人教版数学八年级下册 第20章 勾股定理（章节复习检测提高卷） 试卷 含答案

2025-2026学年人教版数学八年级下册章节复习闯关自测卷（新教材）第20章勾股定理●能力提升检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.42班级：姓名：学号：一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（

）A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，3，2 D．2，2，22．如图，数轴上的点A表示的数是−1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（

）A．2.8 B．22 C．22−13．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（

）A．B． C． D．4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC=20尺，BC=5尺，设AC为x尺，则下列方程正确的是（）A．x+20−x2=C．x2+220−x5．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，BC=10cm．现将△ABC沿AC方向平移3cm得到△A'B'C'，边A'B'A．10cm B．13cm C．15cm6．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）一个底面周长为10cm，高为12cm的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（

）cm．A．13 B．15 C．261 7．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB=200米，则点P到直线AB距离PC的长为（

）A．1003米 B．300米 C．200米 8．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=8，点D在线段BC上，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F，过点B作BE∥CF交AD于点E，连接BF．若AD=52，则A．425 B．2852 C．9．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，CE⊥BD于点E，连接AE．若AC=4，BC=3，AB=5，则A．43 B．56 C．6510．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，E是高AD上任意一点，F是腰AB上任意一点．如果BD=3，AD=4，那么线段BE+EF的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．3二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（25-26八年级下·全国·课后作业）手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知AB=4，AD=3，BC=13，CD=12，且∠BAD=90°．若连接BD，则∠BDC的度数为______．12．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知∠ABC=90°，AB=3，

13．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB=4.6m，当人从门外走到离该传感器5m范围内（含5m）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高1.6m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则BD14．（25-26九年级上·北京昌平·月考）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，AD∥BC且∠ADB=45°，满足关系ODOB=13，若A15．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是△ABC内一点，OA=6，OB=42，OC=10，O′为△ABC外一点，且△CBO≌△ABO′16．（25-26八年级下·全国·月考）某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘点B离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘点A与点C之间的距离AC为24cm．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时（点D为点B的对应点），顶部边缘点D离桌面的高度为DE，此时底部边缘点A与点E之间的距离AE为15cm，则此时电脑顶部边缘上升的高度为17．（2024·湖北武汉·三模）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，CE=CF．若AD=2，18．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，△ABC是等边三角形，边长为6，BD是AC边上的高，E，P分别为边AB，BD上的一动点，则AP+PE的最小值为___________．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，已知△ABC，BC=6，AC=8，点E是△ABC外一点，DE⊥AB，DE=7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积．20．（本题6分）（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，A,B两村庄相距3km，C为供气站，AC=2.4km，方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村（即管道总长为AC+BC）；方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点D，先从C铺设管道到点D处，再从点D处分别向A、B两村铺设管道（即管道总长为AB+CD）．(1)△ABC是直角三角形吗？为什么？(2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由．21．（本题8分）（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用一：最短路径问题如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为3πcm，那么最短的路线长是(2)应用二：解决实际问题如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.522．（本题8分）（20-21七年级下·安徽·月考）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形ABC中（如右图），∠ACB=90°．两条直角边分别为AC，BC，斜边为AB．则AC(1)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，AC=5cm，求(2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的4×4的网格中，每个小格的顶点叫做格点．①在图中，利用勾股定理求线段AB的长度．②在图中，画一条格点线段CD，使CD=5．23．（本题8分）（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的34，它们离开海监局航行半小时后分别位于Q,R(1)请问“远方”号沿哪个方向航行？(2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？24．（本题8分）（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=12dm，AB=5dm，两轮中心的距离BC=13dm(1)判断支架AB与AC的位置关系，并说明理由．(2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=5dm，AE=3dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到25．（本题10分）（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+a−b2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=0.8千米，HB=0.4千米，求新路CH(3)已知△ABC中，AB=15，AC=13，AD为BC边上的高，且AD=12，请直接写出△ABC的面积．26．（本题10分）（23-24八年级上·江苏·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC，∠ACB=120°，CA=CB，点D是底边AB上一点．【探索研究】(1)如图1，若AC=6，AD=23，连接CD，求CD(2)如图2，若AC=6，连接CD，将△ACD沿CD所在直线翻折得到△ECD，点A的对应点为点E．若DE所在的直线与△ABC的一边垂直，求AD的长；(3)如图3，将△ACD沿CD所在直线翻折得到△ECD，边CE与边AB交于点F，且DE∥BC，再将△DFE沿DE所在直线翻折得到△DFG，点E的对应点为点G，DG与CE、BC分别交于H，K，若KH=1，请直接写出

