有限单元法基础第2版 课件全套 严波 第0-14章 绪论、线性弹性和热传导基础-有限元模型降阶方法

有限单元法基础加权残值法和变分原理有限单元法的基本原理单元插值函数的构造单元映射和数值积分实体有限元分析杆件结构力学问题课程主要内容和基本要求主要内容板壳结构力学问题复合材料结构力学问题热传导和热应力问题动力学问题混合型有限元公式小变形非线性有限元基本原理有限元模型降阶熟练掌握有限单元法的概念、基本理论和方法，具备基本的编程能力和有限元结构分析软件的使用技能。能正确理解有限元解的收敛性和精度，分析判断计算结果的合理性和正确性，为利用有限元方法解决工程实际问题和从事科学研究打下坚实的基础。基本要求第0章绪论0.1微分方程的近似解法降低对近似函数的连续性要求，使数值近似计算更容易。基于弱式的公式通常是一组稳定性良好的离散系统方程，可以获得高精度的解。1）描述问题的微分方程——系统方程的强式形式理想：直接求得强式系统方程的精确解。困难：a）复杂工程问题难以获得精确解。b）数值求解时，近似函数要具有足够的连续性，且与微分方程具有同阶的可导性。有限差分法——一种典型的基于强式的数值近似方法。2）与微分方程等效的积分形式——弱式形式0.2有限元近似解法的基本思想离散化广义节点位移插值函数离散化方程求解系统方程变形图应力分布得到节点位移计算应力网格模型力学模型基本思想有限单元法的特性1）适应于复杂几何构形2）应用于各种物理问题各种大型复杂结构的分析。固体力学、流体力学、传热学、电磁场。3）理论基础可靠建立在严密的数学和力学（传热学、电磁学等）理论基础之上。4）适合于计算机实现的高效性便于计算机编程实现。0.3有限单元法及其软件发展概述1）起源20世纪40年代，有限元基本思想的出现20世纪60年代，出现新的力学分支学科－“计算力学”20世纪70年代，出现第一个商用软件NASTRAN（美国NASA）2）发展和现状新的单元类型和形式：适应于不同材料和结构新的理论和离散格式：扩展新的应用领域和条件新的方程数值求解方法：大规模和超大规模计算问题（并行算法）稳态问题：独立于时间的平衡问题特征值问题：固有频率和振型（模态分析），临界载荷和屈曲模态（稳定性）瞬态问题：波传播，动力响应非线性问题：材料线性（非线性弹性、塑性、粘弹塑性）；几何非线性（大变形）；边界条件非线性（接触和碰撞）3）计算机软件专用软件：20世纪50～60年代大型通用商业软件：始于20世纪70年代NASTRAN,ASKA,SAP,ANSYS,I-DEAS,MARC,ABAQUSJIFEX，SiPESC，PANDA，LiToSim，。。。国产软件：多重非线性（材料、几何、边界等）耦合分析方法多场（结构、流体、热、电、化学）耦合分析方法跨时间/空间尺度分析方法非确定性（随机/模糊）分析方法分析结果评估和自适应的分析方法5）有限元软件未来发展方向4）有限元方法未来发展方向新型材料本构模型和单元形式模拟复杂工况和极端条件下结构全寿命过程响应数智计算方法CEA软件正在融入机器学习、数据驱动、数字孪生和AI赋能的新功能。结构形式复杂化结构轻量化有限寿命设计材料和几何非线性材料科学、智能制造（3D打印）、AI技术、数据驱动、数字孪生中的应用。耦合和交叉强度、刚度、稳定性0.4数智时代有限单元法新的功能有限单元法功能的演变和扩展强度、刚度、稳定性结构优化设计超材料设计数据驱动/数字孪生复杂系统（交叉）重大装备和基础设施人工智能（机器人）智能材料和结构0.5有限单元法在工程和科学研究中的应用机械工程（汽车、摩托车）土木工程（建筑、地下工程、道路与交通、桥梁）材料加工（钢铁、微电子材料加工）航空航天、军事（穿甲、爆破）能源工程（石油勘探、开采、发电、电力输送）生物医学工程（骨、软组织、心脏瓣膜、血液流动）船舶工程（操纵性、稳定性、结构强度）水利工程（重力坝、拱坝、地下水电站）数据驱动、结构数字孪生、人工智能技术520t连铸机钢水罐回转台结构静动力有限元分析V0=2m/min超高压输电线路覆冰及脱冰动力响应有限元分析多功能人工气候室抗压强度及拉沙柳梧大桥有限元分析有轨电车碳纤维复合材料车体静强度有限元数值模拟异型坯连铸结晶器及铸坯热力耦合有限元数值模拟600MW某大型汽轮发电机端部模态有限元分析某皮卡车碰撞过程有限元数值模拟基于机器学习的输电杆塔结构强度实时预测基础滑坡覆冰导致杆塔破坏杆塔腐蚀基于北斗定位系统的输电杆塔强度实时监测系统FE计算时间：~10min代理模型计算时间：0.03s挂点1挂点2挂点3挂点4挂点5挂点6挂点7挂点8支点1支点2支点3支点4FE仿真预测模（代理模型）基于子结构模型降阶和数据驱动的输电杆塔损伤识别方法子结构模型降阶降阶模型库不同损伤模式…标定载荷结构变形数值计算测点数据构建数据集数据驱动机器学习损伤识别模型传感器数据结构损伤识别损伤位置可视化损伤指标

