人教A版选择性必修第一册 高中数学压轴培优专题07 双曲线压轴题（教师版）

专题07双曲线压轴题（解析版）1.双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．2.双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．题型一双曲线的标准方程（1）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两圆相切，得，结合，得动点的轨迹是以、为焦点的双曲线，再根据求出，可得结果.【详解】圆：的圆心，半径为，当动圆与圆相外切时，则，即当动圆与圆相内切时，因为定点在圆外，所以只能是圆内切于动圆，所以，即综上所述：，又，所以动点的轨迹是以、为焦点的双曲线，因为，，所以，，所以，所以动圆圆心P的轨迹方程是.故选：D（2）已知一个动圆P与两圆和都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设动圆半径为，由于动圆P与两圆和都外切，所以，，即，可知动圆P圆心的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的左支，即，，，所以动圆P圆心的轨迹方程为，故选：A.（3）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】在和分别利用余弦定理得，再在利用余弦定理，消去，根据均值不等式求面积最大时的关系，结合双曲线的性质即可求解.【详解】如图所示设，，，，则，，在中由余弦定理得①，在中由余弦定理得②，得③，在中由余弦定理得④，③④联立消去得，因为，当面积最大时即最大，由均值不等式可得，当且仅当即时等号成立，取得最大值，此时由④解得，所以，所以，即为直角三角形，且，所以在中，解得，由双曲线的性质可得，解得，所以双曲线的方程为，故选：C（4）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.【详解】如图所示：∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，∴，，∵是圆上一动点，∴，∴，∴，，，∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得，∴点的轨迹方程为.故选：C.练习题（1）已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程.【详解】如图，设动圆的半径为，则，，则，所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支.因为，所以.故动圆圆心的轨迹方程为.故选：D.（2）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆定义得到，转化为，得到故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，进而求出轨迹方程.【详解】由题意得，，，因为，都在椭圆上，所以，所以，故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又因为，，即，，所以，因此的轨迹方程是．故选：A．（3）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得抛物线焦点为，双曲线的焦点坐标为，结合抛物线的定义可求点坐标，再由双曲线的定义求出，进而求出双曲线方程.【详解】抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，双曲线的焦点坐标为，双曲线的焦距为，设，，，所以双曲线方程为.故选:B.（4）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.【详解】圆N：的圆心为，半径为，且设动圆的半径为，则，即.即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，故动圆圆心P的轨迹方程是故选：A（5）在矩形中，，AB＝6，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P的坐标满足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，结合题意找出与的关系式，即可求解．【详解】解：设，则，，据题意，易得直线，直线．由，令，得，因此边AB上各分点的坐标为，由，令，得，因此延长线上的对应分点的坐标为，结合题意，可知，化简得．因此点P的坐标满足的方程为．故选：C．题型二双曲线的最值问题例2（1）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值.【详解】因为，所以要求的最小值，只需求的最小值.如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，最小，最小值为.故的最小值为.

故选：C（2）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．6 D．12【答案】B【分析】设，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可.【详解】设，则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，将圆的方程代入双曲线方程得，即，判别式，解得，当时，，且，∴等号能成立．∴．故选：B（3）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（

）．A． B．C． D．1【答案】A【分析】先求出轨迹的方程，再利用直线与有且只有一个公共点，求出点的坐标，从而得解.【详解】根据，可得，化简得为动点的轨迹的方程为：，设经过点的直线为：，（可判断斜率存在）联立方程，得①,由于直线与有且只有一个公共点，所以，或，得，或，因为圆，圆心，所以当点在轴上方时较小，以下只讨论点在轴上方的情况,当时，代入①式，得，再代入双曲线方程可得，当时，点在圆内，可得的最小值为；当时，代入①式，得，再代入双曲线方程可得则，当时，点在圆外，可得的最小值为；则的最小值为.故选：A（4）在直角坐标系中，是双曲线的两条渐近线上的动点，满足点A在第一象限，点在第四象限，且直线与的右支有交点.(1)求的最小值；(2)设是直线与的一个交点且.记上的点到的焦点的距离的取值集合为S，若，求面积的取值范围.【答案】(1)2(2)【分析】（1）设直线方程及点坐标，分别联立双曲线方程及渐近线方程得，消元结合函数单调性即可求最值；（2）先由双曲线的性质得，再由向量关系得出三点横纵坐标关系式，结合渐近线方程及双曲线方程消元转化得，后根据韦达定理将三角形面积化为，由对勾函数求范围即可.【详解】（1）设，

