15.3.1 角平分线的尺规作图与性质 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

#沪科版八年级上册15.3.1角平分线的尺规作图与性质专项练习（满分100分\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)时间40分钟）##一、选择题（每题5分\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)共30分）1.角平分线的性质是（）A.角平分线上的点到角两边的距离相等B.到角两边距离相等的点在角平分线上C.角平分线垂直平分角的两边D.角平分线上的点到角顶点距离相等2.尺规作一个角的平分线\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)作图原理是构造全等三角形\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)所用判定方法是（）A.HLB.SSSC.SASD.ASA3.如图\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)OC平分\(∠AOB\)\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)点P在OC上\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)PM⊥OA\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)PN⊥OB\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)PM=4\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)则PN的长为（）A.2B.4C.8D.无法确定4.用尺规作角平分线时\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)画弧的第一步是（）A.以角顶点O为圆心\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)适当长为半径画弧\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)交OA、OB于两点B.分别以弧与OA、OB交点为圆心画弧C.连接顶点和两弧交点D.作垂线5.下列说法错误的是（）A.角平分线是一条射线B.角平分线上的点到角两边垂线段长度相等C.只要距离相等\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)点一定在角内部的角平分线上D.角的对称轴是角平分线6.点P在\(∠AOB\)内部\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)$PD\perpOA\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)PE\perpOB$\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)若$\(PD=PE\)$\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)则（）A.$\(OP=PD\)$B.$OP$平分$\(∠AOB\)$C.$\(OP=PE\)$D.$\(OA=OB\)$##二、填空题（每题5分\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)共30分）7.角平分线性质：角平分线上的点到角两边________的距离相等。8.尺规作角平分线：先以角顶点为圆心\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)适当长为半径画弧\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)交角的两条边；再分别以两个交点为圆心\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)大于________的长度为半径\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)在角内部画弧交于一点。9.OC平分\(∠AOB\)\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)点P在OC上\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)$PM\perpOA\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)PN\perpOB$\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)则____=PN。10.角平分线的判定：在角的内部\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)到角两边距离相等的点\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)在这个角的________上。11.角平分线是一条________（射线/直线/线段）。12.三角形三条角平分线交于一点\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)这点到三角形________距离相等。##三、解答题（共40分）13.（12分）简述尺规作\(∠AOB\)平分线OC的完整作图步骤。14.（14分）已知：OC平分\(∠AOB\)\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)点P在OC上\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)$PD\perpOA\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)PE\perpOB$\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)垂足分别为D、E。求证：$\(PD=PE\)$。15.（14分）已知：点P在\(∠AOB\)内部\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)$PD\perpOA\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)PE\perpOB$\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)$\(PD=PE\)$。求证：OP平分\(∠AOB\)。---#参考答案与解析##一、选择题1.A解析：B是角平分线的判定定理。2.B解析：作图构造三组对应边相等\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)SSS证全等。3.B解析：角平分线性质\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)距离相等。4.A5.D解析：角的对称轴是**角平分线所在直线**\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)角平分线本身是射线。6.B##二、填空题7.垂线段8.$\dfrac12$两交点之间线段长9.$PM$10.平分线11.射线12.三边##三、解答题13.解：作图步骤：①以点O为圆心\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)取适当长度为半径画弧\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)交OA于M\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)交OB于N；②分别以M、N为圆心\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)大于$\dfrac12MN$的长为半径\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)在\(∠AOB\)内部画弧\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)两弧交于点C；③作射线OC。射线OC就是\(∠AOB\)的角平分线。14.证明：∵$OC$平分$\(∠AOB\)$\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)∴$\angleDOP=\angleEOP$。∵$PD\perpOA\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)PE\perpOB$\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)∴$\angleODP=\angleOEP=90^\circ$。在△ODP和△OEP中$\begin{cases}\angleODP=\angleOEP\\\angleDOP=\angleEOP\\OP=OP\(\begin{cases}\angleODP=\angleOEP\\\angleDOP=\angleEOP\\OP=OP（公共边）\end{cases}\)\end{cases}$∴$\triangleODP\(\triangleODP\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\triangleOEP(\text{AAS})\)\triangleOEP(\text{AAS})$∴$\(PD=PE\)$。15.证明：∵$PD\perpOA\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)PE\perpOB$\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)∴$\angleODP=\angleOEP=90^\circ$。在Rt△ODP和Rt△OEP中$\begin{cases}OP=OP（公共斜边）\\\(PD=PE\)（已知）\end{cases}$∴$\text{Rt}\triangleODP\(\triangleODP\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\triangleOEP(\text{AAS})\)\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})$∴$\angleDOP=\angleEOP$\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)即OP平分\(∠AOB\)。###核心知识点小结1.性质：点在角平分线上⇒到角两边垂线段距离相等；2.判定：角内部一点到两边距离相等⇒点在角平分线上；3.尺规作图原理：SSS全等；4.易错点：距离必须是**垂线段长度**；角平分线是射线\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)对称轴是角平分线所在直线。下一节：**15.3.1等腰三角形的性质**专项练习\(PD\perpOA\(PM\perpOA\(PD\perpOA，PE\perpOB\)PN\perpOB\)PE\perpOB\)继续吗？沪科版（新教材）数学八年级上册15.3.1角平分线的尺规作图与性质授课教师：.

