有限单元法基础第2版 课件 第13、14章 小变形非线性有限元基本原理、有限元模型降阶方法

第13章小变形非线性有限元基本原理13.1引言小变形固体力学问题场方程小变形静力学问题有限元一般格式非线性代数方程数值解法小变形非线性动力有限元小变形非线性弹性有限元13.2小变形固体力学问题场方程1平衡方程2几何方程3本构方程线弹性本构4边界条件5初始条件13.3小变形静力学问题有限元一般格式1单元虚功方程代入虚功方程位移插值几何关系2系统有限元平衡方程结构划分n个结点，所有结点的位移列向量将所有单元虚功方程进行叠加是相邻单元作用于当前单元的等效结点载荷非线性材料线弹性材料非线性方程13.4非线性方程组数值解法1Newton法求解非线性方程组设是方程的n次近似解设新的近似解为代入方程，将在附近作Taylor展开1)Newton迭代算法算法Jacobi矩阵Taylor展开式取至线性项故：引入记号：有限元分析中，Jacobi矩阵代表切线刚度矩阵。Newton法迭代公式可改写为非线性方程迭代求解的收敛性如果迭代过程的序列满足迭代序列收敛于a*迭代过程中的一系列数值为如果则收敛如果存在常数称p阶收敛，收敛率为c。向量：p阶收敛，收敛率为c。收敛可采用不同范数收敛准则Newton迭代法要求初始值与解必须充分靠近，称其具有局部收敛性。初始值的选择至关重要。位移增量范数（α

为事先指定的一个很小的数）位移收敛准则：非平衡力：（β

为事先指定的一个很小的数）非平衡力收敛准则收敛阶大的序列比收敛阶小的序列收敛得快。Newton法得到的序列具有二阶收敛速度。迭代法的效率每迭代一步所需的工作量收敛速度满足的序列称为p阶收敛，收敛率为c。迭代算法过程（1）给定初始近似a0及计算精度α

和β（2）假定已进行了m次迭代，已求出：计算：（3）解方程组：求得：（4）计算：（5）若：或收敛，得到解。否则转至（2）进入下一循环。几何意义初始切线刚度切线刚度法2)简化Newton法为节省计算量，将每步计算改为使用固定的算法成为：每一步迭代所需计算时间减少，但迭代过程的收敛速度降低了，仅为线性速度。3)

修正

Newton

法为提高简化Newton法的收敛速度，可采用过量修正技术：过量修正因子可采用一维搜索方法，使在搜索方向上的分量为零，即：a）过量修正b）修正Newton法在使用简化Newton法时，每经过M次迭代后，重新计算一次Jacobi矩阵具有M＋1阶收敛速度。2拟Newton法应满足拟Newton方程

