2027届福建省部分市县九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2027届福建省部分市县九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．2．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．3．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（）A．-1 B．-3 C．3 D．64．在中，，若已知，则（）A． B． C． D．5．如图，中，，顶点，分别在反比例函数（）与（）的图象上.则下列等式成立的是（）A． B． C． D．6．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（）A．2 B． C． D．7．下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A．水中捞月 B．拔苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖8．若抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为（）A．2 B．1 C．-0.5 D．0.59．关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣7＝0的一个根是﹣2，则m的值可以是（）A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或110．如图，为的直径，，为上的两点.若，，则的度数是（）A． B． C． D．11．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（）A．4 B．3 C．2 D．112．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2这六个数中，任取两个数，恰好和为﹣1的概率为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是___________．14．如图，已知⊙P的半径为4，圆心P在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上运动，当⊙P与x轴相切时，则圆心P的坐标为_____．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为BC上一点，AD=BD，CD=1，AC=，则∠B的度数为_________________．16．如图，中，，，，__________．17．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字0，1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机摸出一个小球（不放回），设该小球上的数字为m，再从盒子中摸出一个小球，设该小球上的数字为n，点P的坐标为，则点P落在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）的概率是________.18．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，恰好能与△ACP′完全重合，如果AP=8，则PP′的长度为___________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙．请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．20．（8分）请用学过的方法研究一类新函数（为常数，）的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象；（2）对于函数，当自变量的值增大时，函数值怎样变化？21．（8分）如图，Rt△FHG中，H=90°，FH∥x轴，，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），点D为二次函数图像的顶点.（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图像上，求点G的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y=mx+m与函数y1、y2的图像对称轴右侧曲线分别交于点P、Q.且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由.22．（10分）“渝黔高速铁路”即将在2017年底通车，通车后，重庆到贵阳、广州等地的时间将大大缩短.9月初，铁路局组织甲、乙两种列车在该铁路上进行试验运行，现两种列车同时从重庆出发，以各自速度匀速向A地行驶，乙列车到达A地后停止，甲列车到达A地停留20分钟后，再按原路以另一速度匀速返回重庆，已知两种列车分别距A地的路程y(km)与时间x(h)之间的函数图象如图所示.当乙列车到达A地时，则甲列车距离重庆_____km.23．（10分）根据要求画出下列立体图形的视图．24．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c过点A(﹣1，0)，B(3，0)和点C(4，5)．(1)求该二次函数的表达式及最小值．(2)点P(m，n)是该二次函数图象上一点．①当m=﹣4时，求n的值；②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．25．（12分）（如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图2，抛物线l3：与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐标为；（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，写出a1与a2的关系式，并说明理由．26．青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如图所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC=50米，若灰太狼以5米/秒的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果保留根号）

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】由抛物线开口向上且对称轴为直线x＝3知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．【详解】∵二次函数中a＝1＞0，∴抛物线开口向上，有最小值．∵x＝−＝3，∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，∵由二次函数图象的对称性可知4−3＜3−＜3−1，∴．故选：D．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．2、D【解析】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=1．A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选D．点睛：此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．3、C【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求解即可．【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，

∴，

解得：．故选：C．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4、B【分析】根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解．【详解】解：在中，，∵，设BC=3x，则AC=4x，根据勾股定理可得：，∴.故选：B.本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．5、C【解析】【分析】过A作AF垂直x轴，过B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F，E，得出，可得出，再根据反比例函数的性质得出两个三角形的面积，继而得出两个三角形的相似比，再逐项判断即可．【详解】解：过A作AF垂直x轴，过B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F，E，由题意可得出，继而可得出顶点，分别在反比例函数（）与（）的图象上∴∴∴∴A.，此选项错误，B.，此选项错误；C.，此选项正确；D.，此选项错误；故选：C．本题考查的知识点是反比例函数的性质以及解直角三角形，解此题的关键是利用反比例函数的性质求出两个三角形的相似比．6、B【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，宽BC＝ycm，

