人教A版高中数学必修一 1.5.1　全称量词与存在量词

1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词学习目标1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.【引入】学校为了迎接秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演,这1000名学生符合下列条件:(1)所有学生都来自高二年级;(2)至少有30名学生来自高二(1)班;(3)每一个学生都有固定表演路线.上述条件中包含以下短语:“所有”“至少有”和“每一个”,这些短语在逻辑上称为什么?含有这些短语的命题称为什么命题?一、全称量词与全称量词命题探究1下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?(1)x>5;(2)3x+2是整数;(3)对所有的x∈R,x>5;(4)对任意一个x∈Z,3x+2是整数.提示语句(1)(2)中含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题.全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号表示∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”温馨提示(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.例1下列命题是否为全称量词命题?若是,请指出全称量词,并判断其真假.(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)∀x∈R,x2>0;(3)矩形的对角线相等.解(1)是,省略全称量词“任意一个”,真命题.(2)是,全称量词“∀”,假命题.(3)是,省略全称量词“任意一个”,真命题.思维升华1.判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有“所有的,任意一个,一切”等表示全体的量词,有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别.2.判断真假时用直接法或间接法,直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立,间接法就是找到一个元素使结论不成立.训练1(链接教材P27例1)判断下列全称量词命题的真假.(1)所有的素数都是奇数;(2)∀x∈R,|x|+1≥1;(3)对任意Rt△ABC的两锐角A,B都有sinA=cosB.解(1)2是素数,但2不是奇数,故全称量词命题(1)是假命题.(2)∀x∈R,|x|≥0,则|x|+1≥1.故全称量词命题(2)是真命题.(3)设Rt△ABC的角A,B,C的对边为a,b,c,则sinA=ac,cosB=ac,所以sinA=cos故全称量词命题(3)是真命题.二、存在量词与存在量词命题探究2下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?(1)3x+1=7;(2)x能被3和5整除;(3)存在一个x∈R,使3x+1=7;(4)至少有一个x∈Z,x能被3和5整除.提示容易判断,(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句,因此(3)(4)是命题.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”温馨提示(1)从集合的角度看,存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题.(2)有些命题可能没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.例2(链接教材P28例2)下列命题是否为存在量词命题?若是,请指出存在量词,并判断其真假.(1)存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0;(2)∃x∈R,(2x-3)2≥0;(3)有些整数既能被2整除,又能被3整除;(4)有一个实数x,使x2+2x+4=0.解(1)是,存在量词是“存在一个”.因为存在一个实数对(-1,-2),使得2×(-1)+3×(-2)+3<0,所以存在量词命题“存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0”是真命题.(2)是,存在量词是“∃”.因为∀x∈R,(2x-3)2≥0,所以存在量词命题“∃x∈R,(2x-3)2≥0”是真命题.(3)是,存在量词是“有些”.因为存在整数6,既能被2整除,又能被3整除,所以存在量词命题“有些整数既能被2整除,又能被3整除”是真命题.(4)是,存在量词是“有一个”.由于Δ=4-4×4<0,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以存在量词命题“有一个实数x,使x2+2x+4=0”是假命题.思维升华1.判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有表示部分的量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别.2.要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题.训练2指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.(1)有一些二次函数的图象过原点;(2)∃x∈R,2x2+x+1<0;(3)任何实数都有算术平方根.解(1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如y=x2,其图象过原点,故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题.∵2x2+x+1=2x+142+∴不存在x∈R,使2x2+x+1<0.故该命题是假命题.(3)该命题是全称量词命题.取x=-1∈R,但x无意义,故该命题是假命题.三、依据含量词命题的真假求参数范围例3已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠⌀,若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围.解由于命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,所以B⊆A,又B≠⌀,所以m解得2≤m≤3.故m的取值范围为{m|2≤m≤3}.迁移把本例中命题p改为“∃x∈A,x∈B”,求m的取值范围.解p为真,则A∩B≠⌀,因为B≠⌀,所以m≥2.所以-2解得2≤m≤4.故实数m的取值范围为{m|2≤m≤4}.思维升华依据含量词命题的真假求参数取值范围:(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.训练3若命题“∃x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,求实数a的取值范围.解∵命题“∃x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,∴方程x2-4x+a=0存在实数根,则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4.∴实数a的取值范围是{a|a≤4}.【课堂达标】1.下列命题中形式不同于其他三个的是()A.∀x∈Z,x2-9<x2B.∃x∈R,x2-2x+1≠0C.每一个正数的倒数都大于0D.∀x<2,x-3<0答案B解析ACD均为全称量词命题,B为存在量词命题.2.(多选)下列命题中是假命题的为()A.∃x∈Z,1<4x<3B.∃x∈Z,2x2-3x+1=0C.∀x∈R,x2-1=0D.∀x∈R,x2+2x+2>0答案AC解析由1<4x<3,得14<x<34,A由2x2-3x+1=0得x=12或x=1,故B为真命题由x2-1=0得x=±1,故C为假命题;由x2+2x+2=(x+1)2+1>0,故D为真命题.3.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为.

