人教A版高中数学必修一 教考衔接-高考考法研析(四)

教考衔接——高考考法研析(四)考法1指数与对数的运算该考法常考查指数与对数互化以及指数运算、对数运算的性质,涉及的主要方法有转化法、整体代换法等,多以选择、填空题的形式出现,难度较低.例1(1)(2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=()A.25 B.5C.259 D.(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且1log8a-1loga4=-答案(1)C(2)64解析(1)因为2a=5,b=log83=13log2即23b=3,所以4a-3b=4a43b=(2(2)根据题意有113log2即3loga2-12loga设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-12t=-52,得t=16(所以loga2=16,所以a16=2,所以考法2指、对数函数的单调性与奇偶性该考法常以复合函数为载体,考查指数函数、对数函数的单调性和奇偶性,体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养,多以选择、填空题的形式出现,难度中档.例2(1)(2023·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.f(x)=-lnx B.f(x)=1C.f(x)=-1x D.f(x)=3|x(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)(3)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2-2ax-a,x<0,eA.(-∞,0] B.[-1,0]C.[-1,1] D.[0,+∞)(4)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)·ln2x-12x+1为偶函数,A.-1 B.0C.12 D.答案(1)C(2)D(3)B(4)B解析(1)对于A,因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=-lnx在(0,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减,故B对于C,因为y=1x在(0,+∞)上单调递减所以f(x)=-1x在(0,+∞)上单调递增,故C正确对于D,因为f12=312-1=f(1)=3|1-1|=30=1,f(2)=3|2-1|=3,显然f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选C.(2)由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,所以x=a2≥1,解得a≥2,故选D(3)因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a的取值范围是[-1,0].故选B.(4)设g(x)=ln2x易知g(x)的定义域为-∞,-1且g(-x)=ln-2x-1-2=-ln2x-12x+1所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln2x-1则y=x+a也应为奇函数,所以a=0,故选B.考法3指数、对数的大小比较该考法常利用函数的奇偶性、对称性把不在同一个单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用单调性比较大小,考查了数形结合思想、转化与化归思想等,多以选择题的形式出现,难度中等.例3(1)(2024·天津卷)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a(2)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=e-(x-1)2.记a=f22,b=f32,c=A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案(1)B(2)A解析(1)由函数y=4.2x单调递增可知,0<a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c,选B.(2)函数f(x)=e-(x-1)2是由函数y=eu和u=-(y=eu为R上的增函数,u=-(x-1)2在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以c=f62=f2-又22<2-62<所以f22<f2-62<所以b>c>a,故选A.考法4函数的零点该考法多以指数函数、对数函数为载体,考查函数零点所在区间、个数的判断及已知零点情况求参数范围等问题,多以选择题或填空题的形式出现,难度中等.例4(1)(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x-x的零点所在区间是()A.(0,0.3) B.(0.3,0.5)C.(0.5,1) D.(1,2)(2)(2021·北京卷)已知f(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论:①若k=0,则f(x)有两个零点;②∃k<0,使得f(x)有一个零点;③∃k<0,使得f(x)有三个零点;④∃k>0,使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是.

答案(1)B(2)①②④解析(1)易知f(x)单调递减,又f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.3=0.30.3-0.30.5>0,f(0.5)=0.30.5-0.5=0.3-0.5<0,所以f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5),故选B.(2)零点个数问题,转化成两个函数图象的交点个数来分析.令f(x)=|lgx|-kx-2=0,可转化成两个函数y1=|lgx|,y2=kx+2的图象的交点个数问题.对于①,当k=0时,y2=2与y1=|lgx|的图象有两个交点,①正确;对于②,存在k<0,使y2=kx+2与y1=|lgx|的图象相切,②正确;对于③,若k<0,y1=|lgx|与y2=kx+2的图象最多有2个交点,③错误;对于④,当k>0时,过点(0,2)存在函数g(x)=lgx(x>1)图象的切线,此时共有两个交点,当直线斜率稍微小于相切时的斜率时,就会有3个交点,故④正确.考法5函数模型的应用该考法多以指数型、对数型函数为载体,考查学生利用数学模型解决实际问题的能力,体现了应用性和创新性,通过数据处理考查运算求解能力,多以选择题的形式出现,难度中等.例5(1)(2025·北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)()A.2 B.4C.20 D.40(2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lgpp0,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则()A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2答案(1)B(2)ACD解析(1)由题意可知klog21.024×109-klog2106=klog21.024×109106=10所以2log24.096×109-2log21.024×109=2log24=4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.(2)因为Lp=20×lgpp0随着p的增大而增大,且Lp1∈所以Lp1≥Lp2,所以p1≥p2,假设p2>10p3,则p010Lp220>10p所以10L所以Lp2-Lp3>20,不可能成立,由Lp=20×lgpp0,得p=p010Lp所以p3=p0104020=100p0,故C因为100p2p1=100所以p1≤100p2,故D正确.综上,选ACD.【高考真题精选精练】1.(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析由函数y=x3单调递增可知,若a3=b3,则a=b;由函数y=3x单调递增可知,若3a=3b,则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件,故选C.2.(2025·上海卷)设a>0,s∈R,下列各项中,能推出as>a的一项是()A.a>1,且s>0 B.a>1,且s<0C.0<a<1,且s>0 D.0<a<1,且s<0答案D解析当a>1时,as>a⇔s>1;当0<a<1时,as>a⇔s<1.结合选项可知只有D选项能推出as>a.3.(2022·北京卷)已知函数f(x)=11+2x,则对任意实数x,有A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)=1答案C解析函数f(x)的定义域为R,f(-x)=11+2-所以f(-x)+f(x)=2x1+2x+14.(2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为()A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c答案D解析法一因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1;因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.综上,b>a>c.故选D.法二因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a;因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.故选D.5.(2024·北京卷)生物丰富度指数d=S-1lnN是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则A.3N2=2N1 B.2N2=3N1C.N22=N13 D答案D解析由题意,得S-1lnN1=2.1,S若S不变,则2.1lnN1=3.15lnN2,即2lnN1=3lnN2,所以N12=6.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)(A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.6答案C解析由题意知,4.9=5+lgV,得lgV=-0.1,得V=10-110=11010所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.7.(2023·全国乙卷)已知f(x)=xexeax-1是偶函数,A.-2 B.-1C.1 D.2答案D解析法一f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即xexe即e(1-a)x-ex=-e(a-1)x+e-x,即e(1-a)x+e(a-1)x=ex+e-x,所以a-1=±1,解得a=0(舍去)或a=2.法二f(x)=xexeax-1=xe(又y=x是奇函数,所以y=e(a-1)x-e-x是奇函数,故a-1=1,即a=2.8.(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则()A.a>0>b B.a>b>0C.b>a>0 D.b>0>a答案A解析因为9m=10,所以m=log910,所以a=10m-11=10log910-11=10lo因为log910-log1011=lg10lg9-=(lg10)>(lg10)=1-(lg99所以a>0.b=8log910-9=8lo因为log910-log89=lg10lg9-=lg10<(=(lg80所以b<0.综上,a>0>b.故选A.9.(2025·新高考Ⅰ卷)若2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为()A.x>y>z B