不可压缩理想流体的无旋运动课件

不可壓縮理想流體的無旋運動1Chapter6Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid§6-1

IntroductionIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid

Inthischapterirrotationalflowinplaneofimpressibleideal-fluidisstudied,velocityfieldofirrotationalflowcanbeobtainedthroughthreeapproachbycalculatingvelocitypotential,streamfunctionandcombiningpotential.2第六章不可壓縮理想流體的無旋運動§6-1

引言不可壓縮理想流體的無旋運動

本章主要研究不可壓縮理想流體平面無旋運動，平面無旋運動的速度場可通過計算速度勢、流函數及複勢這三條途徑來確定。3§6-2Dynamicanalysisofliquidmicelle

Knownfromtheorymechanics,inrigidbodytherearetwomotionforms：movingandrotation；butdifferentinliquidmotions.Duetodifferentvelocityofeachpointofliquidmicelleinflowfield,butneedkeepitscontinuityaswell,sobesidesmovingandrotationinliquidmicelle,stillhasdeformmotions.Infollowingthreemotionformsofliquidmicelleareanalyzed.

Figure6—1isplanemotionofliquidmicelle.SupposingliquidmicelleisrectangleABCDatt,Through,itchangesintonewpositionanddeformsto ,againsupposingattvelocityofanglepointAis,spreadingduetoThalerprogression,obtainingvelocityofpointBandCIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid4§6-2

流體微團運動分析

由理論力學可知，剛體有平移和旋轉兩種運動形式，而流體運動則不同。由於流體微團在流場中各點的速度不同，但又要保持流體本身的連續性，因此流體微團除有平移和旋轉運動外，還有變形運動。下麵將分析流體微團的三種運動形式。不可壓縮理想流體的無旋運動

如圖6—1所示的平面運動中的流體微團。設在

t時刻流體微團為矩形ABCD，經過時段後它移動到新的位置並變形為，又設

t

時刻角點A的速度為，根據泰勒級數展開，得B、C點的速度分別為5Figure6-1AnalysisonplanemotionofliquidmicelleIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid6不可壓縮理想流體的無旋運動圖6—1分析流體微團的平面運動7

Velocityofeachpointconcludes,knownfromfigure6—1,istranslatingvelocity.

（1）LineardeformationTakingABasexample.DuetovelocityofanglepointBisfasterthananglepointAalongdirectionx(orslower),sothrough,protractionofsideABalongx(orcondense)is.Lineardeformationofunitlengthinunittimecalledlineardeformationvelocity,andwritten，then1、Translatingmotion2、Deformationmotion（6—1）similarlyIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid8

各點的速度中均包含有，由圖6—1可見，是平移速度。

（1）線變形以AB為例。因為角點B沿x

方向的速度比角點A快（或慢），所以經過時段後，AB邊在x

方向的伸長（或縮短）量為。單位時間單位長度的線變形稱為線變形速度，並記為，則1、平移運動2、變形運動（6—1）同理不可壓縮理想流體的無旋運動9

Takinghalfangulardeformationvelocityinplanedefinedassheardeformationvelocityofliquidmicelle,writtenasknownfromfigure6-1,anglechangingofpointAis

Accordingtodefinitionofsheardeformationvelocityonliquidmicelle,obtaining（6—2）andthatso（1）（2）（2）SheardeformationIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid10

將平面上角變形速度之半定義為流體微團的剪切變形速度，記為由圖6-1可知，A點的角度變化為根據流體微團剪切變形速度的定義得（6—2）而所以（1）（2）不可壓縮理想流體的無旋運動（2）剪切變形11

Takingaveragevalueofrotationalangularvelocityontwostraight-lineinliquidmicelledefinedasrotationalangularvelocityofliquidmicelle,writtenas,,supposingstraight-linerotationalangularvelocityalongcounter-clockwiseispositive,thenfromformula(1)(2),rotationalangularofsideABinunittimeis,rotationalangularofsideACinunittimeis,accordingtodefinitionofrotationalangularvelocityonliquidmicelle,obtaining

Ifallliquidmicelletranslatingordeformingmotionwhenliquidflowing,norotating,viz.,thencalledthisflowisirrotationalflow(potentialflow).