2025-2026学年人教版数学八年级下册章节复习闯关自测卷（新教材）第20章勾股定理●能力提升检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.42一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（

）A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，3，2 D．2，2，2【答案】D【思路引导】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形．【规范解答】A.∵62+8∴62B.∵82+15∴82C.∵12+√3∴12D.∵22+2∴222．如图，数轴上的点A表示的数是−1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（

）A．2.8 B．22 C．22−1【答案】C【思路引导】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出AC的长度，再根据圆的半径相等得到AD的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点D表示的数．【规范解答】解：∵数轴上点A表示的数是−1，点B表示的数是1，∴AB=1−(−1)=2；∵CB⊥AB于点B，BC=2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°由勾股定理得：AC=A∴AD=AC=22∴点D表示的数为22故选：C．3．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（

）A．B． C． D．【答案】B【思路引导】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案．【规范解答】解：A、72+24∴图中只有一个直角三角形，不符合题意；B、72+24∴图中有两个直角三角形，符合题意；C、72+20∴图中没有直角三角形，不符合题意；D、72+15∴图中没有直角三角形，不符合题意；故选：B．4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC=20尺，BC=5尺，设AC为x尺，则下列方程正确的是（）A．x+20−x2=C．x2+220−x【答案】D【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，设AC为x尺，则AB=20−x【规范解答】解：设AC为x尺，则AB=20−xBC则52即x2故选：D．5．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，BC=10cm．现将△ABC沿AC方向平移3cm得到△A'B'C'，边A'B'A．10cm B．13cm C．15cm【答案】C【思路引导】本题考查图形的平移，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键．首先根据勾股定理求出AC的长度，根据角平分线和线段平行的性质，可证出BD=A'D，故△【规范解答】解：∵∠A=90°，AB=6cm，BC=10∴AC=BC∵△A'B∴AB∥A∴∠ABA又∵A'B为∴∠ABA∴∠B∴BD=A∴△A'DC∵BC=10cm，A∴其周长为BC+A故选C．6．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）一个底面周长为10cm，高为12cm的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（

）cm．A．13 B．15 C．261 【答案】A【思路引导】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果．【规范解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得BC=12cm，AC=10÷2=5在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=即小虫爬的最短路径长为13cm7．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB=200米，则点P到直线AB距离PC的长为（