…传感器数据………………

物理结构和其数字孪生基于模型降阶和损伤回归识别的动态结构数据驱动数字孪生输电杆塔数字孪生随时间的演化D1和D2处的损伤演化D2附近传感器应变时程杆塔应变分布随时间的演化降阶模型自由度:4088430第1章弹性力学和热传导基础1.1引言弹性力学基础应力与平衡应变与位移的关系弹性本构关系弹性力学问题场方程初应变和初应力应变能与应变余能虚位移原理和最小势能原理热传导问题基本方程傅里叶定律热传导方程边界条件和初始条件平面问题场方程轴对称问题场方程坐标系间位移、应变和应力间的转换虚应力原理和最小余能原理1应力与平衡方程1.2弹性力学基础应力列向量平衡方程微分算子矩阵动力学平衡方程加速度速度材料的密度阻尼系数2应变与位移的关系体积应变位移列向量应变列向量几何方程3弹性本构关系各向同性弹性体的本构关系各向异性弹性材料Hooke定律线弹性本构关系矩阵表达式4弹性力学问题场方程平衡方程几何方程本构方程力边界条件位移边界条件弹性体的力和位移边界条件5平面问题场方程平面应力问题:平面应变问题：边界条件6轴对称问题场方程7坐标系间位移、应变和应力的变换坐标系变换位移、应变、应力变换三维坐标系之间的变换二维问题二维坐标系之间的变换8初应变和初应力皱缩、晶体生长或温度的变化都会导致初应变各向同性材料中温度的变化引起的初应变正交各向异性材料的材料主方向的热应变为到整体坐标系的转换线弹性材料本构关系9应变能和应变余能假设一弹性体在受力过程中始终保持平衡，无动能和非机械能的变化。则外力做的功转变为应变能。应变能是应力在应变上做的功。假设弹性体仅在x方向有均匀正应力相应的正应变单位体积内应变能，即应变能密度为应变能密度和应变余能密度定义定义应变余能密度线弹性体的应变能密度和应变余能密度数值相等，但它们的自变量不同，应变能是应变的函数，应变余能是应力的函数。扩展到一般应力状态整个弹性体的应变能和应变余能应力-应变关系非线性时，仍可按此定义应变能密度和应变余能密度，但两者不再相等。利用胡克定律可得应变能密度对应变分量求导，并利用本构关系可得弹性体的应变能密度对任一应变分量的改变率等于相应的应力分量。类似可得应变余能密度对应力分量求导，并利用本构关系可得弹性体的应变余能密度对任一应力分量的改变率等于相应的应变分量。假设一弹性体处于平衡状态，满足位移分量表示的平衡方程、位移和力的边界条件。假设这些位移分量发生了位移边界条件容许的微小位移，即虚位移或位移变分10虚位移原理和最小势能原理变形体中任意满足平衡方程的力系在任意满足协调条件的变形状态上所做的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力虚功相等，此即虚功原理。外力虚功对于线弹性体，虚位移产生的应变能内力虚功根据虚功原理，外力虚功和内力虚功相等虚功方程，虚位移原理定义外力势为外力在实际位移上做的功取负最小势能原理：在给定的外力作用下，真实的位移使系统的势能变分为零，取极限值。虚功方程具有初应力和初应变时弹性体的应变能假设一弹性体处于平衡状态，实际的应力分量σ满足平衡方程和应力边界条件，其相应的位移满足位移边界条件。假设应力分量发生了微小变化，即虚应力或应力变分11虚应力原理和最小余能原理代入平衡方程和应力边界条件真实的应力满足平衡方程和应力边界条件若变形体上作用一从0逐渐增大到F的力，该力作用点的变形产生从0变到a的位移，则该力所做的功为故为外力功的2倍。根据能量平衡原理，应变能等于外力功虚应力原理弹性体的总余能最小余能原理：在所有静力可能的应力中真实的应力使系统总的余能取最小值。1.3热传导问题基本方程1傅里叶（Fourier）定律稳态温度场温度场与时间无关稳态热传导瞬态温度场瞬态热传导温度场随时间变化温度梯度和热流示意图温度梯度Fourier热传导定律（本构方程）热流密度热传导矩阵2热传导方程六面微元体的热传导能量守恒输入微元体的热量内热源所产生的热量能量的变化瞬态热传导方程，连续性方程稳态热传导方程约定物体传出热量为正将Fourier热传导方程代入连续性方程用温度表达的瞬态热传导方程（各向同性材料）用温度表达的稳态热传导方程（各向同性材料）3平面问题热传导场方程用温度表达的热传导场方程热传导场方程稳态稳态瞬态瞬态4轴对称问题热传导场方程用温度表达的热传导场方程热传导场方程稳态稳态瞬态瞬态5边界条件给定温度边界给定热流密度边界物体和外界的换热边界热量输出物体为正热量输出物体为正热量输入物体为正热量输入物体为正1.3小结弹性力学问题场方程平衡方程几何方程本构方程（静力）（动力）力和位移边界条件最小势能原理虚功方程最小势能原理热传导问题场方程Fourier热传导定律连续性方程三类边界条件温度表达的各向同性热传导方程（稳态）（瞬态）（稳态）（瞬态）或或第2章加权残值法和变分原理2.1引言1强式和弱式形式降低对近似函数的连续性要求，使数值近似计算更容易。基于弱式的公式通常是一组稳定性良好的离散系统方程，可以获得高精度的解。1）描述问题的微分方程——系统方程的强式形式理想：直接求得强式系统方程的精确解。困难：a）复杂工程问题难以获得精确解。b）数值求解时，近似函数要具有足够的连续性，且与微分方程具有同阶的可导性。有限差分法——一种典型的基于强式的数值近似方法。2）与微分方程等效的积分形式——弱式形式1微分方程的等效积分形式1）工程中的场问题A、B：微分算子。域和边界（1）（2）m个未知函数：2.2微分方程的等效积分形式2）微分方程的等效积分形式对任意函数列向量等效等效＋=原场问题微分方程的等效积分形式例：二维热传导问题热传导场方程边界条件等效积分形式热传导场方程不可约形式边界条件构造近似函数时预先满足-强制边界条件通过等效积分形式引入-自然边界条件等效积分形式例：线弹性力学问题场方程边界条件等效积分形式弹性力学场方程不可约形式边界条件构造近似函数时预先满足-强制边界条件通过等效积分形式引入-自然边界条件不可约方程等效积分形式混合型等效积分形式选择近似函数容易直接满足的边界条件为强制边界条件3）等效积分形式可积的条件i）v

和单值且在V

内和S上可积分；ii）若A的最高阶导数为n，则u的n-1阶导数必须连续，即函数u具有Cn-1连续性。具有C0连续性的函数例如：u在x0点连续，其一阶导数不连续，但是有限的。若方程中的最高阶导数为二阶，这时若函数u在x0点连续，其一阶导数不连续，则其二阶导数为无穷大，因此这时就要求近似函数u的一阶导数在x0点连续，才能保证其二阶导数有限。2等效积分的“弱”形式（weakform）分部积分C、D、E、F：微分算子。降低了对u的连续性要求，提高了对——等效积分的“弱”形式。可得：例：的连续性要求。例子：二维稳态热传导问题选择T在边界上自动满足，即为强制满足的边界条件。等效积分形式：利用Green公式代入等效积分形式：不失一般性，在上选择上式可写成：讨论：（1）T不出现在的积分项中，给定热流边界条件自动满足，此即自然边界条件。（2）在上强制满足，上为零以简化“弱”形式方程：——等效积分弱形式强制边界条件。可选择v为温度的变分，其在（3）1基本原理近似求解方程的基本思路：假设有待定参数的近似函数，采用某种方法通过等效积分形式确定待定参数，得到问题的近似解。设：ai：待定参数，Ni：试探函数、基函数。代入微分方程和边界条件r,：残值（余量）