∴AD=BC=ycm，

由折叠的性质得：AE=AB=x，

∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，

∴，即，

∴x2=2y2，

∴x=y，

∴．

故选：B．本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．7、D【分析】必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断【详解】解：A选项，不可能事件；B选项，不可能事件；C选项，随机事件；D选项，必然事件；故选：D本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是本题的关键8、D【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴方程得到，然后求出a即可．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2，∴，∴；故选：D．本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．9、C【分析】先把x＝﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7＝0得4﹣2m+m2﹣7＝0，然后解关于m的方程即可．【详解】解：把x＝﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7＝0得4﹣2m+m2﹣7＝0，解得m＝﹣1或1．故选：C．本题主要考察一元一次方程的解及根与系数的关系，解题关键是熟练掌握计算法则.10、B【分析】先连接OC，根据三条边都相等可证明△OCB是等边三角形，再利用圆周角定理即可求出角度.【详解】解：如图，连接OC．∵AB=2，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=∠COB=30°.故选：B．本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质等知识，作半径是圆中常用到的辅助线需熟练掌握.11、A【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=1．

故选A．本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．12、D【分析】画树状图展示所有15种等可能的结果数，找出恰好和为-1的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有15种等可能的结果数，其中恰好和为-1的结果数为3，所以任取两个数，恰好和为-1的概率＝．故选：D．本题考查的是概率的问题，能够用树状图解决简单概率问题是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据根的判别式可得方程有实数根则，然后列出不等式计算即可．【详解】根据题意得：解得：故答案为：本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程的根的情况确定与0的关系是关键．14、（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）【分析】根据已知⊙P的半径为4和⊙P与x轴相切得出P点的纵坐标，进而得出其横坐标，即可得出答案．【详解】解：当半径为4的⊙P与x轴相切时，此时P点纵坐标为4或﹣4，∴当y＝4时，4＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝1+2，x2＝1﹣2，∴此时P点坐标为：（1+2，4），（1﹣2，4），当y＝﹣4时，﹣4＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝x2＝1，∴此时P点坐标为：（1，﹣4）．综上所述：P点坐标为：（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）．故答案为：（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）．此题是二次函数综合和切线的性质的综合题，解答时通过数形结合以得到P点纵坐标是解题关键。15、30°．【分析】根据勾股定理求得AD，再根据三角函数值分析计算．【详解】∵∠C=90°，CD=1，AC=，∴，而AD=BD，∴BD=2，在Rt△ABC中，AC=，BC=BD+CD=3，∴tan∠B=，∴∠B=30°，故填：30°．本题考查勾股定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．16、18【分析】根据勾股定理和三角形面积公式得，再通过完全平方公式可得.【详解】因为中，，，，所以所以所以=64+36=100所以AB+BC=10所以AC+AB+BC=8+10=18故答案为：18考核知识点：勾股定理.灵活根据完全平方公式进行变形是关键.17、【分析】采用画树状图法写出的所有可能出现的结果，画出函数图像，并描出在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）点，再用符合题意的点的个数除以总个数，即可求出答案．【详解】如图，由树状图可知共有20种等可能结果，由坐标系可知，在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）的点有（0，0）、（1，3），（2，0）、（3，3），（3，0），（4，0），共6种结果，∴点在抛物线上的概率是=，故答案为：．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．18、【分析】通过旋转的性质可以得到，，，从而可以得到是等腰直角三角形，再根据勾股定理可以计算出的长度．【详解】解：根据旋转的性质得：，∴是等腰直角三角形，∴∴∴故答案为：．本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的应用，其中根据旋转的性质推断出是等腰直角三角形是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）作图见解析；（2）米.【分析】（1）连接AC，过D点作AC的平行线即可；（2）过M作MN⊥DE于N，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．