人教版数学七年级下册 10.3实际问题与二元一次方程组（第3课时 铁路运输问题） 教案

10.3实际问题与二元一次方程组（第3课时：铁路运输问题）（教学设计）1.教学内容本课时是人教新版七年级下册第十章《二元一次方程组》10.3实际问题与二元一次方程组第3课时：铁路运输问题.本节课主要内容包括：以“铁路运输问题”为载体，面对信息量大、数量关系复杂的实际问题，学会借助表格分析问题中的数量关系；根据问题中给出的公路运费、铁路运费等条件，寻找等量关系，列出二元一次方程组；体会间接设未知数的策略，即先求出产品数量和原料数量，再解决最终问题；进一步巩固列二元一次方程组解应用题的一般步骤和方法.内容解析本节课是第十章“二元一次方程组”应用部分的最后一课，是在学生已经掌握了列方程组解应用题的一般步骤和方法（探究1、探究2）的基础上进行的综合提升.从知识体系看，本节课实现了从简单应用到复杂应用的跨越，是对方程组建模思想的综合运用和深化.从思想方法层面看，本节课具有以下特点：①信息量大——涉及原料、产品、公路运费、铁路运费、销售款、原料费等多个量，需要学生具备信息筛选和处理能力；②列表法——教材引入表格工具，帮助学生清晰梳理众多数量之间的关系，体现数学的条理性；③间接设元——最终问题不能直接设未知数求解，需要先求出产品数量和原料数量，再代入计算，这是间接设元策略的典型应用.基于以上分析，本节课的教学重点为借助列表分析问题中的数量关系，列二元一次方程组解决复杂实际问题.教学目标（1）能够借助表格分析复杂实际问题中的数量关系，找出相等关系，列出二元一次方程组；理解间接设未知数的策略，能根据方程组的结果解决最终问题.(2)经历从复杂实际问题中提取信息、列表分析、列方程组求解的完整过程，体会数学建模思想；通过表格工具的运用，培养信息整理和分析能力.(3)在解决复杂问题的过程中，培养耐心细致的学习品质和克服困难的信心；感受数学在实际生产生活中的广泛应用，增强学习数学的兴趣.2.目标解析（1）强调分析复杂问题能力的培养.与探究1、探究2相比，本节课的信息量更大，关系更复杂，需要学生学会借助表格这一工具来辅助分析，并能够根据问题的特点选择适当的设元策略.(2)侧重于思维方法的培养.表格是处理复杂信息的有效工具，通过列表可以将抽象的文字语言转化为直观的数量关系，这是数学学习中重要的方法策略.（3）通过解决具有现实背景的复杂问题，让学生体会数学的应用价值，增强学习数学的信心.学生通过探究1和探究2的学习，已经掌握了列二元一次方程组解应用题的一般步骤和方法，具备了一定的建模能力和分析问题的经验.但在本节课的学习中，学生可能遇到以下困难：①信息筛选困难：题目中涉及原料、产品、公路运费、铁路运费、销售款、原料费等多个量，信息量大，学生不知从何入手.②列表分析能力不足：如何设计表格、如何将文字信息转化为表格数据，对部分学生来说存在困难.③间接设元意识薄弱：学生习惯于直接设所求量为未知数，而本题需要先设产品数量和原料数量，再计算销售款与原料费、运输费的差额，这种间接设元的策略需要引导.④等量关系寻找困难：题目中隐含的等量关系（两次运输的公路运费之和、铁路运费之和）需要仔细分析才能发现.教学中应注重引导学生通过小组讨论、表格填写等方式逐步理清数量关系，在教师引导下突破难点.基于以上分析，确定本节课的教学难点是教学难点为理解间接设未知数的策略，正确列出表格并寻找等量关系.创设情景，引入新课问题引入如图，丝路纺织厂与A，B两地有公路、铁路相连。这家纺织厂从A地购进一批长路相连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长棉的价格）与运输费的和多多少元？引导思考：追问1：题目要求什么？销售款比原料费与运输费的和多多少元.追问2：销售款、原料费分别与什么有关？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关.追问3：要解决这个问题，我们需要先知道什么？需要知道产品有多少吨，原料有多少吨.（设计意图：从实际问题引入，引导学生分析最终问题与中间量之间的关系，初步感知间接设元的必要性。）探究点1列表分析——梳理数量关系问题：题目中涉及哪些量？它们之间有什么关系？小组讨论：学生分组讨论，尝试列出已知量和未知量.师生共同列表：教师引导学生完成表格：项目产品x吨原料y吨合计公路运费(元)1.5×20x1.5×10y15000铁路运费(元)1.2×110x1.2×120y97200追问1：20、10、110、120这些数据是怎么来的？引导学生观察图中标注的公路、铁路里程追问2：公路运费合计15000元，可以列出什么方程？1.5(20x+10y)=15000追问3：铁路运费合计97200元，可以列出什么方程？1.2(110x+120y)=97200(设计意图：通过列表的方式，将复杂的信息条理化、清晰化，帮助学生建立分析复杂问题的框架。表格的使用体现了数学的条理性，加深对建模过程的认识。)探究点2列方程组求解列方程组：根据表格中的等量关系，列出方程组解方程组先化简方程，再选择适当的方法求解.学生独立化简.方程①可化为：30x+15y=15000→2x+y=1000方程②可化为：132x+144y=97200→11x+12y=8100解方程组解得(设计意图：通过化简计算，让学生巩固方程组的解法，同时体会从复杂方程到标准形式的转化过程。）探究点3求出结果追问1：通过计算销售款是多少？8000×300=2400000（元）追问2：通过计算原料费是多少？1000×400=400000（元）追问3：通过计算运输费是多少？15000+97200=112200（元）追问4：通过计算差额是多少？2400000−(400000+112200)=1887800（元）追问5：怎样作答？答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.归纳总结：用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义.(设计意图：回归问题本身，让学生体会间接设元策略的完整过程——先求出中间量，再代入计算最终结果）典型例题例1.某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒.工厂仓库内现存有正方形纸板200张，长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒.已知制作一个竖式无盖纸盒需要4张正方形纸板和1张长方形纸板，制作一个横式无盖纸盒需要3张正方形纸板和2张长方形纸板。问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？