答案∃x<0,(1+x)(1-9x)2>0解析存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”.4.已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤3},x-a≥0,若命题p是真命题,则实数a的取值范围是.

答案{a|a≤1}解析由p为真命题,知a≤x.又1≤x≤3,因此a≤1.课时精练一、基础巩固1.命题“实数的平方不小于零”可以表示为()A.∀x∈R,x2≥0 B.∃x∈R,x2≥0C.∀x∈R,x2>0 D.∃x∈R,x2>0答案A解析命题“实数的平方不小于零”为全称量词命题,可以表示为∀x∈R,x2≥0.2.(多选)下列命题是全称量词命题的是()A.任意一个自然数都是正整数B.有的菱形是正方形C.梯形有两边平行D.∃x∈R,x2+1=0答案AC解析选项A中的命题含有全称量词“任意”,是全称量词命题.选项C中,“梯形有两边平行”是全称量词命题.3.下列命题中为存在量词命题的是()A.有些自然数是偶数B.正方形是菱形C.能被6整除的数也能被3整除D.对于任意x∈R,总有|x|≥0答案A解析命题A含有存在量词;命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量词命题;而命题D是全称量词命题.4.(多选)下列四个命题中为真命题的有()A.一切实数均有相反数B.∃a∈N,使得方程ax+1=0无实数根C.梯形的对角线相等D.有些三角形不是等腰三角形答案ABD解析A为真命题;对于B,当a=0时,方程ax+1=0无实数根;对于C,等腰梯形的对角线相等,故C错误;D为真命题.5.(多选)下列全称量词命题中是真命题的有()A.对于任意实数x,都有x+2>xB.对任意的实数a,b,都有若|a|>|b|,则a2>b2成立C.二次函数y=x2-ax-1与x轴恒有交点D.∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0答案ABC解析ABC为真命题,D为假命题.6.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使1x答案B解析A中,锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题;B中,x=0时,x2=0,所以B既是存在量词命题又是真命题;C中,由于3+(-3)=0,知C为假命题;D中,对∀x<0,都有1x<0,知D为假命题7.(多选)命题p:存在实数x∈R,使得数据1,2,3,x,6的中位数为3.若命题p为真命题,则实数x的取值集合可以为()A.{3,4,5} B.{x|x>2}C.{x|x≥3} D.{x|3≤x≤6}答案ACD解析因为中位数为3,所以x≥3,因此选项A,C,D均满足要求.8.给出下列三个命题:①∀x∈R,x2+1≠0;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1.其中全称量词命题是(填序号).

答案①②解析②省略了量词“所有的”.9.给出下列命题:①∀x∈R,x+1>0;②∃a∈∁RQ,b∈∁RQ,使得a+b∈Q;③存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大.其中真命题的个数为.

答案2解析对于①,存在x=-2,使得x+1<0,是假命题;对于②,当a=2-2,b=3+2时,a+b=5,是真命题;对于③,当a>0时,函数y=ax+b的值随x的增大而增大,是真命题.10.已知命题p:∃x∈R,x2+2x-a=0,若p为假命题,则实数a的取值范围是.

答案{a|a<-1}解析依题意,方程x2+2x-a=0无实数根,∴Δ=4+4a<0,解得a<-1.11.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)∀x∈N,2x+1是奇数;(2)存在一个x∈R,使1x-1解(1)是全称量词命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.(2)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使1x-1=0所以该命题是假命题.二、综合运用12.下列命题中,是真命题的为()A.∃x∈R,x2+x+3=0B.∀x∈R,x2+x+2>0C.∀x∈R,x2>|x|D.已知集合A={a|a=2n},B={b|b=3m},则对于任意的n,m∈N*,都有A∩B=⌀答案B解析选项A,对于方程x2+x+3=0,Δ=1-12=-11<0,显然此方程无实数解,故A是假命题;选项B,x2+x+2=x+122+74≥7选项C,当x=0时,0>0不成立,故C是假命题;选项D,当a,b都取6的正整数倍时,A∩B≠⌀,故D是假命题.13.已知命题“∃-3≤x≤2,3a+x-2=0”为真命题,则实数a的取值范围为.

答案a解析由3a+x-2=0,得3a-2=-x,∵-3≤x≤2,∴-2≤-x≤3,∴-2≤3a-2≤3,即0≤a≤53故实数a的取值范围是a014.若∀x∈R,函数y=x2+mx-1-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.解因为函数y=x2+mx-1-a的图象和x轴恒有公共点,所以Δ=m2+4(1+a)≥0恒成立,即m2+4a+4≥0恒成立.设y1=m2+4a+4,则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1=02-4(4a+4)≤0,可得a≥-1.综上所述,实数a的取值范围是{a|a≥-1}.三、拓展提高15.已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2+1≥a,命题q:∃x∈{x|-1≤x≤1},使得2x+a-1>0成立.若p是真命题,q是假命题,则实数a的取值范围为.

答案{a|a≤-1}解析当p是真命题时,a≤(x2+1)min,又1≤x≤2,知a≤2.当q为真命题时,则a>(1-2x)min,由于-1≤x≤1,知a>-1.故当p真q假时,