人教A版高中数学必修一 第二课时　一元二次不等式的应用

第二课时一元二次不等式的应用学习目标1.掌握与一元二次不等式相关联的不等式的解法.2.能够应用三个“二次”之间的关系解决一些问题.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.一、简单分式不等式的解法探究不等式x+1x-2≥0的解集与(x+1)·(x-2)≥0的解集相同吗?不等式x-3x+2<0与(提示不相同;等价.简单的分式不等式的解法例1解不等式:(1)2x+11-x<0;(2)解(1)2x+11-x<0⇔(2不等式等价于x+12解得x>1或x<-12故原不等式的解集为x|x>1,(2)因为x+12x-3≤1,所以所以-x+4则(4-x)(2x-3)≤0且2x≠3,∴(x-4)x-32≥0且x从而x<32或x≥4故原不等式的解集为xx思维升华分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.训练1(1)关于x的不等式ax-b>0的解集是xx>12,求关于x的不等式(2)解不等式5x+1解(1)∵不等式ax-b>0的解集是xx∴a>0,且a=2b,则不等式ax-2b-x∴(x-1)(x-5)<0,解得1<x<5.因此原不等式的解集为{x|1<x<5}.(2)不等式5x+1x+1即2(x-1)可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1.所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}.二、三个“二次”之间的关系及应用例2已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.解由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},知a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知ba=-5,ca=6,故bc又由a<0知c<0,不等式cx2+bx+a<0,则x2+bcx+ac>0,即x2-56x解得x<13或x>1所以不等式cx2+bx+a<0的解集为xx迁移1若本例条件不变,解不等式cx2-bx+a>0.解由根与系数的关系,ba=-5,ca=6且∴b=-5a,c=6a且a<0.不等式cx2-bx+a>0可化为6ax2+5ax+a>0,即6x2+5x+1<0,解得-12<x<-1故原不等式的解集为x-迁移2若将本例中条件“{x|2<x<3}”变为“{x|x>3,或x<2}”,其他条件不变,如何求解.解依题意2与3是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,∴ba=-5,ca=6,且则b=-5a,c=6a(a>0).不等式cx2+bx+a<0可化为6ax2-5ax+a<0,即6x2-5x+1<0,解得13<x<1故原不等式的解集为x1思维升华1.已知一元二次不等式的解集解题时应注意三点:(1)根据解集来判断二次项系数的符号.(2)一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根.(3)由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数.2.三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.训练2已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为x1(1)求a,c的值;(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.解(1)由题意知不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为13和12由根与系数的关系,得-解得a=-6,c=-1.(2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0,即3x2-4x+1≤0,解得13≤x≤所以不等式的解集为x1三、一元二次不等式的实际应用例3(链接教材P54例5)某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车刹车前的车速xkm/h有如下关系:s=-2x+118x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于22.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少解由题意可得s=-2x+118x2≥22.化简得x2-36x-405≥0,解得x≥45或x≤-9,又∵x≥0,∴x≥45.∴这辆汽车刹车前的车速至少为45km/h.思维升华利用不等式解决实际问题的基本步骤训练3某服装厂生产某种风衣,月销售量x(单位:件)与售价p(单位:元/件)的关系为p=300-2x;与总成本r(单位:元)的关系为r=500+30x,为使月获利不少于8600元,则月销售量x需满足()A.55≤x≤60 B.60≤x≤65C.65≤x≤70 D.70≤x≤75答案C解析由题意可得(300-2x)x-(500+30x)≥8600,即x2-135x+4550≤0,则(x-65)(x-70)≤0,故65≤x≤70.【课堂达标】1.不等式1+x1-x≥0的解集为A.{x|-1<x≤1} B.{x|-1≤x<1}C.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1<x<1}答案B解析原不等式等价于(解得-1≤x<1.2.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x-c的图象为()答案B解析因为不等式的解集为{x|-2<x<1},所以a<0,排除C,D.又函数y=ax2-x-c的图象与x轴交点的横坐标为-2,1,所以A错,B正确.3.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0<t≤30,t∈N);销售量y2与时间t的关系式是y2=-t+35(0<t≤30,t∈N),则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为.