用n组规定的函数来代替任意函数v和2.3加权残值法ai为mⅹ1列向量；Ni

为mⅹm子矩阵近似的等效积分形式或即：通过选择待定参数，强迫残值在某种平均的意义上等于零。wj,：权函数。等效积分“弱”形式的近似形式

采用使残值（余量）的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法——加权残值（余量）法。权函数的不同选择，对应于不同的加权残值法。取权函数与试探函数于同一函数空间，且：对应于等效积分的弱形式为：采用Galerkin方法得到的求解方程的系数矩阵是对称的。在有限元格式时几乎毫无例外地采用Galerkin法。2伽辽金（Galerkin）法Galerkin法、配点法、子域法、加权最小二乘法和力矩法等例子：用Galerkin法求解二阶常微分方程边界条件：令其为强制边界条件解：设解的近似形式：满足强制边界条件（1）取一次近似（2）取二次近似精确解：近似解的误差小于0.5%。2.4变分原理和里兹法1变分概念变分和微分的几何意义假设y(x)描述的曲线附近有另一条函数曲线是一任意的无穷小量，称为自变函数y(x)的变分。函数y(x)的微分dy是指该函数的自变量x增加一个无穷小量dx，函数y(x)的微小增量变分的运算法则2

变分原理的定义针对一组微分方程组和边界条件，建立一标量：微分算子未知函数微分算子未知函数的泛函

若问题的解u使得泛函Π对于微小变化δu

取驻值，即泛函的变分为零：通过这一驻值条件可以求得微分方程的解，这种求解问题解答的方法称为变分原理或变分法。3微分方程变分原理的建立1）线性自伴随微分算子设微分方程若：线性微分方程组定义内积：伴随算子若自伴随微分算子在积分域V的边界上由及其导数组成的积分项

和例子：证明是自伴随微分算子证：自伴随微分算子2）泛函的构造问题：L：线性自伴随微分算子等效积分的Galerkin提法：自伴随性质线性微分代入原问题的等效积分的Galerkin提法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即泛函取驻值。原问题的泛函当函数u及其变分满足一定条件时和能够形成一个全变分由的任意性n个方程可以求解n个未知向量。4Ritz法已知泛函：假设近似解：驻值（极值）条件：若Π为二次式（二次泛函），则对称对称对称并非所有的微分方程表达的连续介质问题都存在这种变分原理。二次泛函可写成形式c为常数，常数的变分为零，可令c=0例子：用Ritz法求解二阶常微分方程边界条件：解：b=x代入边界条件（1）取：（试函数，满足边界条件）（2）设：边条：取：（精确解）与利用Galerkin加权残值法得到的近似解相同2.5弹性力学变分原理1场方程的等效积分弱形式虚位移原理平衡方程和力的边界条件的等效积分“弱”形式1）虚位移原理等效积分形式：等效积分“弱”形式内力虚功外力虚功（平衡方程）（力的边条）真实位移的变分，在位移边界上为零。0代入推导：Green公式（几何方程）（位移边条）等效积分形式：等效积分“弱”形式真实面力的变分，在力的边界上为零。2）虚应力原理虚应力原理几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式虚位移原理：由虚位移原理弹性体的应变能密度2最小势能原理真实的位移使系统的总势能取驻值。——

最小势能原理总势能证明：真实的位移使系统的势能取最小值。设近似值：令：近似位移场对应的应变能密度为对于稳定的平衡状态，应变能密度为正定函数，故上式右端积分项恒大于零。真实的位移使系统总的势能取最小值，此即最小势能原理。弹性体的最小势能原理是一种变分原理。余能真实的应力使系统的总余能最小。——

最小余能原理令：3最小余势能原理4近似解的上下界势能和余能之和应变能的2倍外力功的2倍假设位移边界上给定的位移外力功的2倍类似地由最小势能原理得到的近似解的弹性变形能小于真实解的变形能，近似位移场总体上偏小，结构偏刚硬。由最小余能原理得到的近似解的弹性余能大于真实解的余能，近似的应力解总体上偏大。2.6弹性动力学变分原理*

1达朗贝尔-拉格朗日原理弹性动力平衡方程（运动方程）运动方程和力边界条件的等效积分形式的Galerkin提法（静力学虚功原理）d'Alembert-Lagrange原理达朗贝尔原理没有涉及本构方程，所以其不仅适用于线弹性动力学问题，也适用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。无阻尼系统惯性力虚功粘性力虚功内力虚功外力虚功2哈密尔顿变分原理在时间间隔t1到t2之间对时间积分达朗贝尔原理对于真实运动，系统的动能变分和内力、外力和粘滞力的虚功之和在任意时间间隔内对时间的积分等于零。此即具有普遍意义的Hamilton原理。考虑弹性本构方程可得弹性系统的内力和外力功等于系统的势能的负值对于完整系统，上式中的积分运算和变分运算可以交换顺序令Hamilton作用量完整有势系统在任意时间间隔内满足几何关系和给定位移边界条件的所有可能运动中，真实运动使Hamilton作用量取驻值。-Hamilton原理。Hamilton原理仅适用于线弹性问题，而d'Alembert-Lagrange原理不仅适用于线弹性问题，也适用于非线弹性问题。2.7约束变分原理*约束变分原理：在泛函中引入附加条件，无附加条件的变分原理。1Lagrange法引入附加条件构造新的泛函独立坐标的函数，Lagrange乘子驻值条件：用约束变分原理可以推导得到无附加条件的求近似解的方程原问题的Euler方程附加条件构造近似函数系数矩阵主对角元存在零元素，方程不能用通常的直接法求解。由任意性可得例子：已知函数附加条件为求该函数z取驻值时的x和y值。解：（1）代入函数得驻值条件由附加条件可得代入函数可得该驻值为极小值（2）采用拉格朗日引入附加条件，将问题转化成求如下函数的无附加条件的驻值问题驻值条件（3）采用拉格朗日引入附加条件，将问题转化成求如下函数的无附加条件的驻值问题驻值条件驻值条件2罚函数法附加条件使取最小值。构造泛函：α

:罚函数，其取值越大，C(u)越接近于零。但太大可能使方程出现病态。梁弯曲问题：要求w为C1连续。为降低对w的连续性要求引入附加条件：构造泛函将w和θ

独立插值，利用罚函数法引入约束条件，使C1连续问题转化为C0问题。这一方法在梁、板、壳中得到应用和推广。变分的结果当方程退化为欲获得非零解，除非K2奇异。若K2非奇异，得到近似零解，称为自锁（locking）。例子：已知如下函数附加条件为用罚方法求该函数z取驻值时的x和y值。解：用罚函数法构造如下修正函数驻值条件2.8弹性力学广义变分原理*