（6—3）3、RotationDefinition：

Ifhasrotationinliquidmicelle,viz.atleastoneisnot0ofthree,thencalledrotationalmotion(vortexmotion).Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid12

將流體微團上兩條直線旋轉角速度的平均值定義為流體微團的旋轉角速度，記為，假設直線逆時針方向旋轉的角速度為正，則由（1）（2）式可知，單位時間內AB邊的旋轉角度為，單位時間內AC邊的旋轉角度為，根據流體微團旋轉角速度的定義得

如果流體流動時所有流體微團僅作平移和變形運動，沒有旋轉運動，即，則稱該流動為無旋流動（勢流）。（6—3）不可壓縮理想流體的無旋運動3、旋轉運動

定義：

若流體微團有旋轉運動，即三者中至少有一個不等於零，則稱為有旋流動（有渦運動）。13§6-3Velocitypotentialofirrotationalflow

Irrotationalflowmotion,inright-anglecoordinatemusthave（6—4）

formula(6—4)issufficientandnecessaryconditionofcertainpotentialfunctionincompletedifferential,wheretisparametervariable,obtainingIlluminatingnorotatingmusthavepotential.Andthatso

（6—5）Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid14§6-3

無旋流動的速度勢

無旋運動，在直角坐標中必有（6—4）

式（6—4）是為某一勢函數的全微分的充分必需條件，其中t為參變數，必有又因說明無旋必有勢故

（6—5）不可壓縮理想流體的無旋運動15Columncoordinate（6—6）Sphericalcoordinate（6—7）Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid16圓柱坐標系（6—6）球坐標系（6—7）不可壓縮理想流體的無旋運動17

Characterofflowvelocitypotentialfunction:

where—unitvectorofthisdirection;—anglebetweenandgrads;—velocitycomponentparalleltodirectionproving（6—8）1、directionderivativeofrandomdirectionisequaltocomponentvelocityofthisdirection,viz.Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid18證

流速勢函數的性質：

（6—8）其中—該方向的單位向量；—

與梯度的夾角；—速度在方向的分量。不可壓縮理想流體的無旋運動1、對於任意方向的方向導數等於該方向的分速，即19

Curvedareawithconstantpotentialfunctionofflowvelocityisequipotentialarea.Initsarealineinitcalledequipotentialline.

Sowhere—velocityvector；—infinitesimalarcvectorinequipotentialsurface.2、Equipotentiallinesperpendicularwithstreamlinesdefinition：explaining：velocityuandds

is

perpendicular.Equipotentiallineis

crossflow

sectionline.

onefamilystreamlineandequipotentiallineconstituteperpendicularflownet.Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid20

流速勢函數等於常數的曲面積為等勢面。在其面上位於等勢面上的線稱為等勢線。

所以式中—速度向量；—等勢面上微元弧向量。不可壓縮理想流體的無旋運動2、等勢線與流線正交

定義：說明：速度u與ds正交。等勢線既是過流斷面線。一族流線與等勢線構成相互正交的流網。213、Potentialfunctionofflowvelocityincreasingalongstreamlines

direction

soFromcharacter1,obtainingvelocityparalleltostreamlinedirectionVelocityparalleltodirectionstreamline，so,showingthatdirectionofvalueincreasingparalleltodirections.Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid223、流速勢函數沿流線s方向增大。

從而得不可壓縮理想流體的無旋運動由性質1得沿流線方向的速度為

沿流線方向速度，所以，即說明值增大的方向與s

方向相同。234、Potentialfunctionofflowvelocityisharmonicfunction

Substitutingcontinuousequationofimcompressibleliquidinto,obtainingsoor（6—9）（6—10)

aboveformulashowingthatpotentialfunctionsofflowvelocitysatisfyLaplaceequation,inmathfunctionthatsatisfyLaplaceequationcalledharmonicfunction,sopotentialfunctionofflowvelocityisharmonicfunction.PotentialflowinpaneIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid244、流速勢函數是調和函數

代入不可壓縮流體的連續方程中得從而得或者（6—9）（6—10)

