2026年山东省淄博中考数学真题（试卷+解析）

淄博市2026初中学业水平考试——数学试题试卷类型：A注意事项：本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号等填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号等，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂，非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠、不破损．一、选择题1.如图，数轴上的点表示的数是（）A. B. C. D.2.下列“幼圆字体”汉字中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.某几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（）A.长方体 B.圆柱 C.球 D.圆锥4.2026年5月18日，第二十一届“中国光谷”国际光电子博览会开幕．我国在光通信核心器件领域取得突破，全球首款面向算力集群的硅光单模产品亮相，光纤传输速率为每秒比特，即．将数据“”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.5.如图，某冰球运动员用球杆连续击球，使冰球从点出发，沿，，，运动至点，已知，，若，则的度数是（）A. B. C. D.6.下列运算，正确的是（）A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.9.如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（）A.哥哥比小颖大6岁 B.哥哥比小颖大7岁 C.哥哥比小颖大8岁 D.哥哥比小颖大9岁10.如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的一点，是半圆外的一点，四边形为菱形，是与半圆的交点，线段分别交，于点，．若点平分线段，，则线段的长是（）A. B. C. D.二、填空题11.正方形面积为5，则正方形边长为______．12.如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______．13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．14.如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______．15.如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______．三、解答题16.先化简，再求值：，其中．17.在中，，是的一条角平分线．（1）如图①，若，求的度数；（2）如图②，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．求证：．18.中国剪纸是人类非物质文化遗产，为传承中华优秀传统文化，某校开展了“非遗剪纸进校园”活动．信息一：学校随机抽取部分学生，以投票的方式（每人一票），从“A．窗花”“B．人物”“C．生肖”“D．山水”四类剪纸主题中，选出学生最喜欢的类型作为活动主题．统计投票结果，整理并绘制了如下不完整的统计图．信息二：在活动中，评委对甲、乙、丙三位同学的剪纸作品进行了打分，打分内容包括以下三项：构图规范、图案创意、文化寓意（每项满分100分）．三人的得分分别如下：请解决下列问题：（1）请直接写出统计图中的______，______；（2）请补全上面的频数分布直方图；（3）若该校学生共有2000人，请估计最喜欢“C．生肖”主题的学生人数；（4）若将构图规范、图案创意、文化寓意这三项得分依次按的比例计算各人的成绩，哪位同学成绩最高？说明理由．