1Hellinger-Reissner广义变分原理

该方程的等效积分形式作为权函数引入代入（1）（2）（1）和（2）等效于如下泛函的极值条件该泛函的极值条件为此时位移边界条件为强制边界条件若将位移边界条件也作为自然边界条件，可将泛函写成如下形式Hellinger-Reissner广义变分原理该原理将位移和应力视为独立变量，基于该变分原理可以构造以位移和应力为独立变量的混合型有限元方程。2胡－鹫广义变分原理本构方程几何方程虚功原理将位移边界条件视为强制边界条件，上式与如下泛函的极值条件等效将位移边界条件也作为自然边界条件胡－鹫广义变分原理该变分原理将位移、应变和应力视为独立变量。2.9热传导问题变分原理1自然变分原理稳态热传导场方程热传导方程和自然边界条件Galerkin提法强制边界条件自然边界条件利用Green公式0代入本构方程可以描述为如下泛函的驻值问题在满足温度边界条件的可能的温度场中，真实的温度场使泛函取极小值

热传导问题的变分原理2广义变分原理*利用Lagrange乘子法将温度边界条件引入泛函温度边界条件不再是强制边界条件，原泛函应包括由后两个边界积分可得边界热流的负值修正变分原理2.10小结弱式方法：求与原微分方程等效的积分方程的近似解加权残值法和变分原理加权残值法伽辽金（Galerkin）加权残值法求解假设近似解取权函数n组方程求待定参数a变分原理Ritz法针对一组微分方程组和边界条件，建立一标量：假设近似解n组方程求待定参数a解使泛函取驻值弹性力学问题变分原理最小势能原理最小余能原理近似解的上下界弹性动力学变分原理达朗贝尔-拉格朗日原理哈密尔顿变分原理适用于线性和非线性系统仅适用于线弹性系统无阻尼系统约束变分原理拉格朗日乘子法罚函数法无附加条件的驻值问题α为罚函数，其取值越大，C(u)越接近于零弹性力学广义变分原理Hellinger-Reissner广义变分原理胡-鹫广义变分原理热传导问题变分原理自然变分原理修正变分原理第3章有限单元法的基本原理1弹性力学问题3.1引言平面梁弯曲问题可以求解析解车门拉手弯曲问题难以获得解析解控制方程相同：平衡方程、几何方程、本构方程求解目标相同：确定边界条件下的解：位移、应变、应力解决途径：求数值近似解。2弹性力学问题分片近似求解方法假设位移近似解最小势能原理或Galerkin加权残值法建立以近似解待定参数为未知量的方程组求解方程组确定近似解的待定参数即得到近似解困难：难以在全域上构造合适的位移近似函数解决途径：——离散化解方程获得全域近似解将全域划分为小区域的集合小区域上假设近似函数最小势能原理或加权残值法建立小区域平衡方程所有小区域叠加得全域平衡方程3结构离散化将连续体用有限个单元的组合体近似，建立以有限个结点的位移为基本变量的系统方程，即离散化系统方程。单元(element)结点(node)网格(mesh)带圆孔单向拉伸板带圆孔单向拉伸板及其离散化有限单元法离散化单元插值系统方程求解方程变形图应力分布节点位移应变和应力网格模型力学模型4有限单元法的基本过程单元平衡方程引言—离散化概念静力学问题有限元求解过程平面问题有限元格式—三角形3结点单元有限元的一般格式—二维平面、轴对称、三维问题有限元解的收敛性—收敛准则、速度、误差、解的下限性线性代数方程数值解法—高斯消元、三角分解、迭代算法5本章主要内容参考高教出版社App:

Abook数字资源3.2平面问题的有限元格式1三角形3结点单元位移插值结构离散1,2,3:

单元结点局部编号顺序约定：逆时针方向。单元6：局部结点：1，2，3

整体结点：4，9，8

或：9，8，4

或：8，4，9单元单元定义（与局部结点1、2、3的对应关系）11,2,622,7,6......2415,20,19单元位移模式（位移插值函数，位移近似函数）假设位移在单元内线性变化：待定参数3个结点的位移满足：线性方程组的系数行列式三角形单元的面积类似：同理：代入位移u的插值式同理：插值函数，形状函数A是三角形单元的面积，bi，ci和di由单元结点坐标确定。I：单位矩阵单元中任意点的位移通过插值函数用结点位移表达。用矩阵表达位移插值式是单元中位移近似函数，结点位移是近似函数的待定参数。结点位移向量单元结点位移列向量2插值函数的性质（1）

（j=1,2,3）三角形3结点单元插值函数在单元中的线性变化保证了相邻单元在公共边界上位移的连续性。（2）

若x方向有刚体位移u0，任意点的位移：12431-2边上：（3）①②单元①：单元②：单位分解原理单元

①

或②

计算1-2边上一点的位移，N1和N2在0~1之间线性变化，结果相同。3单元中的应变和应力（1）应变:应变矩阵微分算子三角形3结点单元为常应变单元B为常数矩阵（2）应力:平面应力：平面应变：应力矩阵弹性系数矩阵相邻单元的应变连续吗？不连续！三角形3结点单元为常应力单元S为常数矩阵相邻单元的应变不连续！4单元平衡方程（1）弹性体的总势能:内能U外力势V相邻单元作用于当前单元的等效结点力，所有单元叠加后抵消为零。（2）最小势能原理：单元平衡方程单元刚度矩阵单元等效结点载荷在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足平衡条件的位移使物体势能取驻值。（3）Galerkin加权残值法：弹性问题场方程和边界条件Galerkin加权积分形式经分部积分可得到该等效积分的弱形式（虚位移原理）代入本构方程和几何方程（强制边界条件）（自然边界条件）（已满足）（位移为独立变量）代入本构方程和几何方程对于原弹性力学场问题，将本构方程和几何方程代入平衡方程可知，该方程中位移的最高阶导数为二阶，若假设近似函数，要求其一阶导数连续，即C1连续。而前述对应的等效积分弱形式中位移的最高阶导数降为一阶，仅要求近似函数连续，即C0连续。与最小势能原理得到的方程一致5单元刚度矩阵及其性质（1）三角形3结点单元刚度矩阵B为常数矩阵（2）单元刚度矩阵的物理意义展开：

当单元的第j个结点自由度位移为单位位移，而其它结点自由度的位移为零时，需在单元第i个结点自由度方向上施加的力的大小。

单元刚度越大，使结点产生单位位移所需施加的结点力也越大，反之所需施加的结点力越小。单元刚度矩阵中的元素称为刚度系数。单元的平衡条件令aj=1，其他a=0的物理意义：单元刚度阵中每一列（行）元素之和为零（3）单元刚度矩阵的性质(a)对称性：（D对称）单元刚度矩阵对称(b)奇异性：奇异，方程有无穷组解。力学意义：结构非静定，可以有任意的刚体位移，解不唯一。(c)主元恒正：力学意义：使结点位移a1＝1，施加在a1方向的结点力与位移a1同向。6单元等效结点载荷（1）均质等厚单元的自重等效结点载荷自重产生的载荷平均分配到3个结点上。（2）均布侧压q的等效结点载荷1-2边上局部坐标s，则沿1-2边等效结点载荷同理：边界上作用的载荷可能还存在其它形式，采用类似方法推导。承受集中力作用时，离散时在集中力作用点设置一个结点，这样就无需对集中力进行等效处理，直接施加到对应的结点上。7结构有限元平衡方程（1）弹性体结构的总势能:结构的总势能等于各单元势能之和：n个结点总共有2n个自由度，所有结点的位移列向量若某单元3个结点1,2,3对应的总体结点编号为i,m,j，且总体结点编号i<j<m（2）有限元平衡方程

