人教A版高中数学必修一题库 第四章　4.5.3　函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用学习目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.(重点)2.建立函数模型解决实际问题.(难点)3.实际问题中的函数模型选择问题.导语我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？问题应用函数模型解决问题的基本过程是什么？提示(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.(4)还原——将数学结论还原为实际问题.知识梳理常见的几种函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)=kx+b(k，b为常数且k≠二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)=axα+b(a，b为常数，a≠0)一、应用已知函数模型解决实际问题例1(课本例3)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数.(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.(2)利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？解(1)由题意可设1950年为t=0，则y0=55196，根据马尔萨斯人口增长模型，有67207=55196e9r，由计算工具得r≈0.021876.因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.021876t，t∈[0，9].(2)分别取t=1，2，…，8，由y=55196e0.021876t可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如表所示.年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数/万5641757665589406024361576629386433065753实际人口总数/万5630057482587966026661465628286456365994根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y=55196e0.021876t(t∈[0，9])的图象(如图).由表和图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.(3)将y=130000代入y=55196e0.021876t，由计算工具得t≈39.16.所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿.例1人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声强级，其中0dB是人们能听到的最低声强对应的声强级.一般地，如果声强为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)=algx10-12(a为常数).已知人正常说话时的声强级约为60dB，嘈杂的马路声的声强级约为90dB，而90dB对应的声强是60dB对应的声强的1(1)求函数f(x)的解析式；(2)若某种喷气式飞机起飞时，声强级约为150dB，计算该种喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的多少倍.解(1)设90dB对应的声强是x1，60dB对应的声强是x2，则x1x2=1因为90=所以30=algx所以30=3a，所以a=10，所以f(x)=10lgx10-12，x∈(0，+(2)设喷气式飞机起飞时的声强为x3，所以150=10lg所以9=lgx3x2，所以故喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的109倍.反思感悟利用已知函数模型解决实际问题(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.跟踪训练1Logit模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logit模型：I(t)=K1+e-0.24(t-53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时，标志着已初步得到遏制，则t*约为(注：e为自然对数的底数，A.60 B.62 C.66 D.69答案B解析∵I(t*)=K1+e-0.24(∴1+e则-0.24(t*-53)=ln19=-ln9≈-2.2解得t*≈62.二、建立函数模型解决实际问题例2(课本例4)2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？解设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0<p<1)，经过x年后，残余量为y.根据问题的实际意义，可选择如下模型：y=k(1-p)x(k∈R，且k≠0；0<p<1；x≥0).由碳14的半衰期为5730年，得k(1-p)5730=12k.于是1-p=5730由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，k573012x即57301解得x=log5730由计算工具得x≈4912.因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的.例2某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间.