）A．1003米 B．300米 C．200米 【答案】A【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．由题意得∠PAB=90°−60°=30°，∠PBC=90°−30°=60°，从而可得PB=AB=200米，然后通过含30度角的直角三角形的性质得BC=1【规范解答】解：由题意得，∠PAB=90°−60°=30°，∠PBC=90°−30°=60°，∴∠APB=∠PBC−∠PAB=60°−30°=30°，∴∠PAB=∠P，∴PB=AB=200米，在Rt△BCP中，∠PBC=60°∴∠BPC=30°，∴BC=1∴PC=P∴点P到直线AB距离PC为1003故选：A．8．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=8，点D在线段BC上，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F，过点B作BE∥CF交AD于点E，连接BF．若AD=52，则A．425 B．2852 C．【答案】A【思路引导】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点A作AG⊥BC于点G，先利用勾股定理可得BC=82，利用三角形的面积公式可得AG=42，再利用勾股定理可得CG,GD的长，则可得CD的长，然后利用【规范解答】解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，∵在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=90°，∴BC=A∵S△ABC∴AG=AB⋅AC∴在Rt△ACG中，CG=∵AD=52∴在Rt△ADG中，GD=∴CD=CG−GD=2∵CF⊥AD，AG⊥BC，∴S△ACD∴CF=CD⋅AG故选：A．9．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，CE⊥BD于点E，连接AE．若AC=4，BC=3，AB=5，则A．43 B．56 C．65【答案】C【思路引导】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，勾股定理等，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质定理得DF=DC，利用三角形面积法计算出CD=32，CE=355，再利用勾股定理计算出DE【规范解答】解：如下图所示，过点D作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DC⊥BC，∴DF=DC，∵S△ABC∴12即12∴CD=3∴AD=AC−CD=5在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=∵S△BCD∴CE=BC⋅CD∴DE=C∴S△CDE设点E到AC的距离为h，则S△CDE=1∴S△ACE∴S△ACE故选：C．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，E是高AD上任意一点，F是腰AB上任意一点．如果BD=3，AD=4，那么线段BE+EF的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．3【答案】C【思路引导】依据题意，作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE＋EF的值最小，最小值就是线段BH的长．【规范解答】解：如图，作点F关于AD的对称点F′，连接EF′，作BH⊥AC∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=3，直线AD是等腰三角形ABC的对称轴，∴点F′在AC∴BE+EF=BE+EF根据垂线段最短可知，当点B，E，F′共线，且点F′与点H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段在Rt△ACD中，AC=∵1∴BH=BC⋅AD∴BE+EF的最小值为4.8．故选：C.【考点剖析】本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（25-26八年级下·全国·课后作业）手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知AB=4，AD=3，BC=13，CD=12，且∠BAD=90°．若连接BD，则∠BDC的度数为______．【答案】90°/90度【思路引导】首先根据勾股定理得出BD的长，再利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形即可．【规范解答】解：∵∠BAD=90°,AB=4,AD=3,∴BD=A∵BC=13,CD=12,∴CD∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°．12．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知∠ABC=90°，AB=3，