结构有限元平衡方程K：结构刚度矩阵f：结构等效结点载荷类似于单元平衡方程，也可用Galerkin加权残值法推导系统方程假设某单元的3个局部结点1、2、3对应的总体结点编号为i,j,m（3）结构刚度矩阵和结点载荷矩阵的组集：刚度矩阵组集的软件实现过程，可首先定义一个利用每一个单元局部结点编号和整体结点编号之间对应关系，将所有单元的刚度矩阵元素在整体刚度矩阵中“对号入座”进行叠加即可。

的总体刚度矩阵，将所有单元等效结点载荷变换后进行叠加即得到总体结点载荷列向量。将Ke扩大到与K同阶，将ae和Pe扩到到与a和P同阶将所有扩大后的矩阵相叠加。2n×2n2n×12n×1若某单元3个结点的整体编号为i,j,m，请刚度矩阵扩大后成为：假设单元局部结点编号1，2，3对应的整体结点编号为3，8，2，其单元刚度矩阵为：该单元刚度矩阵中的子矩阵按如下方式叠加到整体刚度矩阵中：“对号入座”进行叠加ijm（4）结构刚度矩阵的特点：D结点编号方案1D结点编号方案2非零元素集中在对角元附近，具有带状性，D称为半带宽。带宽取决于单元中最大结点编号与最小结点编号之差，差值越小带宽越小，带宽以外的非零元素越少；差值越大，带宽越大，带宽以外的非零元素越多。刚度矩阵具有稀疏性。1）对称性：单元刚度矩阵对称，组集后得到的结构刚度矩阵也对称。2）奇异性：结构平衡方程未施加位移边界条件，结构不静定。

3）主元恒正：单元刚度矩阵主元恒正，结构刚度矩阵主元仍恒正。5）稀疏性：对角元附近非零元素以外的大多数元素为零。4）带状性：非零元素集中在对角元附近。结构刚度矩阵的性质：8引入位移边界条件（1）直接法（位移边界条件ab已知）ab和fa已知，

aa和fb未知，方程写成如下形式：位移反力或写成：换行换列运算量大，不实用。（2）对角元素改1法（位移边界条件aj＝0）其它方程未变化。适用于给定位移为零的情况，不能处理非零位移边界条件。aj＝0（3）对角元素乘大数法（零和非零位移边界条件）α为一大数。第

j个方程：其它方程未变化。引入位移边界条件后，消除刚度矩阵的奇异性，方程有唯一解。适用于任意给定位移的情况，编程方便。（4）罚函数法引入强制位移边界条件利用罚函数法构造一个新的泛函α为一大数其余元素与原来的K和P中的相同第j个方程α为一大数由罚函数法引入强制位移边界条件和前述对角元乘大数是一致的。引入位移边界条件后，消除刚度矩阵的奇异性，方程有唯一解。9位移、应变和应力计算高斯消元法或迭代解法求解系统方程获得结点位移在单元水平上计算单元内任意点的应变和应力注意：单元之间的位移是连续的，由于应变和应力与位移存在一阶导数关系，故两者的计算精度比位移低一个量级，单元之间的应变和应力是不连续的。10广义坐标有限元法（1）常用单元3结点4结点6结点8结点4结点6结点8结点20结点（2）选择单元位移函数的一般原则多项式：广义坐标1）由结点位移确定，其个数应等于单元结点数。2）一次项和常数项必须完备。刚体位移常应变最简单的位移函数。3）多项式选取应从低阶到高阶，尽量取完全多项式以提高精度。（3）广义坐标有限元的一般步骤3.3有限单元法的一般格式1二维平面问题具有n个结点的二维单元结点位移列向量位移插值模式应变列向量应力列向量单元平衡方程单元刚度矩阵单元等效结点载荷2轴对称问题具有n个结点的二维单元结点位移列向量环状单元位移插值模式应变列向量应力列向量单元平衡方程单元刚度矩阵单元等效结点载荷结点集中载荷3三维实体问题具有n个结点的三维单元结点位移列向量位移插值模式应变列向量应力列向量单元平衡方程单元刚度矩阵单元等效结点载荷3.4有限元解的性质和收敛性2收敛准则1收敛的概念当单元尺寸趋于零时，有限元的解趋于真解。（1）选取的位移函数应满足单元的刚体位移不产生应变含常数项（2）如果单元的结点位移与常应变条件匹配，则位移插值函数必须能够得到该常应变含一次项（3）相邻单元边界上的应变是有限的单元间位移连续完备性协调性满足上述三个条件的单元为协调元①完备性：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。一般情况：这种单元称为Cm-1连续单元。位移元为C0连续单元。②协调性：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性。3收敛速度和精度在单元内某点：单元尺寸：h，选择插值函数p阶（量级）误差：其它量：误差：例：三角形三结点单元网格细化一倍后近似解：u2位移的误差：应变的误差：位移的误差：若精确解：u误差：第一次网格划分的近似解：u1网格（单元）细化1倍，精度提高4倍。计算机数字（有效位数）也会引起计算误差。4位移元的下限性位移元得到的位移解总体上不大于真正解，即解具有下限性质。N系统总势能有限元的解是近似解，其对应的总势能总会大于真实解的总势能对于精确解和近似解有3.5线性代数方程的求解方法目的：求解方程：方程组的求解通常采用数值方法，其精度和效率与求解方法有关。方程组的求解方法：直接解法：高斯消元法（最有效的方法），三角分解法等。迭代解法：高斯－赛德尔迭代法，共轭梯度法等。1引言2高斯消元法（1）高斯循环消元法基本过程例：求解方程组①②③④第1次消元：②①①③①④第2次消元：②③④②第3次消元：③④回代：自最后一个方程起向前①②③④（2）一般公式n元线性代数方程组需进行n-1次消元。第k次消元以k-1次消元后第k行元素作为主元行，为主元，对第i行元素（i>k）的消元公式为：回代：该过程便于计算机编程实现。3三角分解法第1次消元：②①①③①④（1）高斯消元过程的另一表达形式第2次消元：②③④②第3次消元：③④n元方程组高斯消元过程可视为如下变换：高斯因子（2）矩阵A的三角分解下三角阵矩阵A可以分解为一下三角矩阵和一上三角矩阵的乘积。乔列斯基（Cholesky）分解，也称为三角分解。（3）矩阵A对称时的分解令：D为对角阵:（A对称）（4）三角分解求解方程组算法令：三角分解算法特别有利于多重右边项的求解。（5）三角分解的递推公式（1）迭代法的基本思想4迭代解法求解代数方程：假设：构造迭代格式：选择迭代初始列向量：迭代误差的判断：迭代误差满足上式时，认为结果收敛。（2）共轭梯度法a）取初值b）计算c）k=0,1,2,…循环判断误差：若满足，结束计算，否则进入后面的计算：返回（3）进入下一循环。5有限元刚度矩阵在计算机中的存储方法两种存储方法:（1）二维等带宽存储；（2）一维变带宽存储1）二维等带宽存储当系数矩阵的带宽变化不大时，采用二维等带宽存储合适，求解方便。不能去除带宽以内的零元素2）一维变带宽存储（a）按列一维变带宽存储（b）按行一维变带宽存储

