高中数学强基题 课时作业45　利用空间向量求空间距离

课时作业45利用空间向量求空间距离(分值：100分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．(2026·镇江模拟)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为()A．103 B．C．5 D．102．已知空间中向量AB＝(0，1，0)，向量AC的单位向量为-33，33，-3A．33 B．C．233 D3．已知平面α，β均以n＝(－2，1，2)为法向量，平面α经过坐标原点O，平面β经过点P(3，2，－1)，则平面α与β的距离为()A．2 B．22C．3 D．234．(2026·邢台模拟)在四棱锥P-ABCD中，AB＝(－1，1，0)，AD＝(－1，0，1)，AP＝(0，0，1)，则这个四棱锥的高为()A．36 B．C．13 D．5．(2026·泰安模拟)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，E为线段A1B1的中点，则点B到直线DE的距离为()A.33 B．5C．666 D．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则直线AE到平面C1DF的距离为()A．53 B．C．23 D．7．在正三棱锥P-ABC中，AB＝43，PB＝25，D，E分别是棱AB，PC的中点，则点P到平面A．617 B．C．41917 D8．如图所示，体积为8π的半圆柱的轴截面为平面ABB1A1，AB是圆柱底面的直径，O为底面的圆心，BB1为一条母线，点D为棱BB1的中点，且|AB|＝4，A1E和BC的弧长为2π3，则三棱锥O-CDEA．83 B．43C．23 D．4二、多项选择题(每小题6分，共12分)9．已知点A(－3，2，－1)在平面α内，点B(2，－1，1)在平面α外，且平面α的一个法向量为n＝(1，1，2)，下列选项正确的是()A．AB＝38B．AB＝38C．点B到平面α的距离为6D．点B到平面α的距离为510．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()A．D1O∥平面BA1C1B．OB1＝C．A1C⊥平面OBB1D．点B到直线A1C的距离为3三、填空题(每小题5分，共10分)11．已知点A(1，0，2)与点B(1，1，1)，在z轴上求一点M，使点M到直线AB的距离为1，则点M的坐标为________．12．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2，则点B到平面A1B1C的距离为________.四、解答题(共28分)13．(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面A1DC；(2)求直线BC1与平面A1DC的距离．14．(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝1，AB＝3，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点．(1)求证：CM∥平面PAB；(2)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为2217？若存在，求出得分优生选做题15．(5分)如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为2，2，则顶点D到平面α的距离是(A．3 B．2C．5 D．2216.(5分)如图，四边形ABCD，ABEF都是正方形，AB＝4，∠DAF＝120°.P，Q分别是线段AE，BD上的动点，且APPE＝DQQB，则课时作业45利用空间向量求空间距离1．解析：因为A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，所以AP＝(－1，－2，4)，又平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，所以点P到平面α的距离d＝n·APn答案：A2．解析：设向量AC的单位向量为e，则e＝-33，33，-33答案：B3．解析：平面α，β均以n＝(－2，1，2)为法向量，则α∥β，平面β经过点P(3，2，－1)，则平面α与β的距离等于点P(3，2，－1)到平面α的距离，平面α经过坐标原点O，OP＝(3，2，－1)，点P到平面α的距离d＝OP·nn＝63＝2，所以平面α答案：A4．解析：设平面ABCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥AB，n⊥AD，所以-x+y＝0，-x+z＝0，令x＝1，可得y＝1，z＝1，即n＝(1，1，1)，|n|＝答案：B5．解析：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝1，AA1＝2，得D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，2)，B1(1，1，2)，线段A1B1的中点E1，12，2，则DE＝1，12，2，DB＝(1，1，答案：D6．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，F1，1，12，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，E0，0，12，∴AE＝-1，0，12，FC1＝-1，0，12，DC1＝(0，1，1)，DA＝(1，0，0)，∴AE∥FC1，即AE∥FC1.∵AE⊄平面C1DF，FC1⊂平面C1DF，∴AE∥平面C1DF.∴直线AE到平面C1DF的距离为点A到平面C1DF的距离．设平面C1DF的法向量为n＝(x，y，z)，则FC1·n＝0，DC1·n＝0答案：D7．