2026 年人教版九年级数学上册拓展思维专项练习

2026年人教版九年级数学上册拓展思维专项练习班级：____姓名：____得分：____填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若方程$(m-2)x^2+3x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的取值范围是____。2.一元二次方程$x^2-4x=0$的根是____。3.方程$2x^2-6x+3=0$的判别式的值为____。4.已知$x_1$，$x_2$是方程$x^2-3x-2=0$的两根，则$x_1+x_2=$____。5.某商品原价每件$a$元，连续两次降价的百分率为$x$，现价每件为____元。6.若关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+k=0$有两个相等的实数根，则$k$的值为____。7.若$x=1$是方程$x^2+mx+3=0$的一个根，则$m=$____。8.直角三角形的两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为____。9.已知方程$x^2-5x+6=0$的两根是一个矩形的两边长，则矩形的周长为____。10.若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）满足$a+b+c=0$，则方程必有一个根为____。选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.$x+2y=1$B.$x^2-2=0$C.$3x+\frac{1}{x}=4$D.$x(x+3)=x^2-1$2.方程$x^2-9=0$的解是（）A.$x=3$B.$x=-3$C.$x=3$或$x=-3$D.$x=0$3.用配方法解方程$x^2-2x-1=0$，配方正确的是（）A.$(x-1)^2=2$B.$(x-1)^2=0$C.$(x+1)^2=2$D.$(x+1)^2=0$4.关于$x$的一元二次方程$x^2+mx+1=0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是（）A.$m>2$B.$m<-2$C.$m≠2$D.$m>2$或$m<-2$5.某厂一月份生产零件50万件，三月份生产零件72万件，设每月平均增长率为$x$，可列方程为（）A.$50(1+x)=72$B.$50(1+x)^2=72$C.$50(1+2x)=72$D.$50+50(1+x)+50(1+x)^2=72$6.若方程$x^2-3x-2=0$的两根为$x_1$，$x_2$，则$x_1^2+x_2^2$的值为（）A.5B.7C.13D.-137.用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A.4cmB.6cmC.4cm或6cmD.8cm8.若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2+2x-2=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（）A.$k>\frac{1}{2}$B.$k≥\frac{1}{2}$C.$k>\frac{1}{2}$且$k≠1$D.$k≥\frac{1}{2}$且$k≠1$解答题（本大题共8小题，共54分）1.用直接开平方法解方程：$(x-2)^2=9$（5分）2.用配方法解方程：$x^2+4x-5=0$（6分）3.用公式法解方程：$2x^2-5x+1=0$（6分）4.用因式分解法解方程：$3x(x-2)=2(x-2)$（6分）5.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-4x+m=0$，（1）若方程有实数根，求$m$的取值范围；（3分）（2）若方程的一个根为1，求另一个根及$m$的值。（3分）（共6分）6.某校用20米长的篱笆围成矩形生物园，一边靠墙（墙足够长），求矩形生物园的最大面积及对应的长和宽。（7分）7.某商店销售商品，每件成本40元，售价50元时可销售200件；售价每涨1元，销量减少10件。若商店要获2250元利润，求每件售价应定为多少元？（8分）8.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，（1）求证方程有两个不相等的实数根；（4分）（2）若$\triangleABC$的两边$AB$、$AC$是方程的两个根，$BC=5$，当$\triangleABC$为等腰三角形时，求$k$的值。（6分）（共10分）附加题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1.已知一元二次方程两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=6$，求方程的一个根为1时，$a-b+c$的值（其中方程为$ax^2+bx+c=0$，$a≠0$）。（5分）2.矩形$ABCD$中，$AB=16cm$，$BC=6cm$，点$P$从$A$沿$AB$以$3cm/s$向$B$移动，点$Q$从$C$沿$CD$以$2cm/s$向$D$移动，移动时间为$t$秒，当$\triangleDPQ$为等腰三角形时，求$t$的值（点到端点即停止移动）。（5分）参考答案+详细解析一、填空题1.$m≠2$（一元二次方程二次项系数不为0）2.$x_1=0$，$x_2=4$（因式分解得$x(x-4)=0$）3.$12$（$\Delta=(-6)^2-4×2×3=36-24=12$）4.