构图规范图案创意文化寓意甲909587乙928490丙90869219.蝙蝠在飞行时会发出超声波，这些声波碰到墙壁或昆虫时会反射回来，根据回声到来的方位和时间，蝙蝠可以确定目标的位置和距离，科学家利用这个原理发明了声呐，声呐系统可以帮助人们探知海洋的深度．声呐向海底垂直发射声波，经过秒收到回波，测得海水深度为米．已知科考队在某次测绘活动中，测得某海域不同位置的部分数据如下表：时间/秒0.81.422.32.8海水深度/米6001050150017252100（1）请由以上数据确定与的函数表达式；（2）科考队在该海域水面上某处垂直向下发射声波，经过3.8秒收到回波，则此处海水的深度是多少米？某探测器最大下潜深度为2900米，问能否在此处安全进行海底作业？20.如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为．（1）求的值；（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集；（3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积．21.某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量．【问题提出】如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形．根据工件制作标准得知，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上．现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积．【方案设计】测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺．操作步骤：同学们用刻度尺测量的长度，用量角器测量和的角度，用游标卡尺测量圆孔直径的长度．【问题解决】已知，，，圆孔直径为．（参考数据：，）（1）求弧所在圆的半径；（2）求阴影部分的面积．（结果精确到）（3）如果不测量的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面面积？如果能，写出该线段；如果不能，说明理由．22.已知二次函数的图象关于轴对称，且经过点．（1）求m，n的值；（2）如图，A，B，C为抛物线上三个不同的点，其横坐标分别为a，b，c，且．将沿翻折得到，B的对应点为．①当时，点恰好落在该抛物线上，且横坐标为1，求点A的坐标；②若，，是否存在实数b使得四边形的周长为36？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．23.在数学课上，小明以“三角形的旋转”为主题开展探究．【问题背景】如图①，在三角形纸片和三角形纸片中，，，．小明把三角形纸片的顶点放在的中点上，点与点重合，此时与交于点．现将三角形纸片绕点逆时针旋转，的对应点为，的对应点为，旋转角为．【初步探究】（1）如图②，，当点落在线段上时，的长是______；（2）如图③，当点落在线段上时，连接，求的值；（3）如图④，若旋转角满足，延长和分别交射线于，，当取得最大值时，求的值．淄博市2026初中学业水平考试——数学试题试卷类型：A注意事项：本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号等填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号等，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂，非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠、不破损．一、选择题1.如图，数轴上的点表示的数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数是1．2.下列“幼圆字体”汉字中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形．【详解】解：A.该选项汉字是轴对称图形；B.该选项汉字不是轴对称图形；C.该选项汉字不是轴对称图形；D.该选项汉字不是轴对称图形．3.某几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（）A.长方体 B.圆柱 C.球 D.圆锥【答案】D【解析】【分析】由主视图确定侧面形状，由俯视图确定底面形状．【详解】解：主视图为三角形，则该几何体为锥体；俯视图为圆，则底面为圆，故该几何体为圆锥．4.2026年5月18日，第二十一届“中国光谷”国际光电子博览会开幕．我国在光通信核心器件领域取得突破，全球首款面向算力集群的硅光单模产品亮相，光纤传输速率为每秒比特，即．将数据“”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数．先确定的取值，因为要满足，所以需要将原数的小数点向左移动，得到符合要求的．再确定的取值，因为的绝对值等于原数小数点移动的位数，且原数绝对值大于10时为正，所以根据小数点移动的位数得到的值，即可写出科学记数法的表达式．【详解】解：．5.如图，某冰球运动员用球杆连续击球，使冰球从点出发，沿，，，运动至点，已知，，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平行线的性质，先由得出内错角相等，求出的度数，再由得出同旁内角互补，从而求出的度数．【详解】解：，．，，．6.下列运算，正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别根据幂的乘方法则、同底数幂相乘、单项式乘多项式计算判断前三项的正确性，利用平方差公式和多项式乘多项式即可判断最后一个选项的正确性．【详解】解：A、，错误；B、，正确；C、，错误；D、，，，二者不相等，错误．7.在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点的象限即可确定的取值范围．【详解】解：∵点在第四象限，∴，解不等式，得，解不等式，得，∴的取值范围是．8.如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作辅助线构造全等三角形，将已知线段转化到含待求线段的直角三角形中，利用三角函数求解即可．【详解】解：过点作于点，如图：∵四边形是矩形，

∴，，

∴，∵，，∴.在和中，，

，∴，∵，，∴点在射线上，∴，在中，.