A()：保存系数矩阵元素；M()：保存对角元地址列高计算：每列起始行号：一维变带宽存储是最节省内存的一种存储方法。A(21)M(9)上例1求解过程3.6静力问题有限元法求解过程及程序实现（1）建立力学简化模型（2）结构离散化（3）数据准备（a）材料性质：杨氏模量、泊松比、密度（b）结点坐标和编号（c）单元定义：每一个单元的局部结点所对应的整体结点编号（d）力边界条件（e）位移边界条件（4）计算单元刚度矩阵（5）计算单元结点等效载荷（6）形成结构刚度矩阵（7）形成结构等效结点载荷列向量（8）引入位移边界条件（9）求解线性方程组（10）计算单元应变和应力：根据需要计算。（11）输出计算结果：以图表的方式输出结点的位移、应变、应力。有限元分析程序流程图求解Ka=f，得结点位移a输入离散模型数据计算单元刚度阵组集结构刚度矩阵计算单元等效结点载荷组集结构结点载荷列阵引入位移边界条件求解线性方程组其它辅助计算输出结果结束单元循环形成K形成f消除K

的奇异性计算应力、应变等单元循环2程序设计概要前处理器有限元计算程序后处理器核心：各种计算方法的实现。CAD建模（几何模型）、材料参数、边界条件、分析类型定义、网格划分等。以图形、曲线和表格等方式表达、分析计算结果。有限元软件系统的组成及分析过程3.7数值算例：带中心圆孔矩形板拉伸问题板长500mm，宽400mm，厚度1mm，圆孔半径50mm。板材杨氏弹性模量为200GPa，泊松比为0.3。两边受均匀拉伸载荷100N/mm作用。用三角形单元离散结构，用有限元方法计算其变形和应力。力学简化模型受均匀拉伸带中心圆孔板三角形单元离散网格最大主应变分布变形及位移分布Mises应力分布3.8小结离散化分片插值单元位移插值插值函数性质最小势能原理Galerkin法三角形单元是常应力和常应变单元单元平衡方程保证了相邻单元在公共边界上位移的连续性。单元刚度矩阵等效结点载荷单元平衡方程对称奇异主元恒正整体系统的平衡方程结构刚度矩阵的组集结点载荷的组集位移边界条件的引入消除奇异性结构刚度矩阵：对称性奇异性主元恒正带状性稀疏性直接法对角元素改1法（位移边界条件aj＝0）对角元素乘大数法（零和非零位移边界条件）罚函数法引入强制位移边界条件（零和非零位移边界条件）

有限单元法的一般格式二维平面问题轴对称问题结点集中载荷三维问题有限元解的收敛性收敛准则收敛速度与离散误差位移元解的下限性线性代数方程求解方法高斯（Gauss）消元法三角分解算法迭代解法静力问题有限元法求解过程第4章单元插值函数的构造4.1引言1单元类型实体单元平面应力、平面应变问题三维实体问题二维实体单元轴对称单元三维实体单元轴对称问题结构单元一维结构单元杆单元梁单元索单元二维结构单元膜单元板单元壳单元2单元形状二维实体单元：三角形矩形四边形平面应力（应变）单元平面应力单元轴对称实体单元：三角形单元离散平面二维结构轴对称实体对称面有限元离散三角形矩形四边形轴对称环状单元三维实体单元：四面体六面体四面体单元六面体单元三棱柱单元一维结构单元：空间直线空间曲线直线单元（杆、梁单元）曲线单元（索单元）杆单元、梁单元、索单元空间梁单元空间杆单元二维结构单元空间三角形空间矩形平板单元壳单元壳单元平板单元3单元阶次一次单元：线性单元，只有角结点。二次单元：在角结点间的边界上配置一个边内结点。三次单元：边界上配置二个内结点，有时含内部结点。4特殊单元弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、集中质量单元等。模拟裂纹的奇异单元无限元4.2一维单元插值函数1拉格朗日（Lagrange）一维单元用一较简单的函数称

为插值函数。若为多项式，称为多项式插值函数。1)插值函数已知函数f(x)在[a,b]上一系列点上的值可由

确定[a,b]上其它点的函数值。代替f(x)，使例子：2点插值线性组合2)Lagrange插值公式设函数f(x)在[a,b]上一系列互不相同的点上的值构造一个（n-1）次的多项式具有形状函数Ni(x)的性质，可以作为有限单元的插值函数。讨论：3)Lagrange单元作变换：可得：自然坐标一维n结点单元插值作变换：可得：x1xnx2-11ξ001ξ例子：一次单元插值1(-1)2(+1)ξ1N1121N212等参变换例子：1(-1)2(1)ξ3(0)二次单元插值一维3结点Lagrange插值函数2埃尔米特（Hermite）一维单元若场方程的最高阶导数为m，要求场函数及其m-1阶导数在结点上均连续。如梁、板、壳结点的挠度和转角均要连续，转角即为挠度的一阶导数关系。2结点单元：-11ξ假设Hi为三次多项式（i=1~4）类似地，可写出其它三组方程，解方程得到所有待定参数（i=1~4）