(1)求x的值；(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的22，按照规划至少还需多少年，可使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的解(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1)，则a(1-x)10=12a，即(1-x)10=1解得x=1-12(2)设从今年开始，还需治理n年，则n年后剩余面积为22a(1-x)n令22a(1-x)n≤14a，即(1-x)n12n10≤1故至少还需治理15年.反思感悟与实际应用相结合的题型是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.跟踪训练2某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A.2023年 B.2024年C.2025年 D.2026年答案D解析设x年后研发资金开始超过200万元，所以130(1+12%)x>200，所以1.12x>21.3，所以x>log所以x>lg2-lg1.3所以x>3.8，故2026年研发资金开始超过200万元.三、建立拟合函数解决实际问题例3某企业常年生产一种出口产品，最近几年以来，该产品的产量平稳增长.记2021年为第一年，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如表所示：年份2021年2022年2023年2024年x1234f(x)712.782549.13若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)=ax+b；f(x)=a·2x+b；f(x)=x-1+a.(1)写出你认为最适合的函数模型(不用说明理由)，然后选取表中你认为最适合的数据并求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2026年的年产量比预计减少30%，根据所建立的函数模型，确定2026年的年产量.解(1)选择f(x)=a·2x+b，代入数据(1，7)和(3，25)，可得2故f(x)=3·2x+1.(理由：从表格可以判断函数为增函数，所以排除f(x)=x-1+a；若选f(x)=ax+b，代入数据(1，7)和(3，25)可得a则f(x)=9x-2，则f(4)=34，这与49.13相差太大.)(2)2026年对应x=6，因此预计2026年的年产量约为f(6)=3×26+1=193(万件)，受影响后实际年产量约为193×(1-30%)=135.1(万件)，故2026年的年产量约为135.1万件.反思感悟建立拟合函数与预测的基本步骤跟踪训练3航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=kx-1+2(常数k>0).该商品的日销售量Q(x)(百个)与时间x(天x(天)5101726Q(x)(百个)4567已知第10天该商品的日销售收入为3500元.(1)求实数k的值；(2)给出以下三种函数模型：①Q(x)=px+q，②Q(x)=a|x-18|+b；③Q(x)=mx-1+n，请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，说明你选择的理由，并借助你选择的模型，预估该商品的日销售收入f(x)(元)解(1)由题意，500·k3+2=3500，∴(2)∵表格中Q(x)对应的数据匀速递增时，x对应的数据并未匀速变化，∴排除模型①.又∵Q(x)=a|x-18|+b表示在x=18两侧“等距”的函数值相等(或叙述为函数图象关于直线x=18对称)，而表格中的数据并未体现此规律(5≠7)，∴排除模型②.对于模型③，将(5，4)，(10，5)代入模型③，有2m+此时，Q(x)=x-1+2，经验证，(17，6)，(26，7)均满足，∴选模型③f(x)=100Q(x)·P(x)=100(x-1+2)·15≥100×(19+415)=1900+40015当且仅当2x-1=30x-1∴日销售收入在第16天达到最低.1.知识清单：(1)应用已知函数模型解决实际问题.(2)建立函数模型解决实际问题.(3)建立拟合函数解决实际问题.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：(1)实际应用题易忘记定义域和结论.(2)对函数拟合效果的分析不能做出正确选择.1.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，现有100℃的物体，放在10℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是40℃，则k约等于(参考数据：ln3≈1.099)()A.0.22 B.0.27 C.0.36 D.0.55答案A解析根据题意40=10+(100-10)e-5k，即-5k=ln13=-ln3解得k=ln352.有一组实验数据如表所示：t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个函数是()A.V=log2t B.V=log1C.V=t2-12 D.V答案C解析根据表中数据，描出各点，如图所示，结合选项，函数V=log2t的增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数V=log12t随着t的增大，函数V=t2函数V=2t-2的增长速度不变，不符合题意，所以最接近的一个函数是V=t23.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后，体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a，则需经过的天数为(A.125 B.100 C.75 D.50答案C解析由已知，得49a=a·e-50k，∴e-k设经过t1天后，一个新丸体积变为827a则827a=a·∴827=e-kt1=4.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是.