【详解】(1)如图所示，线段MG和GE是旗杆在阳光下形成的影子．(2)过点M作MN⊥DE于点N.设旗杆的影子落在墙上的高度为xm，由题意得△DMN∽△ACB，∴.又∵AB＝1.6m，BC＝2.4m，DN＝DE－NE＝(15－x)m，MN＝EG＝16m，∴，解得x＝.答：旗杆的影子落在墙上的高度为m.本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形．20、解：（1）画图像见解析；（2）①k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小；②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．【分析】（1）分两种情况，当x>0时，，当x<0时，，进而即可画出函数图象；（2）分两种情况k＞0时，k＜0时，分别写出函数的增减性，即可．【详解】∵当x>0时，，当x<0时，，∴函数的图象，如图所示：（2）①∵k＞0时，函数的图象是在第一，二象限的双曲线，且关于y轴对称，∴k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小；②∵k＜0时，函数的图象是在第三，四象限的双曲线，且关于y轴对称，∴k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．综上所述：k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小；k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．本题主要考查用反比例函数的图象和性质研究新函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．21、（1）y=(x-1)2-4；（2）点G坐标为（3.6，2.76），S△FHG=6.348；（3）m=0.6，四边形CDPQ为平行四边形，理由见解析.【分析】（1）利用顶点式求解即可,（2）将G点代入函数解析式求出坐标,利用坐标的特点即可求出面积,（3）作出图象,延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得证明△AQR∽△PHQ,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，即可证明四边形CDPQ为平行四边形.【详解】（1）设二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由题可知该抛物线与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），∴y=a(x-1)2-4,代入E（0，），解得a=1,（）（2）设G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式，得，，解得a1=3.6，a2=-1（舍去），所以点G坐标为（3.6,2.76）.S△FHG=6.348（3）y=mx+m=m（x+1），当x=-1时，y=0，所以直线y=mx+m延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得，QR⊥x轴.因为FH∥x轴，所以∠QPH=∠QAR,因为∠PHQ=∠ARQ=90°，所以△AQR∽△PQH,所以=0.6,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，mn+m=0.6（n+1），m（n+1）=0.6（n+1），因为n+1≠0，所以m=0.6..因为y2=（x-1-m）2+0.6m-4,所以点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，过D作y轴的平行线,交x轴与K,再作CT⊥KD,交KD延长线与T,所以=0.6,所以tan∠KSD=tan∠QAR，所以∠KSD=∠QAR，所以AQ∥CS，即CD∥PQ.因为AQ∥CS，由抛物线平移的性质可得，CT=PH,DT=QH,所以PQ=CD，所以四边形CDPQ为平行四边形.本题考查了待定系数法求解二次函数解析式,二次函数的图象和性质,一次函数与二次函数的交点问题,相似三角形的判定和性质,综合性强,难度较大,掌握待定系数法是求解（1）的关键,求出G点坐标是求解（2）的关键,证明三角形的相似并理解题目中准黄金直角三角形的概念是求解（3）的关键.22、300【分析】先设乙列车的速度为，甲列车以的速度向地行驶，到达地停留20分钟后，以的速度返回重庆，依据题意列方程，求得未知数的值，进而得到重庆到地的路程，以及乙列车到达地的时间，最后得出当乙列车到达地时，甲列车距离重庆的路程.【详解】解：设乙列车的速度为，甲列车以的速度向地行驶，到达地停留20分钟后，以的速度返回重庆，则根据3小时后，乙列车距离A地的路程为240，而甲列车到达地，可得，①根据甲列车到达地停留20分钟后，再返回重庆并与乙列车相遇的时刻为4小时，可得，②根据甲列车往返两地的路程相等，可得，③由①②③，可得，，，∴重庆到地的路程为（），∴乙列车到达地的时间为（），∴当乙列车到达地时，甲列车距离重庆的路程为（），故答案为：300.本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合思想的运用，解决问题的关键是依据等量关系，列方程求解．23、答案见解析．【分析】根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，即可得到结果．【详解】解：如图所示：本题考查几何体的三视图，作图能力是学生必须具备的基本能力，因为此类问题在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大．24、(1)y=x2﹣2x﹣3，-4；(2)①1；②﹣4≤n≤1【分析】（1）根据题意，设出二次函数交点式，点C坐标代入求出a值，把二次函数化成顶点式即可得到最小值；（2）①m=-4，直接代入二次函数表达式，即可求出n的值；②由点P到y轴的距离不大于4，得出﹣4≤m≤4，结合二次函数图象可知，m=1时，n取最小值，m=-4时，n取最大值，代入二次函数的表达式计算即可．【详解】解：(1)根据题意，设二次函数表达式为，，点C代入，得，∴a=1，∴函数表达式为y=x2﹣2x﹣3，化为顶点式得：，∴x=1时，函数值最小y=-4，故答案为：；-4；(2)①当m=﹣4时，n=16+8﹣3=