H1在结点1处为1.0，在结点2处为0.0；H3在结点1处为0.0，在结点2处为1.0；H2的导数在结点1处为1.0，在结点2处为0.0；H4的导数在结点1处为0.0，在结点2处为1.0。Hermite插值函数1三角形单元123PA1A3A2(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)L1=0L2=0L3=01）面积坐标特点：①在本点为1，其它点为0②③与三角形的具体形状及其在总体坐标系中的位置无关。自然坐标2）与直角坐标间的转换关系4.3二维单元插值函数结论：三角形域内点的坐标和位移可以通过相同的插值函数分别由结点的坐标和位移得到。等参变换3）面积坐标的微分运算4）面积坐标表示的插值函数一次单元插值函数的构造式通过除结点i以外所有结点的直线方程的左端项直线方程在结点i的取值3(0,0,1)1(1,0,0)2(0,1,0)L3=0L1=0L2=0划线法3(0,0,1)1(1,0,0)2(0,1,0)L3=0L1=0L2=04(1/2,1/2,0)5(0,1/2,1/2)6(1/2,0,1/2)L1-1/2=0L3-1/2=0L2-1/2=0二次单元2拉格朗日（Lagrange）矩形单元缺点：随着插值函数方次的增高而增加内结点，从而增加自由度。一次单元二次单元三次单元插值函数变化规律3Serendipity矩形单元1）4结点单元同理：统一形式：双一次单元划线法与Lagrange一次单元相同2）变结点单元可以构造变结点的过渡单元。可以构造5-8结点单元。3）8结点单元1四面体单元利用体积坐标：1234一次单元：4结点二次单元：10结点56789104.4三维单元角结点：棱内结点：2拉格朗日（Lagrange）六面体单元典型的三维Lagrange单元沿三个方向分别有r、p、q个结点，可以分别构造（r-1）阶、（p-1）阶、（q-1）阶的Lagrange插值基函数：3Serendipity六面体单元一次单元：8结点二次单元：20结点ηξζ1234567891312111410151617181920角结点：典型的棱内结点4三棱柱单元一次单元二次单元三棱柱Serendipity单元Serendipity类单元Lagrange插值单元插值函数由三角形单元插值函数与Serendipity单元插值函数相乘得到插值函数由三角形单元插值函数与Lagrange插值函数相乘得到Serendipity类一次单元Li为面积坐标4.5阶谱单元*

自适应分析：p方案：网格不变，提高单元的阶次后重分析。h方案：单元阶次不变，细化网格后重分析。对于p方案，希望提高单元阶次后仍可使用已计算的低阶单元的单元结果。阶谱单元可以解决这一问题。12lξ一维阶谱单元Lagrange单元在单元内增加结点33代入插值表达式原线性单元的插值函数原线性单元的插值函数原线性单元的结点参数不再是结点3的函数值讨论：H1和H2在结点3不再等于0H1,H2,H3不再具有标准C0

型单元插值函数所具有的性质，称为阶谱函数。线性单元的刚度矩阵三次阶谱单元的刚度矩阵形成高阶单元的刚度矩阵时，低阶单元的刚度矩阵可以保持不变地被利用。4.6小结单元分类实体单元：二维、轴对称、三维结构单元：杆、梁、索、板、壳、膜一维单元拉格朗日单元一次单元二次单元厄米特单元二维单元三角形单元拉格朗日单元Serendipity单元面积坐标一次单元二次单元等参变换四边形4结点单元四边形8结点单元三维单元四面体单元拉格朗日单元Serendipity单元三棱柱单元阶谱单元用于自适应分析第5章映射单元和数值积分5.1引言问题1：形状规则单元离散化复杂结构面临困难问题2：整体坐标系下单元积分计算困难单元刚度积分计算等效结点载荷计算单元位移插值应变列向量解决途径：形状规则单元曲边或曲面单元映射变换局部坐标系整体坐标系母单元子单元（映射单元）完成计算容易适应复杂结构外形5.2单元映射和等参变换1单元映射坐标变换一次变换二次变换1）一维单元变换母单元子单元子单元子单元一维二维三维2）二维单元变换一次变换二次变换母单元子单元3）三维单元变换一次变换二次变换母单元子单元坐标变换形式：位移插值式：2等参变换等参变换次参变换超参变换〇：用于位移插值的结点；□：用于坐标变换的结点等参单元次参单元超参单元3单元积分计算变换1）单元计算形状函数用局部坐标描述应变矩阵中的导数相对于整体坐标求导积分针对整体坐标所有子单元的母单元相同，通过变换所有计算在母单元上进行。矩阵求导变换积分变换1四边形等参单元1）单元计算5.3二维等参单元矩阵求导变换积分变换2）导数之间的变换雅可比矩阵可计算Bi等参变换例：四边形4结点等参单元3）面积微元和边界微元的变换面积微元积分母单元上载荷作用边子单元上载荷作用边或：在计算边界力的等效结点载荷时，线积分计算表达式取决于子单元整体结点编号与母单元结点编号之间的对应关系。边界微元积分4）母单元中的积分计算ηξ1(-1,-1)2(1,-1)3(1,1)4(-1,1)将所有子单元刚度矩阵和等效结点载荷的积分计算变换到同一个母单上完成。如何进行积分计算？数值积分2三角形等参单元n结点三角形单元令：面积坐标不独立微分变换积分变换面积坐标计算三角形面积的积分面积坐标系下面积微元的面积：

整体坐标微元边向量：整体坐标下微元面积：体积力产生的等效结点载荷单元刚度矩阵假设已知面载荷作用于2-3边（L1=0）例：三角形3结点单元1轴对称四边形等参单元5.4轴对称等参单元集中载荷2轴对称三角形等参单元集中载荷1六面体等参单元1）单元计算5.5三维等参单元矩阵求导变换积分变换2）导数之间的变换雅可比矩阵可计算Bi3）体积微元和面积微元的变换体积微元母单元上载荷作用面子单元上载荷作用面面积微元若子单元上的载荷作用面对应于母单元的边界面母单元上的积分表达式子单元上载荷作用面也可以定义为母单元上的其它面，其它微元面积可以通过轮换ξ,η,

ζ

得到：2四面体等参单元体积坐标不独立令：5.5等参变换的条件和收敛性1等参变换的条件二维问题当等参变换不能实现几何分析（平面4结点单元为例）ξηξηξη123,4122,31234总存在一点：这些单元不能实现等参变换2等参单元的收敛性解的收敛条件：单元必须协调和完备。1）协调性

相邻边上有完全相同的结点，相邻单元公共边坐标和未知函数采用相同的插值函数。2）完备性设满足完备性要求等参单元满足收敛性要求5.7等参单元的退化*单元的退化形式将Lagrange单元或Serendipity单元中某些结点合并，但网格中仍然保留和原来单元相同的结点数，将这种把部分结点合并后的单元称为退化形式。四边形4结点单元退化为三角形单元结点3和4合并在一起坐标变换退化单元的插值函数由三角形单元插值函数推导可知，形状函数对整体坐标的导数与用面积坐标L1、L2、L3得到的结果一致故进而可得应变矩阵与三角形单元结果一致退化单元的Jacobi矩阵在η=1的结点（合并的3和4结点）处，Jacobi的行列式为零，即Jacobi矩阵是奇异的。但是，由前面的讨论可知，该单元为常应变单元，即计算应变时这一奇异性消失了。只要不考虑η=1的结点，就可以利用退化单元计算该三角形3结点单元的形状函数的导数和积分。其它退化单元5.8两种特殊的映射单元*1模拟裂尖奇异性的奇异单元根据线弹性断裂力学理论，裂尖附近保留级数的第一项，裂尖附件的位移表达为应力场裂纹尖端的应力具有奇异性KI、KII和KIII为应力强度因子在裂纹尖端的应力为无穷大。子单元1-2边上任一点的坐标变换式边1-2上各结点x方向的坐标x1=0，x5=h/4，x2=h在边1-2上任一点的位移插值表达式1/4结点奇异等参元奇异性四边形8结点单元三角形6结点单元实际应用中无需修改程序，只需在离散结构时，将裂尖附近单元的中间结点置于1/4处即可。2模拟无限区域的无限单元模拟基础开挖后变形的半无限域问题用无限元模拟边界用传统有限元近似边界无限元母单元与子单元的映射假设映射关系可用Q和P点的坐标表达坐标映射关系假设r是从C点开始度量未知函数u用多项式近似扩展到二维ηξ1(-1,-1)2(1,-1)3(1,1)4(-1,1)如何进行积分计算？数值积分5.9单元数值积分yx子单元母单元1一维数值积分求积分构造使ξ