【答案】3.5【思路引导】本题考查了勾股定理．丙部分的面积是52=25，甲部分的面积是32【规范解答】解：∵∠ABC=90°，∴丙部分的面积是52=25，甲部分的面积是∵水面刚好经过丙的中心O，∴丙中有水部分的面积为丙整个正方形面积的一半，即丙中有水部分的面积为252∴乙中有水部分的面积为25−9−12.5=3.5，故答案为：3.5．13．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB=4.6m，当人从门外走到离该传感器5m范围内（含5m）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高1.6m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则BD【答案】4【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过点C作CQ⊥AB于点Q，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．【规范解答】解：如图，过点C作CQ⊥AB于点Q，∴∠CQP=90°，BQ=CD=1.6∴PQ=PB−QB=4.6−1.6=3m∴在Rt△CPQ中，CQ=∴BD=CQ=4m故答案为：4．14．（25-26九年级上·北京昌平·月考）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，AD∥BC且∠ADB=45°，满足关系ODOB=13，若A【答案】1【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是正确运用勾股定理建立方程求解．由题意可得△ADO为等腰直角三角形，设AO=DO=x，则OB=3x，然后在Rt△AOB【规范解答】解：∵AC⊥BD，∠ADB=45°，∴△ADO为等腰直角三角形，AO=DO，设AO=DO=x，∵ODOB∴OB=3x，∵AC⊥BD，∴AO∴x2解得x=1（舍负），∴OD=1，故答案为：1．15．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是△ABC内一点，OA=6，OB=42，OC=10，O′为△ABC外一点，且△CBO≌△ABO′【答案】40【思路引导】连接OO′，由全等三角形性质可得OB=O′B=42，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，通过勾股定理得O′O=8，在【规范解答】解：连接OO∵△CBO≌△ABO∴OB=O′B=42，∴∠OBC+∠OBA=∠O∴∠O在Rt△O′∴O′∴O′在△AOO′中，OA=6，O′∴OA∴∠AOO∴S=1=24+16，=40．16．（25-26八年级下·全国·月考）某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘点B离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘点A与点C之间的距离AC为24cm．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时（点D为点B的对应点），顶部边缘点D离桌面的高度为DE，此时底部边缘点A与点E之间的距离AE为15cm，则此时电脑顶部边缘上升的高度为【答案】13【思路引导】本题考查了勾股定理的应用知识点，掌握勾股定理在直角三角形中的计算方法是解题的关键．先在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长度，再根据AD=AB，在Rt△ADE中用勾股定理求出DE的长度，最后用DE减去【规范解答】解：在Rt△ABC∵AB2=AC∴A∴AB=∵点D为点B的对应点，所以笔记本电脑的屏幕长度不变，即AD=AB∴AD=25在Rt△ADE∵AD2=AE∴25∴625=225+D∴D∴DE=此时电脑顶部边缘上升的高度为：∵DE−BC=20−7=13cm故答案为：13．17．（2024·湖北武汉·三模）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，CE=CF．若AD=2，【答案】5【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．连接CD，作CG⊥CD，截取CG=CD，连接GF，作CH⊥AB，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求得CD的长，再证明△ECD≌△FCGSAS，推出DE=GF，得到当G、F、D共线时，DE+DF【规范解答】解：连接CD，作CG⊥CD，截取CG=CD，连接GF，作CH⊥AB，垂足为H，∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=2，∴CH=1∴HD=HB−BD=3∴CG=CD=1∵∠ECD=90°−∠DCB=∠FCG，CG=CD，CE=CF，∴△ECD≌△FCGSAS∴DE=GF，∴当G、F、D共线时，DE+DF取得最小值，最小值为DE+DF=FG+DF=DG，∴DG=C即DE+DF的最小值是5．故答案为：5．18．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，△ABC是等边三角形，边长为6，BD是AC边上的高，E，P分别为边AB，BD上的一动点，则AP+PE的最小值为___________．【答案】3【思路引导】如图，连接CE、PC，根据等边三角形的性质得AB=BC=AC=6，∠ACB=60°，根据等腰三角形三线合一性质推出BD垂直平分AC，得AP=CP，AP+PE=CP+PE≥CE，继而推出当CE⊥AB且点C、P、E共线时，AP+PE取得最小值，最小值为CE的长，再根据等腰三角形三线合一性质及勾股定理可得答案．【规范解答】解：如图，连接CE、PC，∵△ABC是等边三角形，边长为6，E，P分别为边AB，BD上的一动点，∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°，∵BD是AC边上的高，∴BD是AC边上的中线，∴BD垂直平分AC，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE≥CE，当CE⊥AB且点C、P、E共线时，AP+PE取得最小值，最小值为CE的长，∵AB=BC=AC=6，∴AE=12AB=3在Rt△ACE中，CE=∴AP+PE的最小值为33故答案为：33【考点剖析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短等知识点，确定AP+PE的最小值为垂线段CE的长是解题的关键．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，已知△ABC，BC=6，AC=8，点E是△ABC外一点，DE⊥AB，DE=7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积．【答案】24【思路引导】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出△ABC是直角三角形．根据三角形面积求出AB，推出AC、BC的平方和等于AB的平方，求出∠C=90°，根据三角形面积公式求出即可．【规范解答】∵DE=7,△ABE的面积为35，∴∴AB=10∵BC=6,AC=8∴A∴∠C=90°∴20．（本题6分）（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，A,B两村庄相距3km，C为供气站，AC=2.4km，方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村（即管道总长为AC+BC）；方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点D，先从C铺设管道到点D处，再从点D处分别向A、B两村铺设管道（即管道总长为AB+CD）．(1)△ABC是直角三角形吗？为什么？