$3$（根与系数关系$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3$）5.$a(1-x)^2$（连续两次降价公式）6.$1$（$\Delta=2^2-4×1×k=0→k=1$）7.$-4$（代入$x=1$得$1+m+3=0→m=-4$）8.$5$（设直角边$a,b$，$a+b=7$，$ab=12$，斜边$\sqrt{7^2-2×12}=5$）9.$10$（方程根为2和3，矩形周长$2×(2+3)=10$）10.$x=1$（代入$x=1$得$a+b+c=0$）二、选择题1.B（A二元一次，C分式，D化简后为一次方程）2.C（$x^2=9→x=±3$）3.A（$x^2-2x=1→(x-1)^2=2$）4.D（$\Delta=m^2-4>0→m>2或m<-2$）5.B（三月产量为一月的$(1+x)^2$倍）6.C（$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9+4=13$）7.B（若腰4，底8，4+4=8不能构成三角形，故腰6）8.C（二次项系数$k≠1$，$\Delta=4+8(k-1)>0→k>\frac{1}{2}$）三、解答题1.解：$x-2=±3→x_1=5$，$x_2=-1$2.解：$x^2+4x=5→x^2+4x+4=9→(x+2)^2=9→x+2=±3→x_1=1$，$x_2=-5$3.解：$\Delta=25-8=17→x=\frac{5±\sqrt{17}}{4}$，即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$4.解：$3x(x-2)-2(x-2)=0→(x-2)(3x-2)=0→x_1=2$，$x_2=\frac{2}{3}$5.解：（1）$\Delta=16-4m≥0→m≤4$；（2）设另一根为$x_2$，由根与系数得$1+x_2=4→x_2=3$，$m=1×3=3$6.解：设矩形垂直于墙的边长为$x$米，则平行于墙的边长为$(20-2x)$米，面积$S=x(20-2x)=-2x^2+20x=-2(x-5)^2+50$，当$x=5$时，$S$最大为50，此时平行边长为$20-10=10$米，故最大面积50平方米，长10米，宽5米。7.解：设售价为$x$元，销量为$200-10(x-50)=700-10x$件，利润$(x-40)(700-10x)=2250$，整理得$x^2-110x+3025=0→(x-55)^2=0→x=55$，故售价定为55元。8.（1）证明：$\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+k)=4k^2+4k+1-4k^2-4k=1>0$，故方程有两个不相等的实数根；（2）方程根为$x=\frac{(2k+1)±1}{2}→x_1=k+1$，$x_2=k$，等腰三角形分两种情况：①$k+1=5→k=4$（此时三边为5,5,4，符合）；②$k=5$（此时三边为5,6,5，符合），故$k=4$或$k=5$。四、附加题1.解：由$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=6$，得方程为$x^2-5x+6=0$，根为2和3，因$x=1$是方程$ax^2+bx+c=0$的根时，$a-b+c=f(-1)$，设$f(x)=a(x-2)(x-3)$，则$f(-1)=a(-3)(-4)=12a$，又$a+b+c=f(1)=a(-1)(-2)=2a$，题目隐含$a≠0$，但结合方程根的性质，当方程为$x^2-5x+6=0$时，若取$a=1$，则$b=-5$，$c=6$，故$a-b+c=1+5+6=12$。2.解：设$A(0,0)$，$B(16,0)$，$C(16,6)$，$D(0,6)$，则$P(3t,0)$，$Q(16-2t,6)$，$t∈[0,\frac{16}{3}]$，分三种情况：①$DP=DQ$：$\sqrt{(3t)^2+6^2}=|16-2t|→9t^2+36=256-64t+4t^2→5t^2+64t-220=0$，解得$t=\frac{-64±\sqrt{64^2+4×5×220}}{10}=\frac{-64±\sqrt{5336}}{10}$，正根约为2.8（舍去负根）；②$DP=PQ$：$\sqrt{(3t)^2+6^2}=\sqrt{(5t-16)^2+6^2}→9t^2=(5t-16)^2→16t^2-160t+256=0→t^2-10t+16=0→t=2或t=8$（$t=8>\frac{16}{3}$舍去）；③$DQ=PQ$：$|16-2t|=\sqrt{(5t-16)^2+6^2}→(16-2t)^2=(5t-16)^2+36→21t^2-96t+36=0→7t^2-32t+12=0→t=\frac{32±\sqrt{1024-336}}{14}=\frac{32±2\sqrt{172}}{14}$，正根约为$\frac{32+26.76}{14}≈4.2$，另一根约0.3，均在范围内？不对，修正：$DQ=16-2t$，$PQ^2=(5t-16)^2+36$，故$(16-2t)^2=(5t-16)^2+36$，展开得$256-64t+4t²=25t²-160t+256+36→21t²-96t+36=0→7t²-32t+12=0→t=\frac{32±\sqrt{1024-336}}{14}=\frac{32±\sqrt{688}}{14}=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}=\frac{16±2\sqrt{43}}{7}$，取正根小的约$