20.2.2积的算术平方根 课件 -2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

#华东师大版九年级上册数学20.2.2《积的算术平方根》专项练习（全文1444字）##一、知识点梳理积的算术平方根性质：$\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}$（$\boldsymbol{a\ge0,b\ge0}$）。文字表述：积的算术平方根，等于积中各因式算术平方根的积。这个性质就是二次根式乘法公式的逆用，它的核心用途是化简二次根式，是本节学习的重点。公式成立有严格前提：$a$、$b$必须是非负数，若两个因式中有负数，不能拆分根号。例如$\sqrt{(-4)\times(-9)}$不能写成$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$，要先算出乘积$\sqrt{36}=6$。利用积的算术平方根化简二次根式的基本步骤：第一步，把被开方数分解质因数，或者分解成几个因式相乘的形式；第二步，把被开方数中能开得尽方的因数或因式分离出来；第三步，将可以开方的部分开方后移到根号外面，剩下不能开方的部分保留在根号内；第四步，检查结果，保证被开方数不含能开得尽方的因数或因式，得到最简二次根式。当被开方数含有字母时，题目若无特殊说明，默认字母取值使根式有意义。如果没有给出字母是非负数，开方移出根号时必须添加绝对值符号。常见形式：$\sqrt{a^2}=|a|$，当$a\ge0$时，$|a|=a$；当$\(a<0\)$时，$|a|=-a$。本节常见易错点：一是忽略$a\ge0,b\ge0$的条件，盲目拆分根号；二是分解因数不彻底，化简不完整；三是含有字母的根式化简，忘记考虑字母正负，漏掉绝对值；四是区分“积的算术平方根”和“二次根式乘法”，乘法是$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，用来做乘法计算；积的算术平方根是$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$，用来化简根式，二者互为逆运算，使用场景不同。##二、基础选择题1.下列变形正确的是（）A.$\sqrt{16\times9}=\sqrt{16}\times\sqrt{9}$B.$\sqrt{(-16)\times(-9)}=\sqrt{-16}\times\sqrt{-9}$C.$\sqrt{16+9}=\sqrt{16}+\sqrt{9}$D.$\sqrt{16-9}=\sqrt{16}-\sqrt{9}$2.化简$\sqrt{72}$的结果是（）A.$6\sqrt{2}$B.$8\sqrt{3}$C.$9\sqrt{8}$D.$12\sqrt{6}$3.化简$\sqrt{4a^3}(a\ge0)$的结果是（）A.$2a\sqrt{a}$B.$4a\sqrt{a}$C.$2\sqrt{a^3}$D.$2a^2$4.若$\sqrt{x(x-5)}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-5}$成立，则$x$的取值范围是（）A.$x\ge0$B.$x\ge5$C.$0\lex\le5$D.$\(x>5\)$5.化简$\sqrt{(-5)^2\times3}$的结果是（）A.$-5\sqrt{3}$B.$5\sqrt{3}$C.$\sqrt{75}$D.$15$##三、填空题1.$\sqrt{25\times16}=$________。2.化简$\sqrt{125}=$________。3.$\sqrt{0.36\times0.49}=$________。4.化简$\sqrt{18x^2}(x\ge0)=$________。5.如果$\sqrt{96n}$是整数，那么正整数$n$的最小值为________。##四、解答题1.利用积的算术平方根性质化简下列各式：（1）$\sqrt{50}$；（2）$\sqrt{216}$；（3）$\sqrt{0.81\times121}$；（4）$\sqrt{45a^2b}(a\ge0,b\ge0)$2.化简：（1）$\sqrt{(-6)^2\times5}$；（2）$\sqrt{12a^2b^3}(a\ge0,b\ge0)$3.一个正方形的面积是$\sqrt{288}\\mathrm{cm^2}$，化简这个面积的二次根式。4.拓展探究：化简$\sqrt{a^4b+a^3b^2}(a\ge0,b\ge0)$。##五、参考答案与解析###选择题1.A。解析：B中负数不能拆分根号；C、D根号不能对加减式子拆分。2.A。解析：$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。3.A。解析：$\sqrt{4a^3}=\sqrt{4a^2\cdota}=\sqrt{4a^2}\cdot\sqrt{a}=2a\sqrt{a}$。4.B。解析：$\begin{cases}x\ge0\\x-5\ge0\end{cases}$，解得$x\ge5$。5.B。解析：$\sqrt{(-5)^2\times3}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\times\sqrt{3}=5\sqrt{3}$。###填空题1.$20$；解析：$\sqrt{25\times16}=\sqrt{25}\times\sqrt{16}=5\times4=20$。2.$5\sqrt{5}$；解析：$\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt5$。3.$\(0.63\)$；解析：$\sqrt{0.36\times0.49}=0.6\times0.7=\(0.63\)$。4.$3\sqrt{2}x$；解析：$\sqrt{18x^2}=\sqrt{9x^2\times2}=3x\sqrt{2}$。5.$6$；解析：$\sqrt{96n}=\sqrt{16\times6n}=4\sqrt{6n}$，$6n$为完全平方数，$n$最小取6。###解答题1.（1）$\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$（2）$\sqrt{216}=\sqrt{36\times6}=6\sqrt{6}$（3）$\sqrt{0.81\times121}=\sqrt{0.81}\times\sqrt{121}=0.9\times11=9.9$（4）$\sqrt{45a^2b}=\sqrt{9a^2\cdot5b}=3a\sqrt{5b}$2.（1）原式$=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\times\sqrt5=6\sqrt5$（2）原式$=\sqrt{4a^2b^2\cdot3b}=2ab\sqrt{3b}$3.解：$\sqrt{288}=\sqrt{144\times2}=\sqrt{144}\times\sqrt2=12\sqrt{2}$答：化简结果为$12\sqrt{2}\\mathrm{cm^2}$。4.解：原式$=\sqrt{a^3b(a+b)}=\sqrt{a^2\cdotab(a+b)}=a\sqrt{ab(a+b)}$##六、易错总结积的算术平方根性质使用时，**前提条件$a\ge0,b\ge0$是重中之重**，只有乘积里的因式都非负，才能拆分成两个根式相乘。很多同学看到乘法就直接拆分根号，忽略负数情况，导致错误。注意：根号只能拆分积与商，不能拆分加法、减法，$\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$，这是高频陷阱。化简二次根式，分解质因数要分解到质数为止，保证被开方数没有平方因数。当被开方数含有平方形式，如$(-5)^2$，先计算平方得到正数，再拆分。题目给出字母$a\ge0,b\ge0$，移出根号直接写字母；若无说明，开方后要加绝对值。化简完成后必须检验，确认结果是最简二次根式，根号内不再含有能开得尽方的因数或因式。积的算术平方根用来化简，二次根式乘法用来计算，两个公式互为逆运算，做题时分清使用场景。（全文1444字）需要我继续做下一节**20.2.2二次根式的除法**的同规格1444字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学九年级上册20.2.2积的算术平方根授课教师：.

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十章二次根式02新知导入复习回顾

02新知导入

03新知讲解活动一:积的算术平方根与应用

利用这个性质可以进行二次根式的化简.也称为积的算术平方根的性质03新知讲解活动一:积的算术平方根与应用

知识点1

二次根式的除法1.

下列各式计算正确的是(

)B

B

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C

返回

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03新知讲解方法总结

03新知讲解方法总结4.符号处理技巧:被开方数内负负相乘先转化正数,再拆分;根号外负号保留,不参与拆分变形。5.综合题型思路:先正向乘法合并根号,再逆用积的算术平方根拆分化简,两步完成计算。05课堂练习

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