∴，∴∴

按键顺序为．9.如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（）A.哥哥比小颖大6岁 B.哥哥比小颖大7岁 C.哥哥比小颖大8岁 D.哥哥比小颖大9岁【答案】A【解析】【分析】利用年龄差不变列出二元一次方程组，解出两人现在年龄，相减求出年龄差，选出正确选项．【详解】解：设哥哥现在x岁，小颖现在y岁，根据题意得到二元一次方程组：，即解得：∴年龄差：，即哥哥比小颖大6岁．10.如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的一点，是半圆外的一点，四边形为菱形，是与半圆的交点，线段分别交，于点，．若点平分线段，，则线段的长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先结合菱形的性质证明，进而证明，由相似三角形的性质确定，的长度；再证明，由全等三角形的性质确定，的长度；过点E作于点G，过点C作于点H，设，由勾股定理解得，由三角函数可得；证明，在中，由三角函数和勾股定理解得的长度，然后在中由勾股定理求线段的长即可．【详解】解：∵四边形为菱形，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵点平分线段，∴，在和中，，∴，∴，∴，过点E作于点G，过点C作于点H，如下图，设，在和中，，∴，解得，即，∴，∵，∴，在中，，∴，在中，．二、填空题11.正方形面积为5，则正方形边长为______．【答案】【解析】【分析】正方形面积等于边长的平方，边长为正数，对面积开算术平方根即可得到边长.【详解】解：设正方形的边长为，，，∵，∴，即正方形的边长为．12.如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______．【答案】【解析】【分析】由题意可知书房里所有地砖的数量以及黑色地砖的数量，代入概率公式即可求解．【详解】解：由题意可知，书房里地砖共有块，其中黑色地砖有块，小球停在黑砖上的概率为．13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．【答案】【解析】【分析】根据“式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个相等的实数根”，据此列出关于的方程求解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：，∴的值是．14.如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______．【答案】【解析】【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解．【详解】解：与分别是中所对的圆周角和圆心角，，，，，平分，，，是的直径，，，．15.如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______．【答案】【解析】【分析】观察图①、图②、图③中数字的个数变化，发现每秒增加的的个数构成公差为的等差数列，从而得出秒后数字之和的通项公式，列方程求解即可．【详解】解：观察图形可知：图①（秒）中数字的个数为，数字之和为；图②（秒）中数字的个数为，数字之和为；图③（秒）中数字的个数为，数字之和为；由此发现，每过秒，增加的数字的个数比上一秒多个，第秒增加个，第秒增加个，，第秒增加个，则秒后数字的总个数为：，根据题意，得：，整理得：，即：，解得：，∵数字不断增加，．三、解答题16.先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】先通分计算括号内式子，分解因式后约分化简，再代入求值．【详解】解：．当时，原式．17.在中，，是的一条角平分线．（1）如图①，若，求的度数；（2）如图②，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．求证：．【答案】（1）（2）证明：∵，∴，由题意知，平分，平分，∴，，∴，在和中，，∴．【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，结合三角形内角和得到，最后根据角平分线的定义得到；（2）根据等边对等角和角平分线的定义得到和，根据证明三角形全等．【小问1详解】解：∵，∴，∵，∴，∵是的一条角平分线，∴；【小问2详解】略18.中国剪纸是人类非物质文化遗产，为传承中华优秀传统文化，某校开展了“非遗剪纸进校园”活动．信息一：学校随机抽取部分学生，以投票的方式（每人一票），从“A．窗花”“B．人物”“C．生肖”“D．山水”四类剪纸主题中，选出学生最喜欢的类型作为活动主题．统计投票结果，整理并绘制了如下不完整的统计图．信息二：在活动中，评委对甲、乙、丙三位同学的剪纸作品进行了打分，打分内容包括以下三项：构图规范、图案创意、文化寓意（每项满分100分）．三人的得分分别如下：请解决下列问题：（1）请直接写出统计图中的______，______；（2）请补全上面的频数分布直方图；（3）若该校学生共有2000人，请估计最喜欢“C．生肖”主题的学生人数；（4）若将构图规范、图案创意、文化寓意这三项得分依次按的比例计算各人的成绩，哪位同学成绩最高？说明理由．

