山西省运城市盐湖区2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题（含答案）

第页，共页山西省运城市盐湖区2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回．5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.2026年“山河之上是生活”山西文旅体验季在晋城王莽岭景区举办，为美化全新投用的卧龙场步行街广场，景区规划修建一处菱形绿化花池用来摆放太行特色花卉．如图，已知这个菱形花池的周长是12米，，则花坛对角线的长为（）A.米 B.6米C.米 D.3米3.将一元二次方程化成一般形式，则一次项系数和常数项的和是（）A. B. C. D.4.如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件能使菱形变为正方形的是（）A. B.C. D.5.已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两个方程实数根的情况，下列叙述正确的是（）A.甲有两个不相等的实数根，乙无实数根B.甲、乙都有两个不相等的实数根C.甲有两个相等的实数根，乙无实数根D.甲有两个相等的实数根，乙有两个不相等的实数根6.如图，在中，是斜边的中点，连接，以为边作正方形，若正方形的面积为，则的长为（）A. B. C. D.7.根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（）A. B. C. D.8.如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（）A. B. C.4 D.89.为落实山西省“一泓清水入黄河”重大生态工程部署，持续推进汾河生态廊道建设，某河段不断加大生态修复力度．该河段2024年治理水域面积为150万平方米，经过两年持续治理，预计2026年治理水域面积可达174.96万平方米．若治理水域面积的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（）A. B.C. D.10.关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（）A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.若是一元二次方程的一个根，则另一个根为____________．12.王家大院是山西灵石极具代表性的清代民居建筑群，院内大量木构门窗都配有精致的木雕装饰．古建筑修缮队在修复厢房的矩形木窗时，计划依次连接窗框四条边的中点，，，来制作精美的装饰边框．已知测得这扇窗户边，，则四边形的周长为____________m．13.2026年3月，山西省文化和旅游工作会议在太原召开，分组交流会上若每两名参会人员之间相互握手一次，经统计该研讨组共握手903次，设该研讨组共有名参会人员，根据题意可列方程为____________．14.如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位）15.如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是______________________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.用适当的方法解方程．（1）；（2）．17.如图，是等腰三角形，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求矩形的面积．18.关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若、是方程的两个实根，且，求的值．19.如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接交于点，若，，，求的长．20.项目式学习项目主题五台山风景文创摆件设计与销售项目背景五台山是山西省世界文化遗产、国家5A级旅游景区．某文创工坊设计一款矩形装饰工艺品，工艺品整体外框尺寸长、宽，中间印制五台山风景画，风景画四周留有宽度相等的空白边框．开展线下门店销售活动，请你完成下面项目任务．项目任务（1）任务1：若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白边框的宽度是多少？（2）任务2：已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为24000元？21.阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务：×年×月×日星期日今天，我在一本书上看到这样一道题：如图1，为矩形内的任意一点，求证．下面是这道题的部分证明过程：过点作，则．四边形是矩形，．，．任务：（1）请完成材料中剩余的证明过程；（2）如图2，为矩形内一点，且，，，直接写出的长（结果保留根号）．22.在一元二次方程的探究性学习中，为研究方程根与系数的变化规律，总结特殊方程的变换特征，现给出全新定义：对于一元二次方程，保持一次项系数不变，互换二次项系数与常数项得到的新方程，称为原方程的倒换系数方程．请结合该定义，完成下列探究问题：（1）方程的“倒换系数方程”是________；若是的“倒换系数方程”的解，则________．（2）若是一元二次方程的根，求证：是其“倒换系数方程”的根．（3）已知是一元二次方程的“倒换系数方程”的一个实数根，求的值．23.综合与探究问题情境：如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边，分别与正方形的边和交于点，（点与点，不重合）．探索线段，，之间的数量关系．（1）推理证明：求证：，并写出线段，，之间的数量关系：________；（2）拓展延伸：如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，探究下列问题：①请你写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；②如图3，当菱形的边长为8，点在线段上且运动至与点距离恰好为7的位置，当旋转至时，请直接写出的长度．参考答案1-10【答案】C【答案】D【答案】C【答案】A【答案】A【答案】D【答案】C【答案】B【答案】D【答案】D11.【答案】12.【答案】413.【答案】14.【答案】15.【答案】3或16（1）解：，∴，∴，∴，∴，.（2）解：，∴，∴，∴或，解得：，.16.【答案】（1）证明：∵是的中点，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，是中点，∴，即，∴四边形是矩形；（2）解：∵，，∴是等边三角形，∴，∵是中点，∴，在中，，，由勾股定理得：，∴矩形的面积．18.（1）证明：∵，，，∴，∵，∴，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）解：由题意可得，，∵，∴，解得．19.【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，∴四边形是菱形．（2）解：由（1）已证：四边形是菱形，∴，，∵，，∴，，又∵，，∴，∴在中，．20.（1）解：设空白画框的宽度为，根据题意列方程得：，解得：，，∵当时，，风景画长度为负数，不符合实际意义，舍去该解，∴．答：空白画框的宽度为．（2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为24000元，根据题意列方程得：，解得：，，答：该公司把销售单价降低20元或30元时，每天所获利润为24000元．21.【答案】（1）过点P作，则．∵四边形是矩形，∴，∴，，∴四边形和都是矩形，∴，，∴在和中，根据勾股定理得，同理，在和中，根据勾股定理得，∴；（2）解：过点P作，分别交、于点、，则．∴，，∵，∴，∴，由（1）知四边形和都是矩形，∴，，∴．22.【答案】（1）解：原方程中，，，“倒换系数方程”是；的“倒换系数方程”是，将代入，得，解得；（2）证明：∵是一元二次方程的根，∴，一元二次方程的“倒换系数方程”是，将代入“倒换系数方程”左边，得，∴能使方程的左右两边相等，是方程的根，∴是一元二次方程的“倒换系数方程”的根（3）解：∵一元二次方程的“倒换系数方程”是，是该方程的根，∴，∴，∴．23.【答案】（1）证明：∵正方形，∴，，∵∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴；（2）①，理由如下：如图2，取的中点T，连接，则，∵四边形为的菱形，∴，，平分，，∴是