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8年级（

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章轴对称图形与等腰三角形123掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性;掌握过一点作已知直线的垂线的尺规作法;培养学生分析问题和解决问题的能力.角平分线的定义：

把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.

在角的内部，如上图，∠AOC==∠AOB或=2∠AOC12

以角的顶点为端点的一条射线OC是∠AOB的平分线，这时有：BAOOC∠COB

∠AOB==2∠COB∠AOC+∠COB02创设情境

要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺1：20000）SＯ公路铁路03新知探究思考怎样得到一个角的平分线?方法一：用量角器量角的度数可以找出一个角的平分线.方法二：通过折纸可以得到一个角的角平分线.在半透明纸上任画∠AOB，折叠使射线OA，OB重合，得到的射线OP就是∠AOB的平分线.AOBOPA（B）OPAB03新知探究方法三：用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.(1)以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图(1).

03新知探究作图依据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：SSS．拓展：根据角平分线的作法可以作已知角的四等分线．易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线”时，不能简单地叙述为“连接两点”，连接两点是线段，角平分线是射线而不是线段．

注意1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，能说明∠AOC＝∠BOC的依据是_________________．1星题基础练SSS2．如图，作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(

)①作射线OC；②在OA，OB上分别截取ON，OM，使ON＝OM；③分别以N，M为圆心，以大于

NM的长为半径作弧，两弧在∠AOB

内交于点C.A．①②③

B．②①③C．②③①

D．③②①C3．利用尺规作出下图的钝角∠AOB的平分线OC.(保留作图痕迹，不写作法)解：如图所示.03新知探究思考已知：OM=ON，MP=NP.求证：OP平分∠AOB.

1.根据作图，你能证明所作射线OP,就是∠AOB的平分线吗？03新知探究2.当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°)，如何作这个角的平分线？这时的角平分线与直线AB是什么位置关系？OP⊥AB.03新知探究我们用尺规可以完成”经过一点作已知直线的垂线

"这一点可能在直线上,也可能在直线外,因此这个作图要分两种情况已知：直线AB和AB上一点C（如图）.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：作平角∠ACB的平分线CF.直线CF就是所求作的垂线.1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线03新知探究已知：直线AB和AB外一点C（如图）.求作：AB的垂线，使它经过点C.2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线

03新知探究ABCEFKD连接CD，CE,DF，EF，证明：∵CD=CE，∴C点在线段DE的垂直平分线上.∵DF=EF，∴F点在线段DE的垂直平分线上，∴CF是线段DE的垂直平分线，∴CF⊥DE,即CF⊥AB.思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？你能说说道理吗？03新知探究ABC例、已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。（1）作∠B的平分线BD交AC于点D；

过D点作AB的垂线交AB于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）（2）求证：△ADE≌△BDE.03新知探究ABCDE(2)证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°.∵BD平分∠ABC，∠B=60°，∴∠DBE=30°.∵∠A=30°，∴∠A=∠DBE.在△ADE和△BDE中，∴△ADE≌△BDE(AAS).DE=DE，∠A=∠DBE，∠AED=∠BED，∵解：(1)如图所示，BD，DE即为所求.(角平分线上的点到角两边的距离相等)(角平分线上的点到角两边的距离相等)(角平分线上的点到角两边的距离相等)CABD图①图②CBAD巩固练习1、判断下列各题是否正确地使用了角的平分线的性质?(1)如图①∵AC平分∠BAD∴DC=BC(2)如图②∵

DB⊥AB，DC⊥AC∴DB=DC(3)如图②∵AD平分∠BAC，DC⊥AC

且DB⊥AB，∴BD=CD××√2、如图，OP平