人教A版高中数学必修一 习题课　指(对)数型函数性质的综合应用

习题课指(对)数型函数性质的综合应用学习目标1.掌握指(对)数型函数的性质.2.能利用函数性质求解一些综合性问题.一、指(对)数型函数的单调性例1(1)函数y=12x2-2A.(-∞,0] B.[0,+∞)C.(-∞,2] D.[2,+∞)答案B解析函数y=12u在R上为减函数,且函数u=x2-2的单调递增区间是[0,+故所求单调递减区间为[0,+∞).(2)求函数y=log12(x2-3x+5)解由于方程x2-3x+5=0的判别式Δ=(-3)2-4×5=-11<0,∴x2-3x+5>0恒成立,即函数的定义域为R.令u(x)=x2-3x+5,当x∈-∞,32时,u(当x∈32,+∞时,u(x又y=log12u∴y=log12(x2-3x+5)在-∞,32综上,函数y=log12(x2-3x+5)的单调递增区间为-∞,思维升华1.首先求函数的定义域,这是研究函数性质的前提.2.求指(对)数型函数的单调区间的方法(1)图象法:如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间;(2)y=f(g(x))型函数:先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x),再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的法则进行判定.训练1(1)函数y=31x的单调递减区间是(A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,0)和(0,+∞)(2)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的单调递增区间是.

答案(1)D(2)(1,+∞)解析(1)设u=1x,则y=3u因为u=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减且y=3u在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,所以函数y=31x的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞(2)由x2+2x-3>0,得x>1或x<-3,∴f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).又y=log2t是增函数,t=x2+2x-3在(1,+∞)上单调递增,∴函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,因此f(x)的单调递增区间是(1,+∞).二、利用函数的性质求参数的范围(值)例2若函数f(x)=lg(x2-2ax-a)在区间(-∞,-3)上单调递减,求实数a的取值范围.解设u(x)=x2-2ax-a.因为f(x)在(-∞,-3)上单调递减,所以由复合函数的单调性法则可知,u(x)在(-∞,-3)上单调递减,且u(x)>0在(-∞,-3)上恒成立.又u(x)=(x-a)2-a-a2在(-∞,a)上单调递减,所以u(-3)≥0,a≥-3,故实数a的取值范围为-9思维升华1.利用性质求参数的范围(值),关键是利用基本初等函数的性质用参数表示最值、单调区间等,得到关于参数的方程(不等式)求解.2.若指(对)数型函数的底数含有字母参数,要注意进行分类讨论.训练2设函数f(x)=lnx+2x,若f(1-a)-f(a)>0,则实数a的取值范围为.

答案0,解析易知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,因为f(1-a)-f(a)>0,即f(1-a)>f(a).所以1-a>a>0,解得0<a<12三、指(对)数型函数的综合应用例3已知函数f(x)=log21x+a+1是奇函数,(1)求a的值;(2)对任意的x∈(-∞,0),不等式f(2x+1)>log2(m-2x)恒成立,求实数m的取值范围.解(1)法一令1x+a+1>0,∴x<-a-1或x>-a.∵f(x)是奇函数,∴其定义域关于原点对称,∴-a-1-a=0,∴a=-12此时,f(x)=log21x-12则f(-x)=log2-2x+1-2=-log22x∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.因此a=-12法二f(x)=log2x+由x+a+1x+a>0,A={x|x<-a-1,或x>-a},因为f(x)是奇函数,故∀x∈A,f(-x)=-f(x),∴log2-x+a=log2x+所以-x+a则(1+a)2-x2=a2-x2,解得a=-12(2)f(2x+1)>log2(m-2x),即log212x+12+1>log整理得m<2x+12+12x令u=2x+12,x∈(-∞所以u∈12令g(u)=u+1u+12.易知g(u)≥当u=1时取等号,所以m<52又由m-2x>0,即m>2x,故m≥1,所以m的取值范围是1,5思维升华1.利用性质求解综合问题,树立定义域优先意识,无论求单调区间、奇偶性还是求解不等式,符合定义域是满足性质的前提.2.本题涉及不等式恒成立,转化是关键,转化的工具就是指数函数与对数函数的单调性的活用.训练3已知函数f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0,且a≠1).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)解关于x的不等式f(x)≥loga(3x).解(1)由2+x>0,2-x>0,∴函数f(x)的定义域为(-2,2),则f(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-[loga(2+x)-loga(2-x)]=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)=loga2+x2-x≥loga由3x>0,-2<x<2,当0<a<1时,2+x2-x≤3x,解得23当a>1时,2+x2-x≥3x,解得x≥1或x又0<x<2,所以0<x≤23或1≤x<2故当0<a<1时,不等式的解集为23当a>1时,不等式的解集为[1,2)∪0,2课时精练一、基础巩固1.函数f(x)=log2(-x2+6x-5)的单调递减区间是()A.(-∞,3] B.(1,3]C.[3,+∞) D.[3,5)答案D解析令y=log2t,t=-x2+6x-5,由-x2+6x-5>0,解得1<x<5,又t=-(x-3)2+4的对称轴为x=3,∴t=-x2+6x-5=-(x-3)2+4在(1,3)上单调递增,在[3,5)上单调递减,由于y=log2t是增函数,故f(x)在区间[3,5)上单调递减.2.函数f(x)=ln(x2+1-x),则f(ln3)+fln1A.-1 B.0C.2 D.-2答案B解析∵f(-x)=ln(1+x2+=-ln(1+x2-x)=-f(∴f(x)为奇函数,∴f(ln3)+fln13=f(ln3)+f(-ln3.若函数y=log2(x2-2mx+3)的定义域为R,则实数m的取值范围是()A.[-3,3] B.(-3,3)C.(0,3) D.(0,3)答案B解析依题意,∀x∈R,x2-2mx+3>0恒成立,则Δ=(2m)2-4×3<0,解得-3<m<3.4.函数y=log2x+1x-1+5(xA.-3 B.3C.4 D.-4答案B解析y=log2x=log2x≥log22(x-1)当且仅当x-1=1x-1,即x=2故函数y=log2x+1x-1+5(x>1)5.对于函数f(x)=3x-13x+1A.是减函数且值域为(-1,1)B.是增函数且值域为(-1,1)C.是减函数且值域为(-∞,1)D.是增函数且值域为(-∞,1)答案B解析函数f(x)=3x-13x+1=1-2由3x+1>0,易知f(x)在R上是增函数,又3x+1>1,知0<23∴-1<f(x)<1,f(x)的值域为(-1,1).6.已知函数f(x)=logax+2(a>0,且a≠1)在区间12,4上的最大值为4,则a的值为(A.12 B.C.22 D.2或答案D解析当a>1时,f(x)max=f(4)=4,∴loga4+2=4,则a=2;当0<a<1时,f(x)max=f12∴loga12+2=4,则a=27.若函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为(A.43,3 BC.43,2 D答案C解析由-x2+4x+5>0,解得-1<x<5.二次函数y=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为x=2.由对数型函数单调性可得函数f(x)=log12(-x2+4x+5)的单调递增区间为要使函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)只需3m-2≥2,8.设函数f(x)=1ex-1|,则f(x)答案(-∞,1]解析设u=|x-1|,则y=1e∵y=1eu是减函数,u=|x-1|在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]∴y=1ex-1|在(-因此y=1ex-1|的单调递增区间是9.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是.

