人教A版高中数学必修一 第二课时　诱导公式五、六

第二课时诱导公式五、六学习目标1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.【引入】通过前面几节课的学习,我们利用单位圆推出了一组神奇的公式,利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,可见单位圆是一个多么美妙的图形!这节课,我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘.一、诱导公式五、六探究1借助如图所示的单位圆,回答下列问题:(1)角α与角π2-α,角α与角π2+α(2)角α与角π2-α的终边与单位圆的交点P,P1的坐标有什么关系?角α与角π2+α的终边与单位圆的交点P,P2提示(1)角α与角π2-α的终边关于直线y=x对称;角α与角π2+α(2)点P1的横坐标、纵坐标分别与点P的纵坐标、横坐标相等;点P2的横坐标与点P的纵坐标互为相反数,点P2的纵坐标与点P的横坐标相等.探究2根据探究1,你解得α与π2+α,π2-α提示sinπ2-α=cosα,cosπ2sinπ2+α=cosα,cosπ2诱导公式五、六公式五sinπ2-α=cosα;cosπ2公式六sinπ2+α=cosα,cosπ2温馨提示(1)π2±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号(2)记忆口诀:正变余,余变正,符号象限定.(3)诱导公式一~六的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.角度1利用诱导公式化简、求值例1(1)(链接教材P193例5)已知cos(75°+α)=13且-180°<α<-90°,则cos(15°-α)=(A.-13 B.-C.223(2)(链接教材P193例4)化简:sin(4π-α)cos9π2答案(1)B(2)-tan2α解析(1)因为-180°<α<-90°,所以-105°<α+75°<-15°,因为cos(75°+α)=13所以α+75°是第四象限角.所以sin(75°+α)=-1-132所以cos(15°-α)=cos[90°-(α+75°)]=sin(α+75°)=-22(2)原式=sin(-=-sinα·cos=-tan2α.思维升华1.利用诱导公式进行化简求值时,要特别注意函数名称和符号的确定.三角函数化简求值的主要步骤:去负—脱周—化锐角.2.对式子进行化简或求值时,要注意要求的角与已知角之间的关系,并结合诱导公式进行转化,特别要注意角的范围,常见的互余关系:π3-α与π6+α,π4+α与π4训练1(1)已知cos31°=m,则sin239°tan149°=.

(2)若sinπ3+α=12,则cos5π答案(1)1-m2解析(1)sin239°tan149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin59°(-tan31°)=-sin(90°-31°)·(-tan31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=1-cos231°(2)cos5π6+=-sinπ3+α角度2利用诱导公式证明恒等式例2(链接教材P192例3)求证:cos(6π+θ)sin(-2π-θ证明左边=cos=cos=cosθ·sinθ·tanθsin∴原等式成立.思维升华1.利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法:(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简.(2)左右归一:证明左右两边都等于同一个式子.2.针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除差异.训练2求证:2sinθ-3π证明左边=2sin=-2cosθsin=(sinθ+cosθ=tanθ+1tan∴原等式成立.二、诱导公式的综合应用例3已知α是第三象限角,且f(α)=sin(π-α(1)化简f(α);(2)若cosα-3π2=15,求f(解(1)f(α)=sinα·cos(-=sinα·cos=-sinα·cosαsinα=-cos(2)∵cosα-32π=cosπ∴-sinα=15,∴sinα=-1又α是第三象限角,知cosα=-1-si=-26因此f(α)=-cosα=26思维升华诱导公式综合应用要“三看”(1)看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.(2)看函数名称:一般是弦切互化.(3)看式子结构:通过分析式子,观察已知式与所求式间的关系.训练3已知角α的终边经过点P(m,22),sinα=223且α(1)求m的值;(2)若tanβ=2,求sinαcos解(1)∵角α的终边过点P(m,22).∴sinα=22m2解得m=±1.因为α为第二象限角,所以m=-1.(2)由(1)知tanα=-22,又tanβ=2,所以sin=-sinαcos=--22+32【课堂达标】1.已知sin9π2+α=15,则cos(A.15 B.C.-15 D.-答案C解析由sin9π2+=cosα=15,∴cos(α+π)=-cosα=-12.计算:sin211°+sin279°=.

