人教A版高中数学必修一 4.3.1　对数的概念

4.3对数4.3.1对数的概念学习目标1.理解对数的概念,了解自然对数和常用对数.2.会进行对数式与指数式的互化.3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.【引入】在4.2.1的探究1中,通过指数幂运算,我们能从y=1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之,如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍,3倍,4倍,…,那么该如何解决?一、对数的概念探究1我们知道若2x=4,则x=2;若3x=81,则x=4;若12x=8,则x=-3等等这些方程,我们可以轻松求出x的值,但对于2x=3,1.11x=2,10x=5等这样的指数幂,还能用指数的性质求x提示不能用指数的性质解决,为了解决这个问题,早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案,那就是发现了指数与对数的互逆关系,用对数来表示指数方程的解.1.定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.两类特殊对数(1)常用对数:以10为底的对数,记为lgN.

(2)自然对数:以e为底的对数,记为lnN.

温馨提示(1)指数式与对数式的关系(2)对数是由指数转化而来,则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变化.(2)logaN的读法:以a为底N的对数.探究2[链接教材P127T2(1)]在对数式y=log(x-2)(4-x)中,实数x的取值范围是什么?提示由题意可知4-解得2<x<4且x≠3.角度1对数和指数的互化例1(链接教材P122例1)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1)2-7=1128;(2)1(3)log1327=-3;(4)log解(1)∵2-7=1128,∴-7=log21(2)∵14-2=16,∴log(3)∵log1327=-3,∴1(4)∵logx64=-6,∴(x)-6=64思维升华1.指数式与对数式互化的方法(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.2.指数式与对数式互化注意两点:(1)字母位置的改变,(2)对数式的书写要规范(ab=N⇔b=logaN).训练1(链接教材P123练习T1)将下列指数式、对数式互化:(1)43=64;(2)lna=b;(3)12m=(4)lg1000=3.解(1)因为43=64,所以log464=3;(2)因为lna=b,所以eb=a;(3)因为12m=n,所以log12(4)因为lg1000=3,所以103=1000.角度2利用对数的定义计算例2(链接教材P123例2)求下列各式中x的值:(1)-lgx=2;(2)logx164=-3解(1)由题意,lgx=-2,∴x=10-2=1100(2)由logx164=-3,得x-3=164=4∴x=4.思维升华1.求对数式中x的值,注意利用方程的思想求解.2.主要求解步骤:(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题;(2)利用指数的性质计算.训练2求下列各式中x的值:(1)logx27=32;(2)log2x=-2(3)x=log919;(4)x=log1解(1)由logx27=32,所以x∴x12=3,解得x(2)由log2x=-23,得x=2-2(3)因为x=log919,得9x=1∴9x=9-1,从而x=-1.(4)由x=log1216,得16=12x∴24=2-x,则x=-4.二、对数性质及恒等式1.对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)loga1=0(a>0,且a≠1).(3)logaa=1(a>0,且a≠1).2.对数恒等式alogaN=N(a>0,且a≠角度1对数基本性质的应用例3求下列各式中的x的值.(1)log2(log3x)=0;(2)log5(log2x)=1.解(1)因为log2(log3x)=0,所以log3x=1,所以x=3.(2)因为log5(log2x)=1,所以log2x=5,所以x=25=32.迁移若本例(1)中“log2(log3x)=0”改为“log2(lgx)=0”,求x12解由log2(lgx)=0,得lgx=1,∴x=10,则x12=角度2对数恒等式的应用例4(1)12-1+log(2)23+log23+3答案(1)8(2)25解析(1)12-1+log0.54=12(2)23+log23+32-log39=23×2思维升华1.求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.2.符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式:alogaN=N,logaa训练3(1)若log8[log7(log2x)]=0,则x13=(2)2512lo(3)lne+ln1+eln3=.

答案(1)432(2)4解析(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,则log2x=7.∴x=27=128,故x13=3128=3(2)2512log(3)lne+ln1+eln3=1+0+3=4.【课堂达标】1.(多选)下列选项中,可以求对数的是()A.1 B.0C.π D.-x2答案AC解析根据对数的定义,得0和负数没有对数,∴选项B不可以求对数;又-x2≤0,∴选项D不可以求对数;∵π>0,1>0,∴选项A,C可以求对数.2.将13-2=9写成对数式,正确的是(A.log913=-2 B.logC.log13(-2)=9 D.log9答案B解析由对数定义及13-2log133.方程3log2x=127的解是答案1解析∵3log2x=3-3,∴故x=2-3=184.已知log7[log3(log2x)]=0,那么x-12=答案2解析∵log7[log3(log2x)]=0,∴log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=23,∴x-12=(23)-12=课时精练一、基础巩固1.将23=8化为对数式正确的是()A.log23=8 B.log28=3C.log82=3 D.log32=8答案B解析指对互化时,底数不变.故选B.2.使对数log(t-2)(t-3)有意义的t的取值范围为()A.(2,3) B.(3,+∞)C.(2,+∞) D.[3,+∞)答案B解析由题意可得t解得t>3,所以实数t的取值范围是(3,+∞).3.lg1-lne2+21+log23A.2 B.3C.4 D.5答案C解析原式=0-2+2×2log234.设5log5(2x-1)=25,A.10 B.13C.100 D.12答案B解析由5log5(2x-1)=25,得25.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()A.100=1与lg1=0B.27-13=13与logC.log39=12与9D.log55=1与51=5答案ABD解析因为912=3化为对数式应为log93=12,故C不正确6.(多选)以下四个结论正确的是()A.lg(lg10)=0B.ln(lne)=0C.若10=lgx,则x=10D.若e=lnx,则x=e2答案AB解析lg(lg10)=lg1=0,ln(lne)=ln1=0,故A,B正确;若10=lgx,则x=1010≠10,故C错误;若e=lnx,则x=ee≠e2,故D错误.7.设a=log310,b=log37,则3a-b的值为()A.107 B.C.1049 D.答案A解析3a-b=3a÷3b=3log=10÷7=1078.计算:2log23+2log31-3log77+3ln答案0解析原式=3+2×0-3×1+3×0=0.9.若log3(a+1)=1,则loga2+log2(a-1)=.

答案1解析由log3(a+1)=1,得a+1=3,即a=2,所以loga2+log2(a-1)=log22+log21=1+0=1.10.若log5x=2,logy8=3,则x+y=.

答案27解析因为log5x=2,所以x=52=25,因为logy8=3,所以y3=8,所以y=2,所以x+y=27.11.将下列指数式、对数式互化.(1)35=243;(2)2-5=132(3)log1381=-4;(4)log2解(1)log3243=5;(2)log2132(3)13-4=81;(4)27二、综合运用12.已知3x=2,log394=y,则2x+y的值为(A.1 B.2C.3 D.9答案B解析由log394=y,∴3y=9又3x=2,∴(3x)2·3y=32x+y=4×94=9因此2x+y=2.13.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1,则x·y34的值是答案64解析因为log2(log3(log4x))=0,所以log3(log4x)=1,即log4x=3,所以x=43=64,同理得y=16,所以x·y34=64×1634=8×14.若log12x=m,log14y=m+2,解∵log12x=∴12m=x,x2=∵log14y=∴14m+2=y,y∴x2y=122m1三、拓展提高15.若a>0,a23=49,则log23A.2 B.3C.4 D.5答案B解析因为a23=49所以a=4932设log23a=x,所以23x=a,16.若log2(log12(log2