i:积分点。积分点的数目和位置决定近似函数与原函数的近似程度，决定积分精度。1）Newton-Cotes积分Lagrange多项式是积分区间上的等分点坐标。积分精度余项作变换n-1阶Newton－Cotes积分常数若F(ξ)是n-1阶多项式，因Newton－Cotes积分精度为n-1阶的，则积分结果是精确的。积分加权系数，与被积函数无关，只与积分点个数和位置有关。由确定n个积分点。用2n-1次多项式近似原函数2）Gauss积分目的：用n个积分点获得更高的积分精度。构造n次多项式=0积分权系数（1）φ(ξ)是2n-1次多项式（2）ξi

不是等间距（3）n个

Gauss积分点可达2n-1阶精度余项一维等参单元在自然坐标下的积分限一般为（-1,1）与积分函数无关例：计算两点Gauss积分点的位置及积分权系数。构造二次多项式求积分点的位置计算积分权系数积分点数积分点坐标积分权系数10.0000000000000002.00000000000000020.5773502691896261.000000000000000-0.5773502691896261.00000000000000030.7745966692414830.555555555555556-0.7745966692414830.5555555555555560.0000000000000000.88888888888888940.8611363115940530.347854845137454-0.8611363115940530.3478548451374540.3399810435848560.652145154862546-0.3399810435848560.65214515486254650.9061798459386640.236926885056189-0.9061798459386640.2369268850561890.5384693101056830.478628670499366-0.5384693101056830.4786286704993660.0000000000000000.56888888888888960.9324695142031520.171324492379170-0.9324695142031520.1713244923791700.6612093864662650.360761573048139-0.6612093864662650.3607615730481390.2386191860831970.467913934572691-0.2386191860831970.467913934572691高斯积分点的坐标及权系数2四边形和六面体单元积分1）四边形单元一维Gauss积分权系数沿每个坐标方向的积分点数平面问题四边形单元轴对称问题四边形单元2）六面体单元3三角形和四面体积分1）三角形单元Hammer积分平面问题三角形单元载荷作用于L1=0的边上，用一维Gauss积分轴对称问题三角形单元载荷作用于L1=0上，用一维Gauss积分三角形单元数值积分点坐标和权系数2）四面体单元Hammer积分载荷作用于L1=0的面上，用三角形面积分四面体单元数值积分点坐标和权系数5.10单元积分阶次的选择1选择积分阶次的原则一维等参单元刚度阵积分：如果插值函数N为p次多项式，B矩阵中微分算子L中的导数为m阶则被积函数为2(p-m)次多项式。选择Gauss积分点数n=p-m+1，则积分精度为2n-1=2(p-m+1)-1=2(p-m)+1>2(p-m)刚度矩阵精确积分（完全积分）例：二维4结点单元n=p-m+1=2-1+1=22X2点可得精确积分实际应用中p可取决定有限元精度的完全多项式的最高阶次。减缩积分（Reducedintegration）：Gauss积分阶次低于被积函数所有项次精确积分所需阶次的积分方案。往往获得更高的积分精度。1,ξ,η,ξη1,ξ,η,ξ2,η2,ξη积分分别沿ξ和η两个方向积分每个方向的最高阶次均为2p=2，m=1二维问题刚度阵积分：分别考查沿两个积分方向的阶次常用单元积分阶次选择：ηξηξ完全积分减缩积分完全积分减缩积分ηξζηξζ完全积分减缩积分完全积分减缩积分2数值积分导致的矩阵奇异性引入位移边界条件后，或

K满秩。矩阵秩的性质（1）（2）D:dXd,rank(D)=dBi:dXnf,rank(Bi)=d,通常d<nf若有M个单元(1)

若精确积分，K

非奇异(2)

若减缩积分，可能出现零能模式（非刚体位移，应变能为零）K

非奇异的必要条件K的独立自由度数结构刚度矩阵在引入位移边界条件后消除了奇异性。这是基于刚度矩阵的积分是精确的。采用数值积分可能因为数值积分的阶次不够导致结构刚度矩阵出现奇异。采用减缩积分的时候需要检查结构刚度是否满足非奇异性例子线性单元二次单元自由度数

独立关系数自由度数

独立关系数（a）4x2-3=5>1x1x3=3奇异2x8-3=13>1x4x3=12奇异（b）6x2-3=9>2x1x3=6奇异13x2-3=23<2x4x3=12

（c）25x2-18=32<16x1x3=4865x2-34=96<16x4x3=192（a）（b）（c）3剪切自锁和沙漏模式悬臂梁问题单元网格方案（高度方向个数x长度方向个数）1x62x124x128x24四边形4结点0.1880.4780.4820.788四边形8结点0.9810.9970.9981.001六面体8结点0.2150.5030.1920.790六面体20结点0.9670.9890.9760.9961）剪切自锁单元完全积分梁挠度与理论解的比值弯矩作用下材料的变形弯矩作用下完全积分线性单元的变形积分点上的应力结果不正确产生这种伪剪切的原因是因为线性单元的边不能弯曲，它的出现意味着应变能正在产生剪切变形，而不是产生所希望的弯曲变形，因此总的挠度变小，即单元过于刚硬。这一现象称为剪切自锁。弯矩作用下完全积分二次单元的变形二次单元的边可弯曲，没有剪切自锁现象。2）沙漏模式单元网格方案（高度方向个数x长度方向个数）1x62x124x128x24四边形4结点57.2331.3281.0641.017四边形8结点0.9850.9991.0011.001六面体8结点91.9331.3281.0661.016六面体20结点1.4850.9970.9991.000单元减缩积分梁挠度与理论解的比值悬臂梁问题尺寸：55mm×25mm×1mm；材料参数：杨氏模量2×105MPa，泊松比0.3；位移约束：左边x方向位移约束，左下角点y向约束；载荷：右边上、中、下三点受集中力10N。四边形4结点单元减缩积分四边形4结点单元完全积分弯矩作