答案[1,+∞)解析因为函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,则t=|x-a|在区间(-∞,1]上单调递减,又函数t=|x-a|在区间(-∞,a]上单调递减,所以(-∞,1]⊆(-∞,a],故有a≥1.10.已知f(x)=(1-2a)x+5a,x<1,lo答案-解析要使函数f(x)的值域为R,则必须满足1-2解得-13≤a<111.已知函数f(x)=1+log2x(1≤x≤4),函数g(x)=[f(x)]2+f(x2).(1)求函数g(x)的定义域;(2)求函数g(x)的值域.解(1)由1≤x≤4,1≤所以函数g(x)的定义域是[1,2].(2)g(x)=[f(x)]2+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2)=1+2log2x+(log2x)2+1+2log2x=(log2x)2+4log2x+2=(log2x+2)2-2.由1≤x≤2,得0≤log2x≤1,所以2≤log2x+2≤3,所以4≤(log2x+2)2≤9,所以2≤(log2x+2)2-2≤7.所以函数g(x)的值域是[2,7].二、综合运用12.(多选)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是()A.f(4)=-3B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点C.函数y=f(x)的最小值为-4D.函数y=f(x)的最大值为4答案ABC解析f(4)=(log24)2-log216-3=-3,A正确;令f(x)=0,得(log2x+1)(log2x-3)=0;∴x=8或x=12则y=f(x)的图象与x轴有两个交点,B正确;因为f(x)=(log2x-1)2-4(x>0),所以当x=2(log2x=1)时,f(x)min=-4,函数f(x)没有最大值,C正确,D错.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f13=0,则不等式f(log18x)>0的解集为答案0,12∪(2,+解析∵f(x)是R上的偶函数,∴它的图象关于y轴对称.∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0]上单调递减,由f13=0,得f-函数的大致图象如图所示.由f(log18得log18x<-13或log1解之得x>2或0<x<1214.已知函数f(x)=loga(3-ax)(其中a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)是否存在实数a,使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为2?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解(1)依题意3-ax>0,则ax<3.因为a>0,所以解得x<3a故f(x)的定义域为-∞(2)假设存在实数a,使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为2.设函数g(x)=3-ax,由a>0,得-a<0,所以g(x)在区间[1,2]上为减函数且g(x)>0恒成立,则g(2)>0,解得0<a<32又因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以a>1,即1<a<32又因为f(x)在区间[1,2]上的最大值为2,所以f(x)max=f(1)=loga(3-a)=2,整理得a2+a-3=0,解得a=13-12(因为3<13<4,所以a=13-12∈所以存在实数a=13-12,使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为三、拓展提高15.(多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=2x1+2x-12,则关于函数g(x)=[f(xA.g(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)在R上是增函数D.g(x)的值域是{-1,0,1}答案BC解析∵g(1)=[f(1)]=21+2g(-1)=[f(-1)]=2-1∴g(-1)≠g(1),则g(x)不是偶函数,故A错误;∵f(x)=2x1+2x-f(-x)+f(x)=2-x1+=2x·2-x∴f(x)为奇函数,故B正确;∵f(x)=2x1+2x-1=12-1又y=2x在R上单调递增,∴f(x)=12-11+2x在R上是增函数,∵2x>0,∴1+2x>1,则0<11+得-12<12-11+则-12<f(x)<