答案{t|10≤t≤15,t∈N}解析z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)·(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,所以解集为{t|10≤t≤15,t∈N}.4.关于x的不等式(mx-1)(x+2)>0,若此不等式的解集为x-2<x<1m,则答案m解析依题意,m<0,∴(mx-1)(x+2)>0⇔x-1m(又(mx-1)(x+2)>0的解集为x-2<∴-2<1m,且m<0,因此m<-1课时精练一、基础巩固1.不等式3x-12-x≥1A.x34≤C.xx>2,或答案B解析3x-12-x≥1∴(4x-3)(x-2)≤0且x≠2,解得34≤x则原不等式的解集为x32.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是()A.{x|-2<x<1}B.{x|x<-2,或x>1}C.{x|-2≤x≤1}D.{x|x≤-2,或x≥1}答案A解析由题图易知y>0对应的x的范围是{x|-2<x<1}.故选A.3.已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是xx<-1,或x>-12,A.2 B.-2C.-12 D.答案B解析∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是xx∴方程(ax-1)(x+1)=0的两根为-1与-12,且a故可得1a=-12,解得a=-2,故选4.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}答案D解析当a=0时,满足条件;当a≠0时,由a得0<a≤4,所以0≤a≤4.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式ax+bx-2>0A.{x|x>1,或x<-2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>2,或x<-1}D.{x|-1<x<2}答案C解析∵ax-b>0的解集为{x|x>1},∴a>0,且a=b.故ax+bx等价为(x+1)(x-2)>0.∴x>2或x<-1.6.产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2,0<x<240.若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台 B.120台C.150台 D.180台答案C解析由题设,产量x台时,总售价为25x,欲使生产者不亏本时,必须满足总售价大于等于总成本,即25x≥3000+20x-0.1x2,即0.1x2+5x-3000≥0,即x2+50x-30000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故欲使生产者不亏本,最低产量是150台.7.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2,或x>4},则()A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}C.a+b+c>0D.不等式cx2-bx+a<0的解集为x答案ABD解析依题意a>0,且ax2+bx+c=0的根为-2和4,则-2+4=-ba因此a+b+c=-9a<0,所以A正确,C错误.又bx+c>0⇔-2ax-8a>0,∴x<-4,B正确.不等式cx2-bx+a<0⇔8x2-2x-1>0,解之得x>12或x<-14,D8.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,售价b的取值范围应是.

答案{b|90<b<100}解析设每个涨价a元,则涨价后的利润与原利润之差为(10+a)(400-20a)-10×400=-20a2+200a.要使商家利润有所增加,则必须使-20a2+200a>0,即a2-10a<0,得0<a<10.∴售价b的取值范围应为{b|90<b<100}.9.若关于x的不等式x-ax+1>0的解集为{x|x<-1,或x>4},则实数a答案4解析由题意知,不等式的解集为{x|x<-1,或x>4},则(x-a)(x+1)>0⇔(x+1)(x-4)>0,故a=4.10.在一个限速40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,则这次事故的主要责任方为.

答案乙车解析由题意列出不等式s甲=0.1x+0.01x2>12,s乙=0.05x+0.005x2>10.分别求解,得x甲<-40或x甲>30,x乙<-50或x乙>40.由于x>0,从而得x甲>30km/h,x乙>40km/h.经比较知乙车超过限速,应负主要责任.11.已知全集U=R,集合A={x|x2-2x-8<0},B=x2x-3x-3<1,C={x|1-a(1)求集合(∁UB)∩A;(2)若B∪C=B,求实数a的取值范围.解(1)由x2-2x-8<0,得-2<x<4,∴集合A={x|-2<x<4}.由2x-3x-3<1得xx∴B={x|0<x<3},所以∁UB={x|x≤0,或x≥3}.所以(∁UB)∩A={x|-2<x≤0,或3≤x<4}.(2)因为B∪C=B,所以C⊆B.当1-a≥1+a,即a≤0时,C=⌀,满足题意,则a≤0.当C≠⌀时,满足1-a<1+a,1-综上,实数a的取值范围为{a|a<1}.二、综合运用12.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少52t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是(A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5}C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}答案B解析设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则y=240020-52t·t%=60(8t-t令y≥900,即60(8t-t2)≥900.解得3≤t≤5.13.若不等式ax2+5x+1≤0的解集为x-12≤x≤-1答案{x|2<x<3}解析依题意,方程ax2+5x+1=0有两根-12与-1∴-12+-13=-5a,且故a=6,则3x-ax∴(x-2)(x-3)<0,解之得2<x<3.14.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?解(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有y即-6000解得0<x<13所以投入成本增加的比例x的取值范围为x0<三、拓展提高15.为配制一种药液,进行了二次稀释,先在体积为V(单位:升)的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满,若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的取值范围为()A.5≤V≤40 B.10≤V≤40C.5<V<40 D.10<V<40答案B解析第一次稀释后,