(2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由．【答案】(1)△ABC是直角三角形．理由见解析(2)方案一所修的管道较短，理由见解析【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算．（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面积求出CD，得出AC+BC<CD+AB，即可得出结果．【规范解答】（1）解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵AC2+B∴AC∴△ABC是直角三角形；（2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下：∵△ABC的面积=1∴CD=AC⋅BC∴AC+BC=2.4+1.8=4.2，CD+AB=1.44+3=4.44，∵4.44>4.2∴方案一所铺设的管道较短．21．（本题8分）（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用一：最短路径问题如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为3πcm，那么最短的路线长是(2)应用二：解决实际问题如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5【答案】(1)5(2)5【思路引导】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键．（1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案；（2）由题意可得AC=AB，DE=CF=1.5m，CD=EF=2m，BE=0.5m，设AC=xm，得到【规范解答】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示：∵一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为3π∴AC=12×2在Rt△ABC中，AB=即最短的路线长是5cm，故答案为：5；（2）解：由题意可得AC=AB，DE=CF=1.5m，CD=EF=2m，∴BD=DE−BE=1.5−0.5=1m设AC=xm则AD=AB−DB=x−1在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=x−1m，AC=x则由勾股定理可得AD即x−12解得x=5故绳索AC的长为5222．（本题8分）（20-21七年级下·安徽·月考）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形ABC中（如右图），∠ACB=90°．两条直角边分别为AC，BC，斜边为AB．则AC(1)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，AC=5cm，求(2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的4×4的网格中，每个小格的顶点叫做格点．①在图中，利用勾股定理求线段AB的长度．②在图中，画一条格点线段CD，使CD=5．【答案】(1)BC=12cm(2)①AB=10【思路引导】该题考查了勾股定理．（1）利用勾股定理，求解即可．（2）①利用勾股定理求解即可．②利用数形结合的思想解决问题即可．【规范解答】（1）解：因为AC所以52所以BC因为BC>0，所以BC=12cm（2）解：①AB2=②如图2中，线段CD=323．（本题8分）（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的34，它们离开海监局航行半小时后分别位于Q,R(1)请问“远方”号沿哪个方向航行？(2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行(2)25海里【思路引导】（1）根据题意，得出△PRQ的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出△PRQ是直角三角形，再求解即可；（2）根据勾股定理解答即可．【规范解答】（1）解：由题知，PQ=16×12=8海里，PR=16×34∵PQ∴PQ∴△PRQ是直角三角形，且∠RPQ=90°，∴∠2=∠RPQ−∠1=90°−45°=45°，即“远方”号沿东南方向航行．（2）解：根据题意得：PM=8+16×1=24海里，PG=6+1=7海里，在Rt△PMG中，∠RPQ=90°∴MG=P即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里．24．（本题8分）（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=12dm，AB=5dm，两轮中心的距离BC=13dm(1)判断支架AB与AC的位置关系，并说明理由．(2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=5dm，AE=3dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到【答案】(1)AB⊥AC,理由见解析(2)约为9.6 dm【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理及面积法的综合应用，解题的关键是利用勾股定理的逆定理判定垂直关系，并结合几何图形的性质，通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题．（1）利用勾股定理的逆定理，验证AB2+AC2（2）作AN⊥BC，结合勾股定理求DE、面积法求AN，最后加上轮半径得到D到地面的距离DE+AN+r．【规范解答】（1）解：AB⊥AC，理由如下：∵AB=5 dm，AC=12 dm，∴AB∵BC∴AB∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°．∴AB⊥AC．（2）解：过点A作AN⊥BC于点N，在Rt△ADE中，AD=5 dm，∴DE=由△ABC面积相等得：1∴AN=AB⋅AC∵滚轮半径r=1 dm∴左边缘D到地面的距离=DE+AN+r=4+60答：购物车上篮子的左边缘D到地面的距离约为9.6 dm25．（本题10分）（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+a−b2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=0.8千米，HB=0.4千米，求新路CH(3)已知△ABC中，AB=15，AC=13，AD为BC边上的高，且AD=12，请直接写出△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)新路CH比原路CA少0.2千米(3)24或84【思路引导】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键．（1）根据梯形的面积的表示方法计算即可；（2）设AH=x千米，则AB=AH+HB=x+0.4（3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解．【规范解答】（1）解：梯形的面积为a+b×a+b2∴a+b2∴a+b2∵左边：a+b2∴a2（2）解：∵CH⊥AB，CH=0.8千米，HB=0.4千米，AB=AC，∴设AH=x千米，∴AB=AH+HB=x+0.4在Rt△ACH中，A∴x+0.42解得，x=0.6，∴AH=0.6千米，AB=AC=x+0.4=0.6+0.4=1千米，∴1−0.8=0.2千米，∴新路CH比原路CA少0.2千米；（3）解：如图所示，∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，BD=在Rt△ACD中，CD=∴BC=9+5=14，∴S△ABC如图所示，A