2026秋人教版七上 第二章 有理数的运算（B卷·综合能力培优卷）

第二章有理数的运算（B卷·综合能力培优卷）（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2025七上·织金期末）下列计算错误的是（）A．4÷−14C．10+(−5)=5 D．−2．（2025七上·中山期末）若p=7，q=8，且p−q>0，则A．−1 B．15 C．1或15 D．−1或−153．（2025七上·上城期中）10月27日，受冷空气影响，东北、华北等地气温下降，哈尔滨(-5.7℃)、太原(-2.6℃)、天津(-1.2℃)、西宁(-1.2℃)、兰州(1.5℃)、成都(10.8℃)等6个城市气温创立秋后新低，太原和西宁为立秋后首次跌破冰点。则这6个城市气温最高与最低相差()℃A．12 B．5.1 C．16.5 D．9.64．（2025七上·涪城期中）小王在便利店买东西，他离开时发现便利店的时钟指向3点55分．回到家，小王发现家里的时钟已经是4点10分，但他同时发现把手机忘在便利店了，他立即以同样的速度返回去拿．到便利店时，他发现店内的时钟指向4点15分．若小王家里的时钟是准确的，则便利店的时钟的走时情况是（）A．快了5分钟 B．慢了5分钟 C．快了10分钟 D．慢了10分钟5．（2025七上·东阳月考）已知a2=bA．−4 B．−1 C．0 D．26．（2025七上·拱墅开学考）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究2÷2A．()×23=2C．2÷23=2÷2×37．（2025七上·安州期中）把(＋5)－(＋3)－(－1)＋(－5)写成省略括号的和的形式是（）A．－5－3＋1－5 B．5－3－1－5C．5＋3＋1－5 D．5－3＋1－58．（2025七上·武汉月考）我们常用的十进制数，如2639=2×103＋6×102＋3×10¹＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制(如2513=2×73＋5×72＋1×7¹＋3)，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．1435天 B．510天 C．365天 D．13天9．（2025七上·潮南月考）若|abc|=−abc，且abc≠0，则a|a|A．1或－3 B．－1或－3 C．±1或±3 D．无法判断10．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a−bab，则A．−12024 B．12024 C．2023二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．（2025·娄底模拟）计算：4÷−8×12．（2025七上·瑞安期中）已知一个数与3的和是−8，则这个数是．13．（2025七上·海曙期中）定义一种新运算，a※b=(a+2)×3-b，例如：3※5=(3+2)×3-5=15-5=10，则7※(-3)的值是.14．（2025七上·鄞州期中）用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为．15．（2025七上·廉江期末）计算：−1202416．（2025七上·杭州期中）计算1+2+2+3+4+⋯+100+22+三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（2025七上·兰州期末）计算：（1）−8×−（2）−118．（2025七上·新华期末）我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：+5.5km，−3.2km，+1km，−1.5km，−0.8km．（上升记为正，下降记为负）（1）这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？19．（2025七上·柯桥期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝ab﹣a﹣b，如2*3＝2×3﹣2﹣3＝6﹣5＝1．求：（1）3*（﹣5）的值．（2）（﹣2）*（5*4）的值．20．（2025七上·台山期中）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示．（1）化简a=_________，b=________，−a=（2）如果3+b+a−1221．（2025七上·东阳期末）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）2.1−2−1.5011.22箱数1245341（1）在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？（2）与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？22．（2025七上·东莞期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从M地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；x表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）：次数第1次第2次第3次第4次第5次里程−3−16+21−10+6载客xOOxO（1）王师傅走完第5次里程后，他在M地的什么方向？离M地有多少千米？（2）已知出租车每千米耗油约0.2升，王师傅开始营运前油箱里有16升油，若少于5升，则需要加油，请通过计算说明王师傅这天上午中途是否需要加油．（3）已知载客时3千米以内（含3千米）收费10元，超过3千米后每千米收费2元，问王师傅这天上午走完5次里程后的营业总额为多少元？23．（2024七上·岳阳期中）10月1日国庆放假，明明一家三口一起乘自家小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆，早上从家里出发，向东走了6千米到超市买东西，然后又向东走了1.5千米到爷爷家，中午吃过饭后从爷爷家出发向西走了11千米到外公家，晚上返回家里．（1）若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来；（2）问超市A和外公家C相距多少千米？（3）若小轿车每千米耗油0.08升，求小明一家从出发到返回家所经历路程小车的耗油量．第二章有理数的运算（B卷·综合能力培优卷）（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2025七上·织金期末）下列计算错误的是（）A．4÷−14C．10+(−5)=5 D．−【答案】B【解析】【解答】解：A、4÷−B、2÷−9C、10+(−5)=5，故此选项正确，不符合题意；D、−1故答案为：B．