联立直线与双曲线方程得，所以，联立直线与渐近线方程得，所以，又点A在第一象限，点在第四象限，所以，故，由①，显然当时①式取得最小值，此时，故的最小值为2；（2）设双曲线上一点，易知C的右焦点为，则，因为，所以，即，因为，所以，设，由得，即，②，又且，所以②式可化为，由（1）可得到的距离，，，所以，由对勾函数的性质可知在上单调递增，故，所以面积的取值范围为.练习题（1）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值.【详解】由双曲线定义得,故如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，，故方程为，联立，解得点Q的坐标为(Q为第一象限上的一点)，故故选：A（2）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,即可求的最大值.【详解】

则故双曲线的两个焦点为,,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,则的最大值为故选：D（3）已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点

(1)求双曲线的标准方程．(2)如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由题意设：，将代入解方程即可得出答案.（2）设，，，设，表示出点坐标，代入：方程，即可求得，进一步求出的坐标，而，而，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）由题意设：，将代入得到，∴曲线：．（2）设，，，，则（*）设，则，解得：，代入：方程，得，结合（*）式可知由于，则，所以．所以是、的中点，．因为四边形是矩形，，，所以为四边形的中心，所以，在与中，，分别以为底时，高相同，所以，则，因为过双曲线上一点的切线方程为，所以直线的方程为：即，因为，所以，令，所以，，，令，，令，．当且仅当，即，，时，取得最小值．题型三离心率的取值及其范围例3：（1）已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率.【答案】【分析】由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为，设线段BM的中点为，连接OQ，设，根据点差法得到，由垂直关系得到，结合求出点的坐标，由求出的齐次式，进而可得出答案.【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．

由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为，因为，所以B、N、M三点共线，设线段BM的中点为，连接OQ，根据题意，显然可得点为线段AB的中点，所以，设，，，因为点B，M都在双曲线上，则，两式相减得，即，而，，所以，即，又因为，则，即，所以，即，所以，又，则，即，故，所以，而，故，即，则双曲线的离心率．故答案为：.（2）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，令且，，则，根据题设有、、，进而有，将它们整理为关于的齐次方程求离心率即可.【详解】由题设，令且，，则，且①，

由，即②，由，即，又C在双曲线上，则③，由①得：，代入③并整理得：，由①②及得：，所以，即，显然，则.故选：B（3）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，，即，，且，，，，解得：．在双曲线中，，；在椭圆中，，；；，，则，，可得：，的取值范围为.故选：B.（4）已知双曲线E:,其左右顶点分别为,,P在双曲线右支上运动,若的角平分线交x轴于D点,关于的对称点为,若仅存在2个P使直线与E仅有一个交点,则E离心率的范围为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，我们可证直线且，据此可求离心率的范围.【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题设可得不为右顶点.设，则.双曲线在处的切线斜率必存在，设切线方程为，由可得，整理得到：，故，整理得：即，故，故切线方程为：即.