【分析】等量关系：正方形纸板用量=200，长方形纸板用量=400.【详解】解：设竖式无盖纸盒做x个，横式无盖纸盒做y个，根据题意列方程组：解得：答：竖式无盖纸盒做40个，横式无盖纸盒做80个恰好将库存纸板用完.（设计意图：通过纸盒问题的练习，巩固列表分析数量关系的方法，同时让学生体会不同类型实际问题的建模过程。）例2.甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练，如果他保持上坡的速度为30km/h，平路的速度为40km/h，下坡的速度为50km/h，那么他从甲地骑到乙地需54min，从乙地骑到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少千米？【分析】设甲地到乙地上坡路的路程为x千米，平路的路程为y千米.从甲到乙：上坡xkm，平路ykm→从乙到甲：下坡xkm（原上坡变下坡），平路ykm→【详解】解:设甲地到乙地上坡路的路程为x千米，平路的路程为y千米。根据题意列方程组解得所以全程31千米.答：甲地到乙地全程是31千米例3.某地的高峰电价为每千瓦时0.56元，低谷电价为每千瓦时0.28元.八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？小组合作：学生分组讨论，列出方程组求解。规范解答：设高峰用电量x千瓦时，低谷用电量y千瓦时。根据题意列方程组，得解得答：高峰用电量50千瓦时，低谷用电量75千瓦时.（设计意图：通过贴近生活的实际问题，让学生体会数学的应用价值，同时培养合作交流能力.)课本课堂练习1、2.参考答案：1.设1辆大货车一次可以运货xt,1辆小货车一次可以运货yt.根据题意，列得方程组解得所以3x+5y=24.5.2.设他们购买的往返票和单程票分别为张，у张.根据题意，列得方程组解得．（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）1.根据以下素材，探索完成任务．如何设计板材裁切方案？素材1图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．

素材2因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）我是板材裁切师任务一拟定裁切方案若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张．方法二：裁切靠背______张和坐垫______张．方法三：裁切靠背______张和坐垫______张．任务二确定搭配数量若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？任务三解决实际问题现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据题意得：，，，为非负整数，，或，或，方法二：裁切靠背8张和坐垫3张；方法三：裁切靠背0张和坐垫6张；故答案为：8，3；0，6；任务二：（张），该工厂购进110张该型号板材，能制作成480张学生椅；任务三：设用其中张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张，根据题意得，，解得，∵（张），∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张（方法不唯一）．（设计意图：强化二元一次方程组的解决实际问题）1．（2025•江西）某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=出酒量糟醅量类别原材料出酒率粮食酒粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水）30%芋头酒芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）20%如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为14【解答】解：（1）设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅，根据题意得：30%x解得：x=40答：第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅；（2）设需要准备m公斤大米，根据题意得：（m÷14）×30%×80%＝（40+40×2）×解得：m＝37.5．答：需要准备37.5公斤大米．2.（2025•台湾）某民调公司访问A市的成年民众对于某项政策的态度，并依年龄分成3组．因受访者的年龄分布与全体成年人口的年龄分布有落差，于是利用「调整倍率」让调整后的结果更接近全体的民意，如表所示．组别人口占比调查比率调整倍率调整前调整后赞成反对赞成反对18～39岁组40%20%28%12%16%24%40～59岁组40%40%……………60岁以上组20%40%……………总计100%100%/56%44%49%51%其中，人口占比=调查比率=调整倍率=调整前赞成（反对）的比率=调整后赞成（反对）的比率＝该组调整前赞成（反对）的比率×调整倍率如表中，全体成年人口有40%为18～39岁组，但受访者中只有20%为18～39岁组，算出调整倍率为2．因此，分别将赞成与反对的比率8%、12%乘以2，变成16%、24%．整体结果调整前为赞成大于反对，调整后却变成反对大于赞成．请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：（1）计算60岁以上组的调整倍率为何？（2）求40∼59岁组与60岁以上组的调整前赞成比率分别为何？【解答】解：（1）由题意可得60岁以上组的调整倍率=20%（2）如表格：组别人口占比调查比率调整倍率调整前调整后赞成反对赞成反对18～39岁组40%20%28%12%16%24%40～59岁组40%40%1xyxy60岁以上组20%40%12ab1212总计100%100%/56%44%49%51%设40∼59岁组调整前赞成比率为x，60岁以上组的调整前赞成比率为a，由表格可知40∼59岁组的调整倍率=40%40%=1，60∴40∼59岁组调整后赞成比率为x，60岁以上组的调整后赞成比率为12a依据题意可列方程组为：8%+x解得x=18%答：40∼59岁组调整前赞成比率为18%，60岁以上组的调整前赞成比率为30%．（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生