解析：如图，取棱AC的中点F，连接BF，则点P在平面ABC的投影H在线段BF上，且BH＝2HF，连接PH，作HG∥AC，交线段BC于点G，易证HB，HG，HP两两垂直，则以H为坐标原点，HB，HG，HP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为△ABC是边长为43的等边三角形，所以BF＝6，所以BH＝2HF＝4.因为PB＝25，所以PH＝PB2-BH2＝2，所以B(4，0，0)，D1，-3，0，E-1，3，1，P(0，0，2)，所以BD＝-3，-3，0，BE＝-5，3，1，BP＝(－4，0，2)．设平面BDE的法向量为n＝答案：B8．解析：设A1B1的中点为O1，AB的中点为P，以O为原点，PO，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，由题知12×π×22×AA1＝8π，所以AA1＝4，又A1E和BC弧长为2π3，O1E＝OC＝OB＝2，所以∠BOC＝∠EO1A1＝π3，所以O(0，0，0)，D(0，2，2)，C-3，1，0，E-3，-1，4，所以OC＝-3，1，0，OD＝(0，2，2)，OE＝-3，-1，4.设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·OD＝0，n·OC＝0，即-3x+y＝0，2y+2z＝0，令x＝3，则y＝3，z答案：C9．解析：由题意得AB＝(5，－3，2)，所以AB＝25+9+4＝38，故A正确，B错误；点B到平面α的距离为AB·nn＝答案：AC10．解析：由题意有，底面ABCD是正方形，且AB＝AA1＝2，所以AC＝BD＝22，所以OA＝OB＝OC＝OD＝2，所以A0，-2，0，B2，0，0，C0，2，0，D-2，0，0，OA1＝AA12-OA2＝2，所以A10，0，2.对于A，因为A1D1＝BC＝-2，2，0，OA1＝0，0，2，所以OD1＝OA1+A1D1＝0，0，2＋-2，2，0＝-2，2，2，BA1＝-2，0，2，A1C1＝AC＝0，22，0，设平面BA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，所以n·BA1＝-2x+2z＝0，n·A1C1＝22y＝0，令x＝1，得n＝(1，0，1)，所以n·OD1＝-2×1+2×0+2×1＝0，所以n⊥OD1答案：ACD11．解析：设M(0，0，z)，则AM＝(－1，0，z－2)，AB＝(0，1，－1)，则AB方向上的单位向量为e＝0，12，-12，由点M到直线AB的距离为1＝d＝AM2-AM·e2＝3答案：(0，0，2)12．解析：因为BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0，0，2)，B(0，0，0)，B1(0，2，0)，A1(2，2，0)，BB1＝(0，2，0)，CB1＝(0，2，－2)，A1B1＝(－2，0，0)．设平面A1B1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，n·CB1＝2y-2z＝0，n·A1B1＝-2x＝0，令z＝1，则x＝0，y＝1，n＝(0，1，答案：213．解析：(1)证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4，∴上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形．连接AC1与A1C交于点E，则E为A1C，AC1的中点，连接DE，∴在△C1AB中，D，E分别为边AB，AC1的中点，∴DE∥BC1，又∵DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.(2)取AC的中点O，A1C1的中点O1，连接BO，OO1，则BO⊥AC，OO1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则O(0，0，0)，D1，3，0，C(－2，0，0)，A1(2，0，4)，C1(－2，∴DA1＝1，-3，设平面A1DC的法向量为n＝(x，y，z)，则DA1·n＝0，DC·n＝0⇒x-3y+4z∴n＝-1，∵C1为BC1上的点，BC1∥平面A1DC，∴C1到平面A1DC的距离d即为直线BC1与平面A1DC的距离，d＝DC1∴直线BC1与平面A1DC的距离为4514．解析：(1)取AP的中点E，连接ME，BE，因为M是PD的中点，所以ME∥AD且ME＝12AD又因为BC∥AD且BC＝12AD，所以ME∥BC且ME＝BC所以四边形BCME是平行四边形，所以CM∥BE，又因为CM⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，所以CM∥平面PAB.(2)由题意PA⊥平面ABCD且AB⊥AD，则AP，AB，AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，又因为PA＝1，AB＝3，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点，所以P(0，0，1)，B3，0，0，D(0，2，0)设BQBD＝λ且0≤λ≤1，AB＝3，0则BQ＝λBD，AQ＝AB+λ设平面PAQ的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则n令y0＝1，所以n＝-2λ31-λ，1，0又PD＝(0，2，－1)，所以n·PDn所以4λ21-λ2＋3＝7，则λ2＝(1－λ)2，解得所以存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为2217，此时15．解析：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，C(3，0，0)，B(0，3，0)，A(3，3，0)，D(3，3，3)，所以BA＝(3，0，0)，CA＝(0，3，0)，AD＝(0，0，3)．设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，则点B到平面α的距离为d1＝BA·nn＝3xx2+y2+z2＝2①，点C到平面α的距离为d2＝CA·nn＝3yx2+y2+z2＝2②，由①②可得y＝答案：C16．