构图规范图案创意文化寓意甲909587乙928490丙908692【答案】（1）20；15（2）（3）700人（4）解：甲同学成绩最高，理由如下：甲同学的成绩为：，乙同学的成绩为：丙同学的成绩为：，∵，∴甲同学成绩最高．【解析】【分析】（1）用“C．生肖”的人数除以其人数占比可求出参与调查的学生人数，再根据“A．窗花”和“D．山水”的人数占比可求出的值；（2）求出“B．人物”的学生人数，再补全统计图即可；（3）用2000乘以样本中最喜欢“C．生肖”主题的学生人数占比即可得到答案；（4）分别计算出三位同学的成绩，比较即可得到结论．【小问1详解】解：（人），∴本次一共抽取的学生人数为100人，∴，，∴；【小问2详解】解：由（1）得“B．人物”的学生人数为（人），补全统计图见答案；【小问3详解】解：（人），答：估计最喜欢“C．生肖”主题的学生人数为700人；【小问4详解】略19.蝙蝠在飞行时会发出超声波，这些声波碰到墙壁或昆虫时会反射回来，根据回声到来的方位和时间，蝙蝠可以确定目标的位置和距离，科学家利用这个原理发明了声呐，声呐系统可以帮助人们探知海洋的深度．声呐向海底垂直发射声波，经过秒收到回波，测得海水深度为米．已知科考队在某次测绘活动中，测得某海域不同位置的部分数据如下表：时间/秒0.81.422.32.8海水深度/米6001050150017252100（1）请由以上数据确定与的函数表达式；（2）科考队在该海域水面上某处垂直向下发射声波，经过3.8秒收到回波，则此处海水的深度是多少米？某探测器最大下潜深度为2900米，问能否在此处安全进行海底作业？【答案】（1）（2）此处海水的深度是2850米，能在此处安全进行海底作业【解析】【分析】（1）由表格数据可知与成正比例关系，再由待定系数法求解析式即可；（2）将代入（1）中的解析式求得此处海水的深度，再与2900米比较，即可得出结论．【小问1详解】解：由表格数据可知与成正比例关系，设，将代入得，解得，∴与的函数表达式为；【小问2详解】解：当秒时，（米），∵，∴能在此处安全进行海底作业．20.如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为．（1）求的值；（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集；（3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解；（3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解．【小问1详解】解：∵点在反比例函数上，∴，即，∴在直线上，∴，解得；【小问2详解】解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，，∴A、B关于原点对称，∴，观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方，∴不等式的解集为或；【小问3详解】解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线，∴直线的解析式为，联立，解得或，∴，，如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，当时，；当时，；∴，，∵将直线向上平移3个单位长度得到直线，∴，∴．21.某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量．【问题提出】如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形．根据工件制作标准得知，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上．现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积．【方案设计】测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺．操作步骤：同学们用刻度尺测量的长度，用量角器测量和的角度，用游标卡尺测量圆孔直径的长度．【问题解决】已知，，，圆孔直径为．（参考数据：，）（1）求弧所在圆的半径；（2）求阴影部分的面积．（结果精确到）（3）如果不测量的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面面积？如果能，写出该线段；如果不能，说明理由．【答案】（1）（2）（3）能，测量或或、、的长【解析】【分析】（1）连接，，由切线的性质得，，由等腰三角形的判定及性质即可求解；（2）由图形得即可求解；（3）测量或或、、的长，情况：测量，，由同理可求；情况2：测量，由勾股定理求得；由情况同理可求；情形：测量、、的长，由（2）同理可求．【小问1详解】解：连接，，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上，，，，，，，，故弧所在圆的半径为；【小问2详解】解：由（1）得，，，，，；【小问3详解】解：能，测量或或、、的长；情况：测量，由（1）（2）得：，，设，则，，，，解得（负值已舍），，由同理可求；情况2：测量，由勾股定理求得；由情况同理可求；情形况：测量、、的长由（2）同理可求．22.已知二次函数的图象关于轴对称，且经过点．（1）求m，n的值；（2）如图，A，B，C为抛物线上三个不同的点，其横坐标分别为a，b，c，且．将沿翻折得到，B的对应点为．①当时，点恰好落在该抛物线上，且横坐标为1，求点A的坐标；②若，，是否存在实数b使得四边形的周长为36？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）①；②存在，．理由见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的轴对称性得到，将代入二次函数解析式求解即可；（2）①过点作轴，分别过点A，C作于点D，于点E，根据相似三角形的判定与性质列方程求解即可；②过点B作轴，分别过点A，C作于点N，于点M，先证明，可得，进一步证明，，可求得，再根据四边形的周长为36列方程求解即可．【小问1详解】解：二次函数的图象关于y轴对称，且经过点，，