因为存在2个P使直线与E仅有一个交点，故由双曲线的对称性不妨设在第一象限，此时，均为锐角且存在唯一的满足题设条件.故直线与渐近线平行或与双曲线相切或.若直线与渐近线平行，则，而为的平分线，故其倾斜角满足，故，故，故，但,故，而，由基本不等式可得，当且仅当即时等号成立，此时，这不可能，故直线与渐近线不平行.若直线与双曲线相切，且切点为，双曲线在的切线方程为：，故且该切线的斜率为，所以直线的斜率为.此时，而，即，故，矛盾.故直线，所以，而直线的倾斜角为，因为直线与双曲线有且只有一个交点，且在之间，故，由在第一象限内的唯一性可得存在唯一的，使得，而，故，所以即，所以，故选：C.练习题（1）已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点.现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意分析可知锐角二面角，利用双曲线的定义与性质结合余弦定理运算求解.【详解】设双曲线的半焦距为，由题意可得：，则，且，则锐角二面角，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因为，即，可得，解得.故选：C.（2）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设，，由，代入不等式中，化简，得恒成立，则有，解得，而，所以故选：A（3）已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，进而可得，利用垂径定理求，结合面积运算求解即可.【详解】由题意可得：，可得，整理得，过点分别作的垂线，垂足分别为，则为的中点，为的中点，则，所以，由题意可得：，因为圆的半径为，可得，所以四边形的面积，可得，则，整理得，所以的离心率.故选：A.题型四双曲线的实际应用题例4（1）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.由题意可知，设，则，设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，所以方程可化简为，将和的坐标代入式可得，解得，则笔筒最细处的直径为.故选：C.（2）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（

）

A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则【答案】ABD【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.C选项，由双曲线定义可判断.D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；选项B，由双曲线的定义知，，若，则，因为，所以，解得，即B正确；选项C：，即C错误；选项D，因为平分，由角分线定理知，，所以，又，所以，解得，即D正确.故选：ABD.（3）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆：和双曲线：在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过点，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为，，，，…若，重合，则光线从到所经过的路程为.【答案】【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线的光学性质，结合它们的定义列式计算作答.【详解】椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，由椭圆的光学性质知，，由双曲线的光学性质知，，而，重合，因此光线从到所经过的路程：，光线从到所经过的路径重复光线从到所经过的路径，所以光线从到所经过的路程为.故答案为：（4）为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领海巡航.某日，正巡逻在A处的“唐山号”突然发现来自P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯郸号”正分别位于如图所示的B、C两处，其中A在B的正东方向相距6海里处，C在B的北偏西30°方向相距4海里处.由于B、C比A距P更远，因此，4秒后B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1海里），试确定疑似敌舰相对于A点“唐山号”的位置.

【答案】在A的北偏东30°方向，相距10海里处.【分析】以直线AB为x轴，线段AB的中点O为原点建立坐标系，求出点P所在的轨迹方程即可计算作答.【详解】取A、B所在直线为x轴，线段AB的中点O为原点建立直角坐标系，如图，，