BFDS算法（最有效的方法之一）前述迭代法几乎都为局部收敛的，要求初始值与解充分靠近，实际计算中有时很困难。大多数非线性问题，如弹塑性问题，变形与加载的大小和历史有关，必须采用增量方法。3载荷增量法载荷因子，描述载荷变化的参数设a是对应于λ的解，是对应于的解作Taylor展开a）基本算法引入记号：考虑到：或将λ分成N个增量计算公式一般情况下b）改进方法改进算法（自修正方法）将由下列公式得到的解作为初步值，在增量步长内使用Newton迭代得到改进公式：（混合法）1Cauchy材料本构方程13.5小变形非线性弹性有限元非线性弹性材料应力-应变曲线变形可逆，可由现时应变唯一地确定现时应力。各向同性非线性弹性材料割线弹性矩阵割线柔度矩阵ES割线Young模量割线Poisson比割线体积模量割线剪切模量割线Young模量和割线Poisson比增量形式DT是应变的函数，称为材料的切线弹性矩阵次弹性材料非线性有限元方程2非线性有限元方程位移插值3方程求解Newton迭代法求解切线弹性矩阵DT是应变或位移a的函数Newton法迭代公式初始切线刚度法还可以采用拟Newton迭代法和其他算法。Newton法计算过程：a0=0（1）（2）（3）（4）（5）满足得收敛解，不满足转（2）13.6小变形非线性动力学有限元1有限元方程位移插值平衡方程和力的边界条件等效积分形式的Galerkin提法2非线性动力方程求解时刻的方程忽略阻尼Newmark求解方法依赖于tn时刻的解若（1）（2）（1）（2）若M为对角阵，显式算法。一种隐式求解方法将（1）代入利用Newton迭代法当前时间步更新解上标k表示时刻tn+1时的平衡迭代次数可把上一个时间步的收敛解作为当前时间步的初始值每一个时间步的收敛准则α为以误差容限小数广义α法若忽略阻尼采用Newton迭代法可得HHT-α法小变形非线性固体力学有限元方程非线性方程组数值解法Newton法拟Newton法载荷增量法动力学问题有限元非线性动力方程求解Newmark隐式算法显式式算法广义α法13.7小结第14章有限元模型降阶方法14.1引言人工智能数据驱动数字孪生大规模仿真计算模型降阶14.2模型降阶方法1基于物理的模型简化方法理解物理本质，减少模型复杂性近似方法、简化假设、简化方程结构力学三维实体杆、梁、板、壳运动学可变形体刚体有限元连续体离散体2代理模型方法常用方法输入参数黑盒输出参数代理模型多项式响应曲面法支持向量回归神经网络响应面模型克里金模型代理模型法数据拟合法按数据样本分类高保真度模型精度高的代理模型代价昂贵低保真度模型精度较低代价低廉常通过降低维度、线性化处理、物理模型简化、粗糙的分析域、部分收敛等获得多保真度模型结合高保真和低保真模型构建利用高保真度模型数据修正低保真度模型修正方式乘法修正加法修正综合修正空间映射精细网格FE模型实验数据粗糙网格FE模型样本抽样策略基于网格的方法全因子设计中心复合设计法基于优化准则的方法D最优设计空间填充法MonteCarlo法拉丁超立方抽样代理模型的精度取决于：小复合设计法数据点抽样方法域的大小数据抽样点处的模拟精度样本的大小3投影法本征正交分解法（POD）将控制方程投影到一个子空间，以实现模型空间的降维。减缩基方法Krylov子空间方法子结构法通过试验或数值模拟得到的响应数据，采用奇异值分解（SVD）构造用于模型降阶的基向量。通过Galerkin映射，构建一个低维的缩减基空间。通过构造一个低维的Krylov子空间，在子空间内寻找满足精度要求的原问题的近似解。将结构划分为子结构，通过自由度凝聚降维。14.3静态子结构法1子结构概念子结构分解子结构：结构中典型的重复结构子块。多重结构：子结构中嵌套的子结构。第一层子结构第二层子结构第三层子结构重复结构：重复出现的子结构。④①②③子结构的网格图外部结点（交界面结点）：与其它子结构或单元联结的结点。内部结点：子结构中除外部结点外的所有结点。1234567891011121314151617181920外部结点：5,10,15,20内部结点：外部结点外的所有结点交界面2静态凝聚和子结构法子结构s的有限元平衡方程内部自由度的凝聚消除了内部自由度超级单元刚度矩阵结点位移列向量等效结点载荷子结构组集后相邻子结构界面上的结点反力列向量相互抵消两相邻子结构1和2界面结点力平衡两子结构平衡方程+界面结点位移协调重复子结构坐标变换④①②③XYxy整体坐标重复子结构局部坐标子结构XYxyθxθy局部坐标系整体坐标系s：子结构编号。s①：s②：s③：s④：局部坐标系下刚度矩阵和等效结点载荷。14.4基于投影的模型降阶1基本原理动力学方程V：张成子空间的减缩基。原问题被映射到该子空间中。残值（余量）使残值r与V的列空间正交降阶矩阵和列向量与虚功原理等效性由虚功原理Petrov-Galerkin法W=VGalerkin法或Bubnov-Galerkin法与虚功原理一致。2线性算子子空间映射线性结构动力学方程降阶模型相对误差aref：全阶模型的位移场a：降阶模型计算结果关键问题：寻找构成减缩基V的基向量14.5模态截断减缩基降阶无阻尼系统动力学方程特征方程模态振型对于矩阵M和K正交模态叠加法C对角化1模态叠加法2模态截断解耦方程减缩基V模态向量选择准则准则1：选择感兴趣频率两倍的频率对应的模态向量准则2：基于一个模态自由度的激励实际应用：综合使用两个准则14.6Krylov子空间模型降阶1Arnoldi正交化过程和Krylov子空间任意初始近似向量在子空间Kn中寻找近似解zn使得残余向量与Ln正交对任意Kn和Ln的基底分别为存在使得假设非奇异的近似解当n=N时，近似解zn即为方程的精确解z*取Kn=Ln由矩阵的Hamilton-Cayley定理是A的特征多项式的系数由于矩阵A非奇异的精确解可表达为选取为一个Krylov子空间一个n维Krylov子空间就是由一个矩阵和一个向量张成的向量空间b称为起始向量为Krylov子空间的一组基向量当存在不止一个起始向量即为多输入系统时，可定义分块Krylov子空间为起始矩阵其退化为前述单输入Krylov子空间2一阶Krylov子空间模型降阶一阶线性时不变系统常数矩阵输入和输出矩阵f、y:

输入和输出状态变量做Laplace变换传递函数在频率s0附近泰勒展开第i阶“矩”Krylov子空间方法通过构造Krylov子空间间接使降阶模型和原模型一定数量的矩匹配找到一个降阶模型使其传递函数Hr能很好地近似原来的高阶模型的传递函数H，即需要降阶模型传递函数一定数量的矩和原模型匹配。由近似引起的残差Petrov-Galerkin条件迫使其残差为零，得到一个n维的降阶模型通过Krylov子空间的一组正交基向量来构造转换矩阵W和VKrylov子空间是由矩阵和向量张成的空间b为起始向量为Krylov子空间的一组基向量系统存在不止一个起始向量即为多输入系统时，可定义分块Krylov子空间单输入Krylov子空间多输入Krylov子空间输入Krylov子空间输出Krylov子空间单边Krylov方法V中的各列是n维输入Krylov子空间中的一组基底，且降阶模型和原模型的前n阶矩匹配通常取双边Krylov方法V和W分别为输入Krylov子空间和输出Krylov子空间中的一组基底，且降阶模型和原模型的前2n阶矩匹配线性时不变系统转换矩阵V的计算递推过程基向量几乎是线性相关的，不适用Arnoldi法对于Krylov子空间构造一组标准正交基的计算过程3二阶Krylov子空间降阶二阶线性结构动力学方程一般形式常数矩阵，描述载荷分布结构的输入结构动力学有限元方程转化成一阶微分方程降阶可采用一阶Krylov子空间方法进行降阶。导致系数矩阵的维数增加一倍，进而降低计算效率；破坏了原系统的结构特性。二阶Krylov子空间常数矩阵起始向量基向量退化为一阶Krylov子空间对二阶方程进行Laplace变换矩阵H在s0=0点做Tayler展开输入和输出二阶Krylov子空间14.7本征正交分解降阶方法1奇异值分解设A是的矩阵ATA称为为其相关矩阵对称且可以对角化A可分解为奇异值分解为正交矩阵为正交矩阵为对角阵其对角元素为奇异值是按递减排列的相关矩阵ATA的特征值开方若矩阵A的秩为r，则Dr是的对角阵其对角元素是A的前r个奇异值因U和V为正交矩阵U的列向量称为左奇异向量，为AAT的特征向量V的列向量称为右奇异向量，为ATA的特征向量2本征正交分解（POD）基数据集假设是X的标准正交基仅利用的前n个基向量来逼近样本向量xi误差当选择矩阵X的前n个左奇异值向量为POD基向量时，不仅满足最优性条件，而且也获得最小误差由此确定的本征正交（POD）基又称为本征正交模态。实际应用中，称X为观测数据矩阵，其包含m组观测数据快照向量快照矩阵矩阵X的秩为r，则相关矩阵XXT的特征值为X的奇异值为（i=1,2…,N）选择相关矩阵XXT的前n个特征向量为POD基向量3瞬态热传导方程POD降阶利用数值模拟或实验获得不同时刻的温度场，形成快照矩阵进行奇异值分解，可以得到POD基形成转换矩阵V原阶模型场变量降阶模型场变量降阶方程4结构动力学方程POD降阶获得m个时刻位移响应构成的快照矩阵对全阶动力学方程在一个较短时间段内进行积分对其进行奇异值分解，可以得到POD基作为转换矩阵V降阶方程14.8动态降阶子结构方法1Guyan-Irons降阶无阻尼动力学有限元方程静态凝聚：忽略惯性力和作用在内部自由度结点上的外载荷忽略了内部自由度的动态作用，通过静力关