上式說明流速勢函數滿足拉普拉斯方程式，在數學上稱滿足拉普拉斯方程式的函數為調和函數，所以流速勢函數是調和函數。不可壓縮理想流體的無旋運動平面勢流中25§6-4Streamfunctionofplaneflow一、Definitionandconfirmationofstreamfunction

（6—11）Viz.

itmakebecomesufficientandnecessaryconditionofcertainfunction,thenso（6—12）Forimcompressibleliquidofplaneflow,itscontinuousequationisIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid26§6-4平面流動的流函數一、流函數的定義及其確定

（6—11）即

它是使成為某一函數的全微分的充要條件，則有故（6—12）不可壓縮理想流體的無旋運動對於不可壓縮流體的平面流動，其連續方程式為27

calledstreamfunctionofimcompressibleliquidofplaneflow.Provinganalogously,inpolarcoordinate（6—13）

Duetoconditionofstreamfunctionexistingisthatflowsatisfycontinuousfunctionofimcompressibleliquid,andthattoanyflow,continuousfunctionismustbesatisfied,soinanyplaneflowmusthavestreamfunction.Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid28

就稱為不可壓縮流體平面流動的流函數。類似地可證，在極座標中（6—13）

因為流函數存在的條件是要求流動滿足不可壓縮流體的連續方程式，而連續方程式是任何流動都必須滿足的，所以說任何平面流動中一定存在著一個流函數。不可壓縮理想流體的無旋運動29二、Basiccharacterofstreamfunction

proving：seeingaboutdischargeofanycurveAB(directionzisunitlength).(figure6—2)todischargethroughinfinitesimalvectorThendischargethroughanyjoinlinebetweenpointAandB.（6—14）Figure6—2relationofstreamfunctionanddischargeDuetoViz.isstreamlineequation.1、Uniformflowfunctionlineisstreamline2、Dischargethroughtwostreamlineisequalwithdifferenceofflowfunction.Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid30二、流函數的基本性質因為即為流線方程。

證：考察通過任意一條曲線AB（

z方向為單位長度）的流量。（圖6—2）對於通過微元向量的流量則通過AB兩點的任意連線AB的流量（6—14）圖6—2流函數與流量的關係不可壓縮理想流體的無旋運動1、等流函數線為流線2、兩條流線間通過的流量等於兩條流線的流函數之差。313、Uniformstreamfunctionline(streamline)perpendicularwithequipotentialline

showinggradientofstreamfunctioncorrectitudejoinwithgradsofvelocitypotential(viz.velocity),souniformflowfunctionline(streamline)whichnormaltothemperpendicularwithequipotentialline.[example6—1]Streamfunctionofimcompressibleflowfield

（1）flowingisrotationalorirrotational

？（2）ifisirrotational,findingvelocitypotentialofflowing

[solution](1)DuetoSoisirrotationalflowbecauseIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid323、等流函數線（流線）與等勢線正交

說明流函數的梯度與速度勢的梯度（即速度）正交，故分別與它們垂直的等流函數線（即流線）與等勢線正交。

[例題6—1]不可壓縮流體流場的流函數（1）流動是無旋還是有旋？（2）若無旋，確定流動的速度勢。

[解]（1）因故是無旋流。不可壓縮理想流體的無旋運動

這是因為334、InplaneirrotationalflowStreamfunctionsatisfiedLaplaceequation,isharmonicequation.Proving：planeirrotationalflowneedsatisfythenbecauseSubstituteintoaboveformula，Relationbetweenplaneirrotationalflowfunctionandpotentialfunctionofflowvelocity：Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid34不可壓縮理想流體的無旋運動4、在平面無旋流動中流函數滿足拉普拉斯方程，是調和函數。證：平面無旋流動需滿足則因為代入上式，平面無旋流動的流函數和流速勢函數之間的關係式為：35inmathematicanalysis,thisrelationcalledCauchy-limancondition,twoharmonicfunctionthatsatisfythisconditioncalledconjugatedharmonicfunction,knownoneofthemcanobtaintheother.Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid36不可壓縮理想流體的無旋運動