【分析】利用有理数的除法、有理数乘除法、有理数的加法和有理数的减法的计算方法逐项分析判断即可.2．（2025七上·中山期末）若p=7，q=8，且p−q>0，则A．−1 B．15 C．1或15 D．−1或−15【答案】D【解析】【解答】解：∵p=7，q∴p=±7，q=±8，∵p−q>0，∴p=7，q=−8；p=−7，q=−8；当p=7，q=−8时，p+q=7+(−8)=−1；当p=−7，q=−8时，p+q=−7+(−8)=−15；综上可知：p+q的值为−1或−15，故选：D．【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的加减运算，先根据绝对值求出p、q的所有可能值。绝对值为7的数有两个，即p=±7；绝对值为8的数有两个，即q=±8。再根据p−q>0的条件筛选符合的组合，即p>q：当p=7时，q只能取-8（因为7>-8，7<8不满足）；当p=−7时，q只能取-8（因为-7>-8，-7<8不满足）。分别计算两种组合的p+q：7+(−8)=−1，3．（2025七上·上城期中）10月27日，受冷空气影响，东北、华北等地气温下降，哈尔滨(-5.7℃)、太原(-2.6℃)、天津(-1.2℃)、西宁(-1.2℃)、兰州(1.5℃)、成都(10.8℃)等6个城市气温创立秋后新低，太原和西宁为立秋后首次跌破冰点。则这6个城市气温最高与最低相差()℃A．12 B．5.1 C．16.5 D．9.6【答案】C【解析】【解答】解：10.8-(-5.7)=16.5℃，

故答案为：C.

【分析】找出最高气温和最低气温，然后求差解答即可.4．（2025七上·涪城期中）小王在便利店买东西，他离开时发现便利店的时钟指向3点55分．回到家，小王发现家里的时钟已经是4点10分，但他同时发现把手机忘在便利店了，他立即以同样的速度返回去拿．到便利店时，他发现店内的时钟指向4点15分．若小王家里的时钟是准确的，则便利店的时钟的走时情况是（）A．快了5分钟 B．慢了5分钟 C．快了10分钟 D．慢了10分钟【答案】B【解析】【解答】解：小王从便利店出发，到家后又返回便利店，按照便利店的时间，这一过程共用时4：15-3：55=20分钟所以小王从便利店到家的单程时间为20÷2=10分钟，所以小王离开便利店时，便利店的时钟指向3点55分，加上10分钟的行程时间，小王到家的时间应该是4点5分，而小王家准确时间是4点10分，且10−5=5（分钟），所以便利店的时间比准确时间慢了5分钟.故答案为：B．

【分析】按照便利店的时间，计算出小王从便利店到家用时10分钟，从而确定小王到家的时间，与小王家准确时间对比，即可判断便利店的时钟的走时情况．5．（2025七上·东阳月考）已知a2=bA．−4 B．−1 C．0 D．2【答案】B【解析】【解答】解：∵a2∴a=±1,b=±1,c=±1,d=±1，当四个数均为1时：1+1+1+1=4；当四个数均为−1时：−1−1−1−1=−4；当四个数中有1个−1时：−1+1+1+1=2；当四个数中有2个−1时：−1−1+1+1=0；当四个数中有3个−1时：−1−1−1+1=−2；故a+b+c+d的值不可能等于：−1；故选B．【分析】先由平方根的概念可得a=±1,b=±1,c=±1,d=±1，再分类讨论并计算即可．6．（2025七上·拱墅开学考）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究2÷2A．()×23=2C．2÷23=2÷2×3【答案】D【解析】【解答】解：