依题意，，则点P在以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，方程为，又B、C同时测得同一信号，即有，则点P又在线段BC的中垂线上，而线段BC的中点，直线BC的斜率为，线段BC的中垂线方程为，即，由方程组，解得，即，直线的斜率，即直线AP的倾斜角为，，所以P在A的北偏东30°方向，相距10海里处.（5）某市轨道交通s号线的线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求轨道交通s号线的线路示意图所在曲线的方程：(2)规划部门在设计s号线线路的一个站点G时，考虑到景点Q为客流量巨大的热门景点，为了最大程度便于轨道交通s号线的乘客到达景点Q，应该如何设置站点G的位置？【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线、圆的定义求解方程作答.（2）设出点G的坐标，利用（1）的结论，两点间距离公式建立函数关系，分段求解作答.【详解】（1）依题意，点，设曲线上任意一点，当时，，因此线路AB段所在曲线是以点M，N为左、右焦点，实轴长为10，虚轴长为10的双曲线的左支在x轴及上方部分，则线路AB段所在曲线的方程为；当时，显然点，，因此线路BC段所在曲线是以O为圆心、以OB长为半径的圆，则线路BC段所在曲线的方程为；当时，，因此线路CD段所在曲线是以点Q、P为上、下焦点，实轴长为10，虚轴长为10的双曲线下支在y轴及右侧部分，则线路CD段所在曲线的方程为，所以线路示意图所在曲线的方程为.（2）设，而，则，由（1）知，当时，，，当且仅当，时取等号，此时点G的坐标为；当时，，，当且仅当时取等号，当时，，，当且仅当时取等号，显然，因此，即当时，使G到景点Q的距离最近，最大程度便于轨道交通s号线的乘客到达景点Q，所以站点G应设置在点处.练习题（1）某校兴趣小组运用计算机对轮船由甲地海湾行驶入乙地海湾进行了一次模拟试验.如图，乙地海湾的入口处有暗礁，其中线段AA1，B1B，CC1，D1D分别关于坐标轴或原点对称，线段B1B的方程为y=x，x∈[a，b]，b>a>0，过O有一条航道.有一艘正在甲地海湾航行的轮船准备进入乙地海湾，在点M（-a，0）处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N（a，0）处晚1s（设海面上声速为am/s）.若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积），则兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是什么?【答案】兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支.【分析】根据题意及双曲线的定义，可判断出轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支，并可以进一步求出双曲线的方程.【详解】设轮船所在的位置为点P，由题意可得∵∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支.设所求双曲线的标准方程为，则故兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是.所以兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支.（2）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点､的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时3秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒；已知与的离心率之比为2：5，则.【答案】10【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案.【详解】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为，而与的离心率之比为2：5，即，即，在图①中，，两式相减得：，即.即的周长为，在图②中，的周长为,由题意可知：，则，故（秒），故答案为：.（3）如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时.秒【答案】/【分析】由题意可，得根据椭圆的和双曲线的定义可得，整理得到，从而结合路程速度时间之间的关系可得，求得答案.【详解】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为，而与的离心率之比为，即，即，在图③，两式相减得：，即.在图④中，，设图④，光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒，由题意可知：，则，故（秒），故答案为：题型五双曲线的综合应用题例1（1）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.【详解】设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以MO是的中位线，所以，又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.所以，，双曲线C的渐近线方程为，设，T到两渐近线的距离之和为S，则，由，即，又T在上，则，即，解得，，由，故，即距离之和为.故选：A.（2）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.(1)求双曲线的方程；(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；(3)求的取值范围.【答案】(1)；(2)是，定值；(3)；【分析】（1）根据题意，直接列式计算可得答案；（2）直线与双曲线联立，利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值；（3）根据题意，利用韦达定理得出的范围，然后根据，可得，进而可得取值范围.【详解】（1）由题意可设双曲线：，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）设，，直线AB的方程为，由，消元得.则，，且，∴；或由韦达定理可得，即，∴，即与的比值为定值.

（3）思路一：设直线AM：，代入双曲线方程并整理得：，由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，由韦达定理得：，解得.因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（2）中结论可知，得，所以，故，设，其图象对称轴为，则在，上单调递减，故，故的取值范围为.思路二：由于双曲线的渐近线方程为，如图，过点M作两渐近线的平行线与，

由于点A在双曲线的右支上，所以直线AM介于直线与之间（含x轴，不含直线与），所以，同理，过点N作两渐近线的平行线与，

由于点B在双曲线的右支上，所以直线BN介于直线与之间（不含x轴，不含直线与），所以.由（2）中结论可知，得，所以，故.（3）已知左、右焦点分别为的双曲线，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点为双曲线右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线在点处的切线平分．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据条件，直接求出即可求出双曲线的标准方程；（2）先设出的方程为，利用为双曲线的切线得到，再利用点在双曲线上，得到，进而可求出切线与轴的交点坐标，从而可求出，再求出，从而得到，即可证明出结果.【详解】（1）由题意知，因为一条渐近线的斜率为，所以，即，所以双曲线的标准方程为．（2）设点，显然切线的斜率存在．设的方程为，由，消得，由，整理得，又，得到，所以，得到，解得．设切线与轴交于点，则，所以，即．因为，所以，又，所以，则是的内角平分线，故切线平分．练习题（1）已知直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出辅助线，设，根据点差法得到，由垂直关系得到，结合求出，由得到方程，求出，求出渐近线方程.【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．

