人教A版高中数学必修一 第一课时　对数的运算

4.3.2对数的运算第一课时对数的运算学习目标1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.【引入】从对数定义知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系及指数幂的运算性质,来研究相应的对数的运算性质吗?一、对数的运算性质探究1将指数式M=ap,N=aq(a>0且a≠1)化为对数式,由MN=ap·aq=ap+q,能得到什么结论呢?提示由M=ap,N=aq得p=logaM,q=logaN,且由MN=ap+q得p+q=loga(MN),从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0,且a≠1,M>0,N>0).探究2结合探究1,由MN=apaq=ap-提示将指数式MN=ap-q化为对数式,logaMN=p-q=logaM-logaN(a>0,且a≠1,M>0,N>0)探究3结合探究1,由Mn=(ap)n=anp(n∈R),又能有何结论?提示由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM,即logaMn=nlogaM(a>0,且a≠1,M>0,n∈R).对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM-logaN(3)logaMn=nlogaM(n∈R).温馨提示(1)性质的逆运算仍然成立.(2)公式成立的条件是M>0,N>0.(3)性质(1)可以推广为:loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中Nk>0,k∈N*.例1(链接教材P124例3)求下列各式的值.(1)lne2;(2)log3e+log33e;(3)lg50-lg5解(1)lne2=2lne=2.(2)log3e+log33e=log3e·3e(3)lg50-lg5=lg505=lg10=1思维升华对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.训练1(1)log22的值为()A.-2 B.2C.-12 D.(2)2log510+log50.25=()A.0 B.1C.2 D.4(3)log515-log575=.

答案(1)D(2)C(3)-1解析(1)log22=log2212=(2)2log510+log50.25=log5102+log50.25=log525=2.(3)原式=log51575=log515=log55-1二、对数运算性质的运用例2(链接教材P125例4)用lgx,lgy,lgz表示下列各式:(1)lgxy2z;(2)lgx解(1)lgxy2z=lg(xy2)-lgz=lgx+lgy2-lgz=lgx+2lgy-lg(2)lgxy3z=lg(xy3)-lgz=lgx+lgy3-lgz12=lgx+3lgy-(3)lgxy2z=lgx-lg(y2z)=lgx12-(lgy2+lgz)=12lgx-2lg思维升华用对数值表示对数式时,要利用对数的运算性质分解对数式,然后代入即可,同时注意把对数式分解彻底.训练2(链接教材P127T5)已知lg2=a,lg3=b,则用含a,b的式子表示lg12lg5=.答案b解析lg12lg5=lg3+2lg2lg5=lg3+2lg21-lg2=b三、利用对数的运算性质化简、求值例3计算下列式子的值:(1)(lg5)2+2lg2-(lg2)2;(2)lg3+2解(1)原式=(lg5)2+(2-lg2)lg2=(lg5)2+(1+lg5)lg2=(lg5)2+lg2·lg5+lg2=(lg5+lg2)·lg5+lg2=lg5+lg2=1.(2)原式=lg3+=1+45+思维升华利用对数运算性质化简求值(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用;(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用;(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg2+lg5=1,进行计算或化简.训练3化简并求值:log33+lg25+lg4-log2(log216)=.

答案1解析原式=12log33+lg(25×4)-log2=12+lg100-log222=12+2-2=【课堂达标】1.已知lg3=a,lg7=b,则lg349的值为(A.a-b2 B.a-2bC.b2a D答案B解析∵lg3=a,lg7=b,∴lg349=lg3-lg49=lg3-2lg7=a-2b2.已知x,y为正实数,则()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx·2lgy答案D解析2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx·2lgy.3.2lg2+lg5=.

答案1解析2lg2+lg5=lg2+lg5=lg10=1.4.-log25254+lg1100+ln答案1解析-log25254=-log2525-2+lg=2-2+12=1课时精练一、基础巩固1.计算lg2-lg15-eln2等于(A.-1 B.1C.3 D.-5答案A解析原式=lg2÷12.2log62+3log633=(A.log623 B.C.0 D.1答案D解析2log62+3log633=log6[(2)2×(33)3]=log63.已知x·log32=1,则4x=()A.4 B.6C.4log3答案D解析因为x·log32=1,所以x=log23,所以4x=4log234.已知3a=2,那么log38-2log36用a表示是()A.a-2 B.5a-2C.3a-(1+a)2 D.3a-a2答案A解析因为3a=2,所以a=log32,所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2.5.(多选)下列各式(各式均有意义)正确的是()A.loga(MN)=logaM+logaNB.loga(M-N)=loC.logab=-loga1D.loganb=-nlog答案AC解析由对数的运算性质,A正确,B错;又loganb=1nlogab,知logab=loga1b-1=-loga1b6.下列计算正确的是()A.log2[(-2)·(-3)]=log2(-2)+log2(-3)B.log26-log23=log23C.lne-ln1eD.log3(-4)2=2log3(-4)答案C解析由题意,log2[(-2)·(-3)]=log26,而选项A中等式右侧无意义,所以A错误;由对数的运算性质,可得log26-log23=log263=log22=1,所以B错误lne-ln1e=lne2=2,所以C正确根据对数的化简,可得log3(-4)2=2log3(-4),而log3(-4)无意义,所以D错误.7.已知3x=2,log394=y,则x+12y=(A.1 B.2C.3 D.4答案A解析∵log394=y,∴3y=9∴3y2=∴3x+y2=3x·3∴x+12y=1,故选A8.(链接教材P126练习T1)(lg5+lg2)·ln3+ln13=答案0解析原式=lg10×ln1=1×0=0.9.3log72-log79+2log7322=答案0解析原式=log78-log79+log79=log78×98÷10.已知3a=2,3b=15,则32a-b=.答案20解析∵3a=2,3b=15两边取对数得a=log32,b=log315=-log3∴2a-b=2log32+log35=log320,∴32a-b=20.11.计算下列各式的值:(1)log34273+lg25+lg4+(2)2log32-log3329+log38-5解(1)原式=log33343+lg(25×4)+2=log33-14+lg10(2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-5log532=2log32-5log32+2log二、综合运用12.如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α,β,则α·β的值是()A.135 B.C.lg7·lg5 D.35答案A解析由题意知,lgα,lgβ是一元二次方程x2+(lg7+lg5)x+lg7·lg5=0的两根,依据根与系数的关系得lgα+lgβ=-(lg7+lg5),则lg(α·β)=lg(7×5)-1,∴α·β=13513.若logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x>0且a,b,c,x≠1),则logx(abc)=.

答案7解析x=a2=b=c4,所以(abc)4=x7,所以abc=x74,即logx(abc)=14.已知lg2=a,lg3=b.(1)求lg72,lg4.5;(2)若lgx=a+b-2,求x的值.解(1)lg72=lg(23×32)=3lg2+2lg3=3a+2b;lg4.5=lg92=2lg3-lg2=2b-a(2)lgx=a+b-2=lg2+lg3-2=lg2+lg3+lg1100=lg6100,所以x=6100=0三、拓展提高15.已知实数x,y,正实数a,b满足ax=by=2,且2x+1y=-3,则a2+b的最小值为答案2解析