答案1解析因为sin79°=sin(90°-11°)=cos11°,所以原式=sin211°+cos211°=1.3.已知sinφ=611,则cos11π2+φ+sin(3π-φ)答案12解析因为sinφ=611所以cos11π2+φ+sin(3π-φ)=sinφ+sinφ=2sinφ4.化简:sin52π+α答案1解析原式=sin=cosα·课时精练一、基础巩固1.若sinπ2-θ<0,且cosπ2+θ>0,A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案C解析∵sinπ2-θ=coscosπ2+θ=-sin∴sinθ<0,∴角θ是第三象限角.2.已知sin(3π+α)=13,则cosπ2+A.223C.-13 D.答案D解析由sin(3π+α)=13,得-sinα=1则sinα=-13∴cosπ2+α=-sinα=13.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是()A.sin(3π-x)=sinxB.sinπ-x2C.cos5π2+3D.cos3π2+2答案AB解析sin(3π-x)=sin(π-x)=sinx,sinπ-x2=sinπ2-cos5π2+3x=cosπ2+3cos3π2+2x=sin2x4.已知sinα-3π4=13,则cosπA.223C.13 D.-答案D解析∵sinα-3π=-cosπ4-α∴cosπ4-α5.已知cosπ2+φ=32,且|φ|<π2,则tanA.-33 B.-C.33 D.答案B解析∵cosπ2+φ=-sinφ∴sinφ=-32∵|φ|<π2,∴-π2<∴cosφ=1-34=∴tanφ=sinφcosφ6.(多选)以下与sinθ-π2的值恒相等的式子为A.sinθ+πC.cos(π-θ) D.sinθ答案CD解析sinθ-π2=-sinπ2因为sinθ+π2=cosθ,cosθ+cos(π-θ)=-cosθ,sinθ+3π2=-cos所以A,B错误,C,D正确.7.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-14,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为(A.-16 B.-C.16 D.答案B解析由sin(180°+α)+cos(90°+α)=-14得-sinα-sinα=-14所以sinα=18所以cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sinα-2sinα=-3sinα=-388.已知cos(π+α)=-12,α为第一象限角,则cos11π2+α答案3解析由cos(π+α)=-12,得cosα=1又α是第一象限角,∴sinα=1-122因此cos11π2+=cosπ2-α=sinα9.化简:sin(π-α)+sinαcos答案cosα解析sin(π-=sin=sinα+sinαcos10.已知tan(3π+α)=2,则sin(α-3π)+cos(π-α)+sin答案2解析∵tan(3π+α)=2,∴tanα=2,∴原式=-sin=sinαsinα-cosα11.若α的终边与单位圆交于点Pm,154,且试求sinα-解由题意知m2+1542=1,解得m2=因为α为第二象限角,故m<0,所以m=-14所以sinα=154,cosα=-1原式=-cos=14-15二、综合运用12.设α为锐角,2tan(π-α)-3cosπ2+β=-5,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sinαA.355C.31010答案C解析由题设,得-2tanα+3sinβ=-5,①tanα-6sinβ=1,②①×2+②可得tanα=3,则sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,α为锐角,故可解得sinα=31013.已知sinπ6+α=33,则cos10π答案-3解析∵10π3-α=3π+π∴cos10π3-=-cosπ3又∵π6+α+π∴cos10π3-=-sinπ6+α14.已知sin(5π-θ)+sin52π-θ=72,求sin4π2解∵sin(5π-θ)+sin5=sin(π-θ)+sinπ=sinθ+cosθ=72∴sinθcosθ=12[(sinθ+cosθ)2=1272∴sin4π2-θ+cos432π+θ=cos4θ+sin4θ=(sin2θ+cos2θ)2=1-2×382=三、拓展提高15.(链接教材P195T7)(多选)已知角A,B,C是锐角△ABC的三个内角,下列结论一定成立的是()A.sin(B+C)=sinAB.sinA+BC.sinB<cosAD.cos(A+B)<cosC答案ABD解析对于A,sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,正确;对于B,sinA+B2=sinπ-C2=cos对于C,当A=60°,B=45°,C=75°时,显然sinB