A、()×23=2，此方法是根据乘除法的互逆关系，想哪个数乘以23等于2，通过乘法来解除法的结果，不是“经分术”先通分，再分子相除的方法，故该选项不符合题意；

B、2÷23=2×3÷23×3，此方法运用的商不变得性质，即被除数与除数同时乘以3，商不变，将分数除法转变为整数除法6÷2来计算，不是“经分术”先通分，再分子相除的方法，故该选项不符合题意；故答案为：D．

【分析】《九章算术》中的“经分术”，分数除法需先将两数通分，再用分子相除，据此逐一判断可得答案.7．（2025七上·安州期中）把(＋5)－(＋3)－(－1)＋(－5)写成省略括号的和的形式是（）A．－5－3＋1－5 B．5－3－1－5C．5＋3＋1－5 D．5－3＋1－5【答案】D【解析】【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号．

【解答】原式=（+5)+（-3)+（+1)+（-5)=5-3+1-5．

故选D．

【点评】必须统一成加法后，才能省略括号和加号．8．（2025七上·武汉月考）我们常用的十进制数，如2639=2×103＋6×102＋3×10¹＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制(如2513=2×73＋5×72＋1×7¹＋3)，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．1435天 B．510天 C．365天 D．13天【答案】B【解析】【解答】解：1×73+3×72+2×7+6

=1×343+3×49+2×7+6

=343+147+14+6

=510故答案为：B.

【分析】类比现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数.9．（2025七上·潮南月考）若|abc|=−abc，且abc≠0，则a|a|A．1或－3 B．－1或－3 C．±1或±3 D．无法判断【答案】A【解析】【解答】解：∵|abc|=-abc，且abc≠0，∴a，b，c中负数有1个，正数有2个或3个都是负数，①当a，b，c中负数有1个，正数有2个时，则a|a|②当a，b，c中3个都是负数时，则a|a|故a|a|故答案为：A.【分析】分两种情况讨论，①当a，b，c中负数有1个，正数有2个时，②当a，b，c中3个都是负数时，然后去绝对值，再化简即可得出结果.10．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a−bab，则A．−12024 B．12024 C．2023【答案】D【解析】【解答】解：∵a※b=a−b∴1※2+2※3+3※4+⋯+2023※2024==−1+=−故选：D

【分析】先根据新定义：a※b=a−bab，把新定义进行化简得到：二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．（2025·娄底模拟）计算：4÷−8×【答案】−【解析】【解答】解：4÷−8故答案为：−18【分析】先把除法化成乘法，然后约分解题．12．（2025七上·瑞安期中）已知一个数与3的和是−8，则这个数是．【答案】−11【解析】【解答】解：根据题意得：−8−3=−11故答案为：−11．

【分析】根据题意这个数为−8与3的差，列示计算即可．13．（2025七上·海曙期中）定义一种新运算，a※b=(a+2)×3-b，例如：3※5=(3+2)×3-5=15-5=10，则7※(-3)的值是.【答案】30【解析】【解答】解：∵a∗b=∵7※(-3)=(7+2)×3-(-3)=9×3+3=27+3=30，故答案为：30.【分析】根据a×b=a+214．（2025七上·鄞州期中）用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为．【答案】18【解析】【解答】解：用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为18．故答案为：18．【分析】由于要精确到个位，则需要对十分位的数字进行四舍五入即可．15．（2025七上·廉江期末）计算：−12024【答案】−16【解析】【解答】解：由−故答案为：−16．【分析】本题主要考查了有理数的混合运算法则，根据题意，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同时同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有绝对值，要先做绝对值内的运算，据此作答，即可得到答案．16．（2025七上·杭州期中）计算1+2+2+3+4+⋯+100+22+【答案】2【解析】【解答】解：设S=2+2∴2S=2∴2S−S=2∴S=2∴1+2+2+3+4+⋯+100+=1+2+3+4+⋯+100+2+=101×50+=2故答案为：2101+5048．

【分析】设S=2+22+三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（2025七上·兰州期末）计算：（1）−8×−（2）−1【答案】（1）解：−8×=−8×=−48×=−=8−36+4=−24；（2）解：−=−1−=−1−10×=−1+=123【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算即可求出答案.

