苏科版（新教材）九年级数学上册第四章4.4 数据的离散程度每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

4.4数据的离散程度(1)教学设计 教学内容与解析散程度(1)——方差。核心知识点：离差平方和、方差的概念与计算，利用方差比较数据波动大小。求→离差求和因正负抵消→改用绝对值但计算繁→平方处理得到离差平方和→用总量无法公平比较不建构过程；知识价值在于为数据稳定性评估提供量化工具，广泛应用于质量控制、气象分析等。教学目标与解析·独立完成含10个数据的方差计算，能基于数值作出波动大小判断；习题得分≥80%。·在探究活动中能说明绝对值、平方两种改进思路的优缺点，口头表达不少于2点依据。·教学难点：方差概念的合理性及其与离差平方和、平均数的关系。学情分析制柱状图能力。易点：计算平均数、列算式求平方和。难点：抽象理解“平方”消除正负、强调远离程度的作用；把实际情境转化为数学模型(如将射击成绩转化为数据序列并利用方差作决策)。通过情境化任务、对比图示及技术工具(计算器、电子表格)可有效降低理解与计算难度。 教学过程设计学校要选派一名射击运动员参加市级比赛.教练对甲、乙两名候选运动员进行了10次射击测试，成绩运动员①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩甲79996999乙7878比较两人的平均成绩，能决定选谁参赛吗?是随机决定，还是寻找其他指标来辅助决策?平均分相同，不能决定【设计意图】以真实竞赛选拔为情境，贴近学生生活经历，引发思考：平均数以外还需要新的统计量新知探究探究点1:离差平方和乙命中环数乙命中环数比较上面的两幅图可以看出，两组数据都分布在平均数9附近，但甲的射击成绩分布更集中，更接近平均数9,比较稳定；乙的成绩波动比甲大，也可以说，乙的成绩相对于平均数离散程度比较大.x甲=9(环)x甲=9(环)x乙=9(环)00运动员①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩甲79999999乙7878甲与平均000101000乙与平均111111把这些离差相加，得到什么?正负抵消，和为0,无法衡量整体波动.如何避免正负抵消?运动员①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩甲79999999乙7878甲离差的2000101000乙离差的1211121111绝对值相加，在计算时不太方便.还有没有更好的方法呢?离差的平方.2.新知概括统计学中，将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和(sumofsquares设n个数据x₁,X₂,…,xn的平均数为x□,那么,这组数据的离差平方和为：离差平方和反映的是一组数据与其平均数之间的总的偏差程度.计算甲、乙两组数据的离差平方和.结合散点图，你有什么发现?sz²=1²+(-2)²+1²+(-1)²+1²+(-2)²+1²乙的离差平方和更大，说明乙的波动更大.若两组数据的个数不同，能用离差平方和比较它们的离散程度吗?探究点2:方差某超市A种产品连续10天的销量如图①,B种产品连续15天的销量如图②,试比较这两组数据的离散程度.不能，数据多的离差平方和自然可能更大.为了比较两组数据的离散程度，在统计中，一般采用离差平方和的平均数代替这组数据的总偏差，即用一组数据x₁,X₂,…,xn与它们的平均数x□的差的平方和的平均数来描述这组数据的离散程度，并把S²叫作这组数据的方差(variance).方差实际上反映了各个数据与平均数之间的平均偏差程度.方差是刻画数据的离散程度的常用统计量.运动员①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩甲79999999乙7878由s甲²<sz²知，虽然甲、乙两位选手的平均成绩相同，但甲的射击成绩离散程度小，甲的射击水平比较稳定，所以建议选甲参加正式比赛.我们也可以用计算器计算甲、乙两个人射击成绩的方差：1.打开计算器开关键.2.按下计算器菜单设置按钮，选择进入统计模式，后选择单变量统计.3.输入甲组第1个数据后按等号键确认，注意输入的数值对应的频数默认值均为1.4.重复3的操作，直到输完甲组所有数据.5.按下选择键，选择单变量计算，此时计算器显示0.6,即为甲组数据的方差.6.计算乙组数据.仿照甲组数据的操作方式重复步骤3、4和5,计算器显示1.6,即为乙组数据的方差.最高气温/℃2日3日4日6日8日9日10日该地这两年中，哪一年3月上旬的日最高气温比较稳定?为什么?+(16-17.2)²+(11-17.2)²+(13-17.2)²+(21-17.一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，稳定性越差；方差越小，说明这组数据的离散程度越小，稳定性越好.【设计意图】通过“除以n”这一公平思想帮助学生体会方差的合理性，突破定义难点；再次回到原始射击情境完成闭环，验证新知价值。1.(1)已知一组数据8,10,12,9,11.求这组数据的平均数和方差.