在數學分析中，這個關係式稱為柯西—黎曼條件，滿足這個條件的兩個調和函數稱共軛調和函數，已知其中一個函數就可以求出另一個函數。37（2）soIntegratingAndthenthenIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid38故（2）積分於是則不可壓縮理想流體的無旋運動39§6-5Fundamentalpotentialflowinplane一、paralleluniformvelocityflowstreamlineequationorAfterintegrating（6—15）Theyareparallelstraight-lineswithslope,shownasfigure6-3figure6—3paralleluniformvelocityflow

Supposingliquidflowingwithuniformvelocityatparallelline,magnitudeanddirectionofvelocityofanypointinflowfield,thatisbotharefixedvalue.Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid40§6-5基本平面勢流一、平行等速流

流線方程或積分後得（6—15）它是一組斜率為平等直線，如圖6—3所示

圖6—3平行等速流不可壓縮理想流體的無旋運動

設液體作平行直線等速流動，流場中各點速度的大小和方向均相同，即均為定值。41Andthen,velocitypotentialAndthatstreamfunctionDuetobecause（6—16）（6—17）Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid42而流函數為由於於是，速度勢為又（6—16）（6—17）不可壓縮理想流體的無旋運動43Liquidoutflowsfromcertainradialcalledsource,asshowninfigure6-4(a).Liquidinflowsfromcertainradialcalledconverge,asshowninfigure6—4(b).Supposingthicknessofwaterlayeris1alongradiusr,dischargeofsource(converge)isQ，thentherefore（a）（b）figure6-4sourceandconverge二、Sourceandconvergedefinition：Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid44

流體從某一點徑向流出稱為源，如圖6—4（a）所示。流體從某一點徑向流入稱為匯，如圖6—4（b）所示。設半徑r方向水層的厚度為1，源（匯）的流量為Q，則由此（a）（b）圖6—4源與匯不可壓縮理想流體的無旋運動二、源流匯

定義：45

Duetosourceandconvergeonlyflowalongradial,socomponentvelocityalongcircumference.Inpolarcoordinate,fromformula（6—6）Integratingandobtaining（6—18）Fromformula（6—13）Integratingandobtainingwhereisintegratingconstantabout,fromabovetwoshouldbeequal,thenIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid46

由於源匯只有徑向流動，所以圓周方向的速度分量。在極座標中，由式（6—6）積分得（6—18）由式（6—13）

積分得不可壓縮理想流體的無旋運動

式中分別是關於的積分常數，根據上面兩個應該相等，得47whereisintegratingconstantabout,fromtwoshouldbeequal,obtaining（6—19）so

Assumingdischargeofoutflowispositive,thensourceget“”,convergeget“-”.Equipotentiallineofsourceandconvergearegroupofconcentriccircles.Irrotationalflowofimpressibleideal-fluid48不可壓縮理想流體的無旋運動

式中分別是關於的積分常數，由兩個應該相等，得（6—19）故

假定流出流量為正，則源流取“”號，匯流取“-”號。源匯流的等勢線為一組同心圓。49thereforeFromformula(6-6)（6—20）Integratingandobtaining

Nowwestudycircumferencemotionofliquid,thatisonlyhavevelocityalongcircumference,andthatvelocityatradiusdirection .shownasfigure6—5,anddefinelinearintegratingofvelocityintangentialofcircumferenceasvelocityloopquantity,thatis三、PotentialvortexflowIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid50

現在我們來研究流體的圓周運動，即只有圓周方向速度，而徑向速度。如圖6—5所示，並且定義速度在圓周切線上的線積分為速度環量，即不可壓縮理想流體的無旋運動三、勢渦流所以由式（6—6）（6—20）積分得51thereforeIntegratingandobtaining（6—21）EquipotentiallinesareonefamilyradialsFigure6—4（a）potentialvortexflowIrrotationalflowofimpressibleideal-fluid52不可壓縮理想流體的無旋運動由此得積分得（6—21）等勢線是一族射線。圖6—4（a）勢渦流53

IftakingsourcethatinpointandintensityisQcombinedwithconvergethatinpointBandwithuniformintension.(figure6-5）makingarevelocitypotentialandstreamfunctionofsourceandconverge,thenaftercombining,velocitypotentialofcertainpoint（6—22）streamfunction（6—23）四、Combiningofsourceandconvergefigure6—5sourceandconverge

Irrotationalflowofim