（2）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案.（1）解：−8×=−8×=−48×=−=8−36+4=−24；（2）解：−=−1−=−1−10×=−1+=12318．（2025七上·新华期末）我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：+5.5km，−3.2km，+1km，−1.5km，−0.8km．（上升记为正，下降记为负）（1）这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？【答案】（1）解：+5.5+−3.2+1+−1.5∵上升记为正，下降记为负，∴这架飞机比起飞点高了1千米．（2）解：飞机上升消耗的燃油为：5.5+1×4=26飞机下降消耗的燃油为：−3.2+26+11=37（升），∴这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗37升燃油．【解析】【分析】（1）本题考察正负数的实际意义以及有理数加法的应用。根据题目描述，将给出的数据直接相加即可得出结果。

（2）本题考察绝对值的概念以及有理数加法的实际应用。燃油总消耗量等于飞机上升时消耗的燃油加上下降时消耗的燃油，列出算式计算即可。（1）解：+5.5+−3.2+1+−1.5∵上升记为正，下降记为负，∴这架飞机比起飞点高了1千米．（2）解：飞机上升消耗的燃油为：5.5+1×4=26飞机下降消耗的燃油为：−3.2+26+11=37（升），∴这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗37升燃油．19．（2025七上·柯桥期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝ab﹣a﹣b，如2*3＝2×3﹣2﹣3＝6﹣5＝1．求：（1）3*（﹣5）的值．（2）（﹣2）*（5*4）的值．【答案】（1）解：原式＝3×（﹣5）﹣3﹣（﹣5）＝﹣15﹣3+5＝﹣13；（2）解：5*4＝5×4﹣5﹣4＝20﹣5﹣4＝11，（﹣2）*11＝﹣2×11﹣（﹣2）﹣11＝﹣22+2﹣11＝﹣31．【解析】【分析】(1)直接根据新定义的计算规则进行计算即可；

(2)根据运算规则，先计算5*4，再计算后面的（﹣2）*11，即可得结果.20．（2025七上·台山期中）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示．（1）化简a=_________，b=________，−a=（2）如果3+b+a−12【答案】（1）a，−b，a，−b；（2）解：∵3+b+a−12=0，

∴3+b=0，a−12=0，

∴b=−3【解析】【解答】（1）解：由数轴可知b<0<a，则a=a，b=−b，−a故答案为：a，−b，a，−b.【分析】（1）先结合数轴判断出b<0<a，再利用绝对值的性质分析求解即可；

（2）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再将其代入a+b−4计算即可.（1）解：由数轴可知b<0<a，则a=a，b=−b，−a故答案为：a，−b，a，−b；（2）解：∵3+b+∴3+b=0，a−1∴b=−3，a=1，∴a+b−4=1+−321．（2025七上·东阳期末）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）2.1−2−1.5011.22箱数1245341（1）在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？（2）与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？【答案】（1）解：根据表格数据，2.1−−1.5最重的一箱比最轻的一箱重3.6千克；（2）解：由表格数据，得

2.1×1+−2×2+−1.5×4+0×5+1×3+1.2×4+2×1=1.9（千克），

【解析】【分析】（1）由题意，用最大的2.1减去最小的−1.5并结合有理数的减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可求解；（2）将表格中的20个数据相加，和为正，表示总计超过标准质量，和为负，则表示总计不足标准质量．（1）解：根据表格数据，2.1−−1.5最重的一箱比最轻的一箱重3.6千克；（2）解：由表格数据，得2.1×1+−2∴与标准质量比较，20箱苹果总计超过1.9千克．22．（2025七上·东莞期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从M地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；x表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）：次数第1次第2次第3次第4次第5次里程−3−16+21−10+6载客xOOxO（1）王师傅走完第5次里程后，他在M地的什么方向？离M地有多少千米？（2）已知出租车每千米耗油约0.2升，王师傅开始营运前油箱里有16升油，若少于5升，则需要加油，请通过计算说明王师傅这天上午中途是否需要加油．（3）已知载客时3千米以内（含3千米）收费10元，超过3千米后每千米收费2元，问王师傅这天上午走完5次里程后的营业总额为多少元？【答案】（1）解：−3+16+21−10+6=30