2025-2026学年湖南师大附中高二上学期10月月考数学试题（学生版+解析版）

2025-2026学年湖南师大附中高二上学期10月月考时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.若m//α,n//a,则m//nB.若m//α,m⊥n,则n⊥aA.aBC.-2a5.圆C:x²+y²-2x-4y+4=0与圆C₂:(x-1)²+(y+2)²=9的位置关系为()6.已知实数x,y满足,且x∈[-2,-1]u(-1,3C.(-∞0,-1)0[3,+∞)可以为().A.7B.6C.8A.2-√2B.√3-√2二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点A(2,3),B(4,-5)到直线l的距离相等，且I过点P(1,2),则1的方程可能是()A.x+4y-6=0B.4x+y-6=0C.2x+3y-7=010.已知函数f(x)=sin(ox+φ)(a>0,ø<π)的部分图象如图所示，则()D.将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),D.若平面ABCD上的动点M满足,则点M的轨迹三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为8√3且b=6,求△ABC的周长.(1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率.率.(1)证明：平面PBC⊥平面PAC;(2)若BC=2,CD=3,PA=AB=4,P,A,B,C在同一个球面上，球心为0.(1)求证：(3)求函数f(x)的最小值(用k表示).2025-2026学年湖南师大附中高二上学期10月月考时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于()【解析】所以在复平面内对应的点为(4,-2),位于第四象限.【解析】因为2a=4,c=3,所以b²=c²-a²=9-4=5,A.若m//α,n//α,则m//nB.若m//α,m⊥n,则n⊥aC.若a//β,m⊥a,n//β,则m⊥nD.若m//n,nca,则m//a【解析】【详解】对于A,若m//α,n//a,则m//n或m与n相交或m与n异面，故A错误；对于C,若a//β,m⊥a,则m⊥β,又n//β,∴m⊥n,故C正确；对于D,若m//n,nca,则m//a或mca,故D错误.4.已知ā,6是夹角为120°的两个单位向量，则向量a-36在向量a上的投影向量为()【解析】【解析】【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据|00|=R+r得到答案.(x-1)²+(y+2)²=9,,圆心为6.已知实数x,y满足,且x∈[-2则的取值范围为().则C.[-∞,-1]0[3,+∞)D.[-1,3]【解析】可知M(x,y)在线段AB(除点外)上移动，且A(-2,-I),B(3,0),可以为(.A.7B.6【解析】设P(x,y),则(-4-x)(2-x)+(3-y)(-5-y)=0,即(x+1)²+(y+1)²=25,最小值为√(4+1)²+(11+1)²-5=13-5=8·A.2-√2B.√3-√2【解析】,,二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点A(2,3),B(4,-5)到直线l的距离相等，且1过点P(1,2),则1的方程可能是()A.x+4y-6=0B.4x+y-6=0C.2x+3y-7=0【解析】由A(2,3),B(4,-5)可知中点坐标为(3,-1),当直线l经过AB的中点和点P(1,2)10.已知函数f(x)=sin(ox+φ)(⑥>0,φ|<π)的部分图象如图所示，则()D.将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)【解析】所以f(x)=sin(2x+φ),因为φ<π,所以将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来D.若平面ABCD上的动点M满足,则点M的轨迹是椭圆【解析】则AC=(-1,1,-1),AD₁=(-1,0,1),设AP=λAC=(-2,2,-z),0则D₁P=(1-2,2,-λ),AP=(-2,2,1-2),三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【解析】【答案】【解析】所以所求体积14.某校举办“数学文化节”,其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”.规则如下：每次挑战由n名同学同时参与(n≥2),每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势.若所有人出的手势完全相同(如全为石头),或三种手势均同时出现，则视为平局.否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负.已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为【答案】【解析】【分析】先根据题意求出一次挑战中出现平局的不同种类数；再根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】假设在一次挑战中n名同学只能从“石头”“剪刀”这两种手势中选择，则每个人都有两种选择；在一次挑战n名同学独立选择手势的不同种类数共有：2";在一次挑战n名同学相同手势种类数共有：2;由题意可得：每个人都有三种选择.在一次挑战中n名同学只出现两种手势的不同种类数共有3×(2"-2).所以一次挑战中出现平局的不同种类数共有3“-3×(2(1)求角B的大小；【小问1详解】【小问2详解】(1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率.(2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率.【答案】(1)【分析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解；(2)先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解.【小问1详解】设A=“甲答对3道题目”,A₂=“甲答对2道题目”B₁=“乙答对3道题目”,B₂=“乙答对2道题目”,根据独立事件的性质，可得，设A为“甲、乙两人共答对5道题目”,则A=(AB₂)U(A₂B),因为A₁B₂与A₂B₁互斥，A与B₂,A₂与B₁分别相互独立，所以甲、乙两人共答对5道题目的概率【小问2详解】C=“甲通过面试”,D=“乙通过面试”,C与D相互独立，P(E)=P(CDUCD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+率.【解析】【小问1详解】,解得a=2,b=1,c=√3,【小问2详解】(2)若BC=2,CD=3,PA=AB=4,P,A,B,C在同一个球面上，球心为0.因为PA1平面ABCD,BCc平面ABCD,所以PA⊥BC,案.【小问1详解】略【小问2详解】由(1)知BC⊥平面PAC,PCc平面PAC,故BC⊥PC,则所以,解得(1)求证：(3)求函数f(x)的最小值(用k表示).所以,得证.【解析】(3)令1=sin²x,则h(t)=r'+(1-k),t∈[0,1],利用定义法，结合题意给的公式讨论函数h(1)