答案11m解析设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a(1+x)11=ma，所以1+x=11m，即x=课时对点练[分值：80分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2t答案D2.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A.y=a(1+5%x) B.y=a+5%C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x答案D解析今年产量为a，经过1年后产量为y=a(1+5%)，经过2年后产量为y=a(1+5%)2，依此类推，经过x年后产量为y=a(1+5%)x.3.声强级LI(单位：dB)由公式LI=10lgI10-12给出，其中I为声强(单位：W/m2)，若一般正常人的听觉的声强级范围为[0，120]，则一般正常人能听到的声强的范围为(A.[0，10-12] B.[10-12，1]C.[0，1012] D.[1，1012]答案B解析设一般正常人能听到的最高声强为I，最低声强为I'.由120=10lgI10-12，由0=10lgI'10-12，解得所以一般正常人能听到的声强的范围为[10-12，1].4.国内首个百万千瓦级海上风电项目—三峡阳江沙扒海上风电场实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力.风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：F(x)=1-e-x2k，其中k为形状参数，x为风速.已知风速为1m/s时，F≈0.221，则当风速为4m/s时，F约为(参考数据：ln0.779≈-0.25，A.0.920 B.0.964 C.0.975 D.0.982答案D解析因为F(1)≈0.221，所以e-12k≈0.779，12k≈-ln得k≈2，所以F(4)=1-e-2k5.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数至少为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)(A.6 B.9 C.8 D.7答案C解析设经过n次过滤，产品达到市场要求，则2100×由nlg23≤-lg20即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2)，得n≥1+lg2lg3-lg2≈7.4，故过滤次数至少为6.(多选)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t=64,x≤0,2kx+6,x>0,且该食品在储藏温度为4℃时的保鲜时间是16A.该食品在储藏温度为6℃时的保鲜时间是8小时B.当x∈[-6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少C.到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D.到了此日14时，甲所购买的食品已过保鲜时间答案AD解析由题设，可得24k+6=16，解得k=-1∴t=64,令x=6，则t=23=8，故A正确；当x∈[-6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0，6]时，保鲜时间t随x的增大而减少，故B错误；由图知在11时前的某一时刻至13时，室外温度均不低于10℃，当x=10时，t=26-5=2，故到13时甲所购买的食品不在保鲜时间内，故C错误；由以上分析知，这天的14时，甲所购买的食品已过保鲜时间，故D正确.7.白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞计数为(4.0~10.0)×109/L，可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高，则需进一步探查原因，进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可以用对数模型W(m)=-W0ln(Km)描述白细胞计数W(m)(单位：109/L)与用药量m(单位：mg)的变化规律，其中W0为初始白细胞计数对应值，K为参数.已知W0=20，用药量m=50时，在规定时间后测得白细胞计数W=14，要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到(参考数据：e15≈1.221)(A.58 B.59 C.60 D.62答案D解析由已知W0=20，m=50，W(50)=14，代入W(m)=-W0ln(Km)，则14=-20ln(50K)，解得K=e则W(m)=-20lnm因为用药量m=50时，在规定时间后测得白细胞计数W=14，白细胞计数值偏高，所以令W(m)=-20lnme-7即lnme-7解得m≥50e15≈50所以要使白细胞计数达到正常值，则需将用药量至少提高到62.8.(5分)近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示：x1015202530Q(x)5055605550给出以下四个函数模型：①Q(x)=ax+b；②Q(x)=a|x-m|+b；③Q(x)=a·bx；④Q(x)=alogbx.根据表中的数据，最适合用来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系的函数模型是.

答案②解析由表格中的数据知，当时间x变化时，Q(x)先增后减，函数模型①Q(x)=ax+b；③Q(x)=a·bx；④Q(x)=alogbx都是单调函数，所以选择模型②Q(x)=a|x-m|+b.9.(5分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为.

答案t=-1λln解析因为N=N0e-λt，所以NN0=e-λt，两边取以e为底的对数，所以t=-1λln10.(10分)据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加.(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(3分)(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；(3分)(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(4分)解(1)依题意，得一年后这种鸟类的个数为1000+1000×8%=1080(只)，两年后这种鸟类的个数为1080+1080×8%≈1166(只).(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y=1000×1.08x，x∈N.(3)令1000×1.08x≥3×1000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg1.08x≥lg3，即xlg1.08≥lg3，因为lg1.08>0，所以x≥lg3所以x≥lg3因为lg108=lg(33×22)=3lg3+2lg2，所以x≥lg3≈0.47713×0.4771+2×0.3010-2≈14.3故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.11.某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是()A.16h B.20h C.24h D.26h答案C解析由题意可知，当x=0时，y=192；当x=22时，y=48，∴eb=192,e22k+y=e33k+b=(e11k)3·e12.(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越