因为，所以B、N、M三点共线．设线段BM的中点为，连接OQ，根据题意，显然可得点为线段AB的中点，所以，设，，，．因为点B，M都在双曲线上，则两式相减，得，即．而，，所以，即．又因为，则，即，所以，即，所以．又，则，即，故，所以．而，故，即，则双曲线的渐近线方程为：．故选：C（2）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意推出，结合双曲线定义即可求得答案；（2）设出直线l的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线和的方程，推得，结合根与系数的关系化简，即可证明结论.【详解】（1）由得，其半径为4，因为线段的垂直平分线与直线交于点，

故，则,而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线，则，故点的轨迹的方程为.（2）证明：由题意知，

若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；故直线l的斜率不能为0，故设其方程为，联立，得，，故，设，则直线的方程为，直线的方程为，故，则，即，解得，故直线与直线的交点在定直线上.【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线与直线的交点在定直线上，解答时要设直线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心.（3）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件，列方程组求，可得双曲线标准方程；（2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值.【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，，所以双曲线的方程为.（2）双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去；当直线的斜率不为0时，设，联立方程组，消得，易得，由于过点作直线交的左支于两点，设，，所以，，由直线，得，所以，又，所以，因为，所以，且，所以，即为定值.

（4）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用双曲线的性质待定系数法计算即可；（2）联立方程，根据弦长公式及韦达定理可表示三角形面积，利用换元法求最值即可.【详解】（1）设点，点，则直线的方程为，与渐近线联立，得，解之得，即直线与双曲线的一条渐近线交点为，又直线与双曲线的一条渐近线的交点为，所以，即，因此双曲线方程为.（2）

设，把代入，得，则，，，点到直线的距离，所以的面积为，令，所以，令，则，因为，所以，由，得，由，得，由，得，即当时，等号成立，此时满足，所以面积的最小值为.1.已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，由，得，该圆的半径为，因为点在圆上运动时，所以有，于是有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，所以点的轨迹方程为，故选：D2．动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案.【详解】设动圆M的半径为r，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为动圆M与圆和圆均外切，所以，，所以，所以点M的轨迹是以点，为焦点的双曲线的右支．，，，所以.所以动圆圆心M的轨迹方程为．故选：A．3.已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案.【详解】由双曲线，则，即，且，由题意，，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.4.若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，所以，.故选：B.5.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M．若与C的焦距的比值为，则C的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.【详解】设双曲线的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，故其方程为：，令，则，结合在轴正半轴上，故，令，则或，故.故，故直线.设，因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，解得或，又因为，则，则，.故选：D.6.直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用，，成等差数列，列式求解即可【详解】设直线，联立，可得，则①联立，可得，则②因为，所以，所以③因为，所以，所以，即得④因为，所以中点为的中点，所以,因为成等差数列，所以，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以,所以，代入①②③有，因为且，又因为，则所以，所以，即综上，故选：D.7.如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则.【答案】/0.375【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得．【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距，由，依次经过与C的反射，又回到点F1，则有，，两式相减得，将装置中的去掉，则有，所以故答案为：．8.已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；点，【分析】（1）根据点到线的距离公式去接即可；（2）设其方程为，，设，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，化简可得，从而得到定点与定值.【详解】（1）由双曲线得渐近线方程为，设，则，∴双曲线C方程为；（2）依题意，直线的斜率不为0，设其方程为，，代入得，设，，，则，，∴若要上式为定值，则必须有，即，∴，故存在点满足

9.已知直线：与双曲线：相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线分别与，轴相交于，两点．(1)若，且点，都在双曲线的右支上，求的取值范围；(2)若（为坐标原点）的面积为，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分