝑘𝑥+1=0有两个相等的实数根，则𝑘的值为（）A.2B.−2C.±2D.0三、解答题（本大题共5小题，共46分）1.用适当方法解下列方程（每小题5分，共10分）（1）(𝑥−1)²=4（2）𝑥²−4𝑥+1=02.用因式分解法解方程（6分）：𝑥(𝑥−3)=2(𝑥−3)3.（8分）某商店销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现：每月销售量𝑦（件）与销售单价𝑥（元）之间的关系可近似看作一次函数𝑦=−10𝑥+500。若商店计划每月获得2000元的利润，求销售单价应定为多少元？（利润=（单价-进价）×销售量）4.（10分）在长为32m，宽为20m的矩形地面上修筑同样宽的道路（阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540m²，求道路的宽是多少米？5.（12分）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥²−(2𝑘+1)𝑥+𝑘²+𝑘=0。（1）求证：无论𝑘取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求𝑘的值。附加题（本大题共2小题，共10分，选做）6.（5分）已知𝑥₁、𝑥₂是一元二次方程𝑥²−3𝑥−1=0的两个根，求代数式𝑥₁²+𝑥₂²的值。7.（5分）已知关于𝑥的方程𝑥²−(𝑚+2)𝑥+2𝑚−1=0。（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求此时以方程的两个根为两边的等腰三角形的周长。【参考答案+详细解析】班级：____姓名：____得分：____一、填空题（每小题3分，共30分）1.答案：𝑥²+𝑥−11=0；1解析：展开原方程左边得𝑥²+3𝑥−2𝑥−6=5，合并整理为一般形式𝑥²+𝑥−11=0，一次项系数为1。2.答案：3解析：将𝑥=2代入方程得4−2𝑎+2=0，解得𝑎=3。3.答案：𝑥₁=2，𝑥₂=−2解析：直接开平方得𝑥=±√4，故解为2和-2。4.答案：9解析：配方法需加一次项系数一半的平方，即(−6/2)²=9。5.答案：𝑘>−1且𝑘≠0解析：一元二次方程要求二次项系数≠0（𝑘≠0），判别式Δ=4+4𝑘>0→𝑘>−1，故综合得𝑘>−1且𝑘≠0。6.答案：100(1+𝑥)²=121解析：连续两次涨价后价格为原价×(1+𝑥)²，故方程为100(1+𝑥)²=121。7.答案：3解析：由韦达定理，两根和𝑥₁+𝑥₂=−𝑏/𝑎=3。8.答案：4解析：设宽为𝑥，长为𝑥+1，列方程𝑥(𝑥+1)=20，解得𝑥=4（负根舍去）。9.答案：5；6解析：韦达定理，两根和=5，两根积=6。10.答案：𝑚≠1解析：一元二次方程二次项系数≠0，故𝑚−1≠0→𝑚≠1。二、选择题（每小题3分，共24分）1.答案：B解析：A是二元一次方程，C是分式方程，D是二元二次方程，只有B符合一元二次方程定义。2.答案：C解析：移项因式分解得𝑥(𝑥−4)=0，解为0和4。3.答案：A解析：公式法Δ=(−3)²−4×2×(−1)=17，故𝑥=(3±√17)/4。4.答案：C解析：判别式Δ=4−12=−8<0，无实根。5.答案：C解析：A解为0和1，B两根和为-2，D代入得𝑎=0，仅C正确。6.答案：B解析：移项加一次项系数一半的平方得(𝑥−2)²=9。7.答案：A解析：3月产值=1月×(1+𝑥)²，故50(1+𝑥)²=72。8.答案：C解析：判别式Δ=𝑘²−4=0→𝑘=±2。三、解答题（共46分）1.（10分）（1）解：直接开平方得𝑥−1=±2，∴𝑥₁=3，𝑥₂=−1。（5分）（2）解：移项得𝑥²−4𝑥=1，两边加4配平方得(𝑥−2)²=5，开平方得𝑥−2=±√5，∴𝑥₁=2+√5，𝑥₂=2−√5。（5分）2.（6分）解：移项提取公因式得(𝑥−3)(𝑥−2)=0，∴𝑥₁=3，𝑥₂=2。3.（8分）解：设销售单价为𝑥元，利润=(𝑥−20)(−10𝑥+500)=2000，整理得𝑥²−70𝑥+1200=0，因式分解得(𝑥−30)(𝑥−40)=0，解得𝑥=30或40。答：销售单价定为30元或40元。4.（10分）解：设道路宽为𝑥米，平移道路后草坪为长(32−𝑥)、宽(20−𝑥)的矩形，列方程(32−𝑥)(20−𝑥)=540，整理得𝑥²−52𝑥+100=0，因式分解得(𝑥−2)(𝑥−50)=0，𝑥=50（舍去，大于矩形宽），故𝑥=2。答：道路宽2米。5.（12分）（1）证明：Δ=(2𝑘+1)²−4(𝑘²+𝑘)=1>0，故总有两个不等实根。（6分）（2）解：由Δ>0知AB≠AC，故等腰三角形腰为5，将𝑥=5代入方程得𝑘²−9𝑘+20=0，解得𝑘=4或𝑘=5。当𝑘=4时，根为4和5，周长14；当𝑘=5时，根为5和6，周长16。答：𝑘的值为4