解：(1)平均数答：这组数据的平均数是10,方差是2.(2)已知一组数据1,3,2,5,x的平均数是4,求这组数据的方差.所以这组完整的数据是1,3,2,5,9.答：这组数据的方差是8.3.某种零件的标准直径为10mm,从甲、乙两台机床加工的这种零件中各抽取5件，对其直径进行检(1)分别求这两个样本的极差、方差；(2)估计哪一台机床加工的产品质量比较稳定.能力提升(1)不计算，说说A,B两地这一天气温的特点；(2)分别估算这一天A,B两地气温的平均数和方差，与你之前的看法一致吗?(2)A地气温的平均值约为18℃,方差约为8,B地气温的平均值约为21℃,方差约为15.与之前的【设计意图】先“单题—双题—综合题”循序渐进，帮助学生熟练掌握方差的计算方法，并能用方差比较波动大小。课堂小结散程度(1)方差意义：方差越大→数据偏离平均数越远→波动越大(不稳定)方差越小→数据偏离平均数越近→波动越小(稳定)比较两组数据的稳定性的步骤：求平均数→算方差→做出决策.板书设计4.4数据的离散程度(1)探究点1:离差平方和副板书学生练习板演作业布置教学反思教学反思4.4数据的离散程度(2)教学设计本节选自苏科版九年级上册第四章“数据的集中趋势和离散程度”4.4《数据的离散程度(2)》。般步骤与应用决策。感受到“同类聚集、异类分开”能降低数据总体离散程度。通过把n个数据按顺序两分，分别计算两组平均数x₁,x₂与离差平方和SS₁,SS₂,再以SS₁+SS₂评价分组优劣，形成“使SS组最小”的最优分组准则。知识价值体现在：①数学上，SS组是方差分解思想的雏形；②应用上，可服务于价格分档、运动训练分层、工人技能培训等决策。教学重点是SS组的计算与最小化思想；难点是“平均数必须取本组数概念生发逻辑并落实实践价值。教学目标与解析·给出n≤10的原始数据，能列举全部2-分方案。接受“分组可降低离散度”的观点。易学点：①SS公式与平方运算；②排序、枚举等操作。难点：①每组平均数需“分而治之”重新计算，易误用总体均值；②手算多组SS量大，易忽视最小值比较；③把抽象结果还原到真实情境，完成决策说明。教学中需通过表格工具、分层计算演示和情境回归，帮助学生突破难点，形成完整的统计思维链。 教学过程设计新课导入知识回顾设n个数据x₁,X₂,…,xn平均数为x口，那么,这组数据的离差离差平方和反映的是一组数据与其平均数之间的总的偏差程度情景引入超市为什么要把商品分区域摆放?图书馆为什么按学科分类?——分类能帮助我们更快地理解和处理信息.新知探究从散点图中，你能观察到这些数据大致聚集在几个不同的区域?花瓣宽度/cm品种1、品种2、品种3的数据分别聚集在不同的区域，也就是说—数据自然而然地形成了三个“组”.1.若现在只有一列鸢尾花的测量数据，没法绘制散点图.如何合理地给这些数据分组?分组的标准是解：把接近的数据分为一组.2.哪一个统计量可以描述整组数据的接近程度?解：离差平方和3.整组数据的离差平方和偏大还是分成小组后离差平方和偏大?解：整组数据比较分散，分为小组后，各组内的数据比较集中，所以整组数据的离差平方和偏大，分成小组后的离差平方和偏小.2.获取新知一般地，有n个数据x₁,x₂,…,x,如果把这些数据分为两组，前m个数据为第一组，后(n-m)个数据为第二组，记xa为x₁,X₂,…,x的平均数，xb为xm+1,xm+2,…,x,的平均数，那么这些数据分组后各组的离差平方和为：第一组的离差平方和asa²=(x₁一xa)²+(x₂—xa)²+.….+(xm—xa)²,第二组的离差平方和Sb²=(xm+1一xb)²+(xm+2-xb)²+...+(x,—xb)²,sa²+sp²称为组内离差平方和.研究表明，当Sa²+s₆²达到最小时，分组较合理，可以将“组内离差平方和达到最小”作为数据的分组标3.例题讲解例2在学校“国宝·文化”主题体验日活动中，某班级计划把6种不同进价的传统文创分成两组，对同组文创采取相同的定价，以方便在义卖中销售.品种折扇请按进价的组内离差平方和最小的标准将这6种文创分成两组.解：先将6个数据按从小到大的顺序排列：5.5,6.5,7.5,8.0,9.0,9.5.然后，将这些数据依次分为两组，共有五种情况，计算各组离差平方和，可以得到下面的结果：根据上表，将排序后的前2个数据分为一组、后4个数据分为另一组，可以使组内离差平方和达到最小值.依据数据对应的文创，分组方案为{书签、剪纸}{香包、毛笔、折扇、木梳}.4.尝试交流选择最优分组方案的一般步骤是什么?1.排序：将原始数据按从小到大的顺序排列；2.确定分组方案：列举所有可能的分组情况(二分式);3.计算各组内离差平方和：对每一种分法，分别算两组平均数→分别算两组离差平方和→相加得到本组内总和；4.汇总比较：对比结果，找到最小值对应的分组；帮助形成可迁移的方法模型。巩固练习1.某篮球兴趣小组有6名组员，他们一分钟定点投篮的平均投中个数如下表.现要把这些组员根据平均投中个数的多少分成两组开展训练，请给出合理的分组方案，并说明理由.①②③④⑤⑥873453训.请给出合理的分组方案，并说明理由.工作效率/(个/天)解：先将6个数据按从小到大的顺序排列：91,96,98,99,101,105(对应序号：05、01、04、06、小值.